數(shù)學(xué)例題與探究：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講1。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.剖析：基本關(guān)系式表明三角函數(shù)之間存在相互聯(lián)系,這組聯(lián)系是通過點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y及r的比的相互關(guān)系和三角函數(shù)的定義實(shí)現(xiàn)的。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式反映了事物之間的相互聯(lián)系和在一定條件下相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn)；反映了變換與轉(zhuǎn)化的思想方法.基本關(guān)系式表明：角α的一個(gè)三角函數(shù)在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化為同角的其他三角函數(shù)的代數(shù)式表示,或者說同一個(gè)角的三角函數(shù)之間在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.要學(xué)會正用、逆用、變形用基本關(guān)系式.所謂正用就是從關(guān)系式的等號左邊向右邊用，較為常見；所謂逆用就是從關(guān)系式的等號右邊向左邊用.例如：1=sin2α+cos2α，1=tanα·cotα等；所謂變形用就是根據(jù)已知,利用關(guān)系式求某一個(gè)未知量，如sin2α=等.2.怎樣化簡或證明三角函數(shù)式?剖析:三角函數(shù)式的化簡是將三角函數(shù)式盡量化為最簡單的形式，其基本要求：盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)的種數(shù)，盡量化同角、化同名角等.三角函數(shù)式的化簡實(shí)質(zhì)上是一種不指定答案的恒等變形，體現(xiàn)了由繁到簡的最基本的數(shù)學(xué)解題原則。它不僅要求熟悉和靈活運(yùn)用所學(xué)的三角公式，還需要熟悉和靈活運(yùn)用這些公式的等價(jià)變形形式.同時(shí)，這類問題還具有較強(qiáng)的綜合性,對其他非三角知識的運(yùn)用也具有較高的要求,因此在平常學(xué)習(xí)時(shí)要注意經(jīng)驗(yàn)的積累.三角函數(shù)的證明是證明等式兩邊相等，因此三角函數(shù)的證明是一種指定答案的恒等變形，與三角函數(shù)式的化簡相比要簡單一些.化簡三角函數(shù)式時(shí),在題設(shè)的要求下,首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，常見的化簡方法：異次化同次、高次化低次、切化弦、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等.證明三角恒等式就是通過轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程,證明的方法在形式上顯得較為靈活，常用的有以下幾種：(1）直接法:直接從不等式的一邊開始化為等式的另一邊，一般從比較復(fù)雜的一邊開始化簡到另一邊，其依據(jù)是相等關(guān)系的傳遞性；（2）綜合法：由一個(gè)已知成立的等式（如公式等）恒等變形得到所要證明的等式，其依據(jù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，即“a=b等價(jià)于c=d，所以a=b成立的充要條件是c=d”；(3）中間量法，證明等式左右兩邊都等于同一個(gè)式子,其依據(jù)是等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等,即“a=c,b=c,則a=b”,它可由關(guān)系的傳遞性及對稱性推出；(4）分析法：即從結(jié)論出發(fā)，逐步證向已知條件,其證明過程的書寫格式為“要證明……，只需……”，只要所需的條件都已經(jīng)具備，則結(jié)論就成立。例如:求證:.證法一(分析法）：要證明原等式成立，只需cosα·cosα=(1+sinα）（1—sinα)成立，cos2α=1-sin2α,sin2α+cos2α=1,上式顯然成立，所以原等式成立。證法二（綜合法)：∵sin2α+cos2α=1,∴cos2α=1—sin2α?！郼osα·cosα=（1+sinα)（1-sinα)?！唷ＷC法三左邊:=====右邊，即原等式成立。證法四（中間量法）：左邊=；右邊===.∴左邊＝右邊，即原等式成立。三角恒等式的證明的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法,而三角函數(shù)式的化簡的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)淖冃问侄巍５漕}精講例1已知cosα=,且角α是第四象限角，求sinα和tanα。思路分析：α是第四象限角,于是可利用平方關(guān)系式求出sinα，進(jìn)而利用商數(shù)關(guān)系式求出tanα。解：∵cosα=,且α是第四象限角，∴sinα=?！鄑anα==。綠色通道:已知某角的弦函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，先求另一弦函數(shù)值，再求切函數(shù)值。變式訓(xùn)練1已知cosα=，求sinα和tanα。思路分析:對α所在象限進(jìn)行分類討論。解：∵cosα=＞0，∴α是第一象限角或第四象限角.當(dāng)α是第一象限角時(shí)，sinα=，tanα==；當(dāng)α是第四象限角時(shí)，sinα=，tanα==。變式訓(xùn)練2(2006河南新鄉(xiāng)第四次調(diào)研卷,理2）已知tanα=,π＜α＜，則cosα-sinα的值為（)A.B。C.D.思路解析：求出α的值，即可得解.∵tanα=,π＜α＜，∴α=。∴cosα-sinα=cos-sin=。答案:C變式訓(xùn)練3已知tanα=2，求sinα和cosα的值.思路分析：應(yīng)用方程的思想，列方程組求得。解：由題意，得解方程組得或例2已知tanα=-2,求下列各式的值。（1）；（2)sin2α+cos2α。思路分析:先化簡再求值,不必求出sinα和cosα的值。解：∵tanα=—2,則cosα≠0.（1）=10.(2）sin2α+cos2α=綠色通道：（1）已知tanα=m求關(guān)于sinα，cosα的齊次式之值的問題時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：①先化簡再求值（用tanα來表示).②一定是關(guān)于sinα，cosα的齊次式（或能化為齊次式）的三角函數(shù)式.③因?yàn)閏osα≠0，可用cosnα(n∈N＊）去除原式分子、分母的各項(xiàng)，這樣可以將原式化為關(guān)于tanα的表達(dá)式，再整體代入tanα=m的值，從而完成求值任務(wù).④對于第(2）小題形式的式子,我們稱為sinα,cosα的二次齊次式，此種形式可以添加分母sin2α+cos2α，將式子變成分式的形式,再用cos2α去除.（2）形如，可以利用商數(shù)關(guān)系分子、分母同時(shí)除以cosα、cos2α,將正、余弦轉(zhuǎn)化為正切,從而求值。(3）同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用：化簡三角函數(shù)式.黑色陷阱：如果先求出sinα和cosα的值,那么運(yùn)算量會很大，問題就會變得很煩瑣。變式訓(xùn)練1已知sinα—cosα=，求sin3α—cos3α的值.思路分析：不求sinα和cosα的值，將已知條件兩邊平方，造出sin2α+cos2α和sinα·cosα，代入利用立方差公式分解獲得的式子,即可求出其值.解：將sinα-cosα=兩邊同時(shí)平方，得1—2sinαcosα=,即sinαcosα=.∴sin3α-cos3α=（sinα—cosα）（sin2α+cos2α+sinαcosα)=（1+）=。變式訓(xùn)練2已知θ∈［0,2π）,而sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x2-kx+k+1=0的兩實(shí)數(shù)根，求k和θ的值.思路分析：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到sinθ、cosθ與k的關(guān)系式，再結(jié)合平方關(guān)系式，就可建立k的方程，求出k之后再計(jì)算θ的值。解:由題意得Δ＝k2—4(k+1）≥0，解得k≤2-或k≥2+.∵sinθ、cosθ是方程x2—kx+k+1=0的兩實(shí)數(shù)根，∴代入（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ中整理可得k2=1+2（k+1)，即k2-2k-3=0?！鄈=-1或k=3（舍去）。代回原方程組,得∴或即θ=π或θ=。問題探究問題sinα+cosα，sinα-cosα,sinαcosα之間有什么關(guān)系?導(dǎo)思：這三個(gè)三角函數(shù)式都含有sinα和cosα,因此探究思路是從sinα和cosα的關(guān)系式:sin2α+cos2α=1開始討論。探究：∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα?！?sinα+cosα）2=1+2sinαcosα.同理，可得(sinα—cosα)2=1-2sinαcosα.∴(sinα+cosα）2＋（sinα-cosα）2＝2，sinαcosα=（sinα+cosα）2-=—(sinα-cosα）2.∴sinα+cosα，sinα—cosα，sinαcosα“知一求二”,也就是已知這三個(gè)三角函數(shù)式中任意一個(gè)式子的值，就能求其他兩個(gè)三角函數(shù)式的值.例如:已知sinθ＋cosθ=,θ∈（0，π),求sin2θ-cos2θ的值。解：由sinθ＋cosθ的值求出sinθ-cosθ的值，從而求得sin2θ—cos2θ的值?！遱inθ＋cosθ=,∴sinθcosθ(sinθ+cosθ）2—=×—=＜0，