廣西欽州市欽南區(qū)欽州港中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

廣西欽州市欽南區(qū)欽州港中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．與空間向量共線(xiàn)的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.2．已知直線(xiàn)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C.4 D.83．某海關(guān)緝私艇在執(zhí)行巡邏任務(wù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其所在位置正西方向20nmile處有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏東30°的方向逃竄，若緝私艇突然發(fā)生機(jī)械故障，20min后才以的速度開(kāi)始追趕，則在走私船只不改變航向和速度的情況下，緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為（）A.1h B.C. D.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，（）A.11 B.20C.33 D.355．若數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.6．已知公差不為0的等差數(shù)列中，（m，），則mn的最大值為（）A.6 B.12C.36 D.487．如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.8．已知、為非零實(shí)數(shù)，若且，則下列不等式成立的是()A. B.C. D.9．設(shè)命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，10．已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)為，則“對(duì)任意的，”是“在上為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.12．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，若，，則_____14．平面內(nèi)n條直線(xiàn)兩兩相交，且任意三條直線(xiàn)不過(guò)同一點(diǎn)，將其交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為，若規(guī)定，則，，_________，_________，（用含n的式子表示）15．已知一組樣本數(shù)據(jù)5、6、a、6、8的極差為5，若，則其方差為_(kāi)_______.16．已知兩平行直線(xiàn)與間的距離為3，則C的值是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）數(shù)列中，，且.（1）證明；數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn)（1）求證:平面平面；（2）求證:平面；（3）求三棱錐體積20．（12分）已知圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，且它的圓心M在直線(xiàn)上.（1）求圓M的方程；（2）若點(diǎn)D為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求線(xiàn)段CD的中點(diǎn)P的軌跡方程.21．（12分）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的封閉圖形.（1）設(shè)，，求這個(gè)幾何體的表面積；（2）設(shè)G是弧DF的中點(diǎn)，設(shè)P是弧CE上的一點(diǎn)，且.求異面直線(xiàn)AG與BP所成角的大小.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）任意，恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)空間向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.2、D【解析】先求拋物線(xiàn)的方程，再聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，由弦長(zhǎng)公式可求的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，故即，故拋物線(xiàn)方程為：.設(shè)直線(xiàn)，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最小值為8，故選：D.3、A【解析】設(shè)小時(shí)后，相遇地點(diǎn)為，在三角形中根據(jù)題目條件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【詳解】以緝私艇為原點(diǎn)，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系.圖中走私船所在位置為，設(shè)緝私艇追上走私船的最短時(shí)間為，相遇地點(diǎn)為.則，走私船以的速度向北偏東30°的方向逃竄，60°.因?yàn)?0min后緝私艇才以的速度開(kāi)始追趕走私船，所以20min走私船行走了，到達(dá).在三角形中，由余弦定理知：，則，所以.在三角形中，，，有：，化簡(jiǎn)得：，則.緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為1h.故選：A.點(diǎn)睛】4、B【解析】由數(shù)列的性質(zhì)可得，計(jì)算可得到答案.【詳解】由題意，.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B6、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再應(yīng)用基本不等式求mn的最大值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)及等差數(shù)列的性質(zhì)知：，又m，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以mn的最大值為.故選：C7、D【解析】利用三線(xiàn)垂直建立空間直角坐標(biāo)系，將線(xiàn)面角轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進(jìn)行求解.【詳解】以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為；設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故選：D.8、D【解析】作差法即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】或，對(duì)于A：，∵，無(wú)法判斷正負(fù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，∵無(wú)法判斷正負(fù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，∵，，∴，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，∴，故D正確.故選：D.9、B【解析】根據(jù)全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題互為否定，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}，，所以為，.故選：B.10、A【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性之間關(guān)系，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)為，若“對(duì)任意的，”，則在上為增函數(shù)；若在上為增函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，即由“對(duì)任意的，”能推出“在上為增函數(shù)”；由“在上為增函數(shù)”不能推出“對(duì)任意的，”，因此“對(duì)任意的，”是“在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A11、D【解析】由向量線(xiàn)性運(yùn)算得，利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.12、C【解析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列公比q的關(guān)系，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的的公比為q，由得：，解得，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：∵在等比數(shù)列中，，∴原式故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、①.6；②..【解析】利用第條直線(xiàn)與前條直線(xiàn)相交有個(gè)交點(diǎn)得出與的關(guān)系后可得結(jié)論【詳解】第4條直線(xiàn)與前三條直線(xiàn)有3個(gè)交點(diǎn)，因此，同理，由此得到第條直線(xiàn)與前條直線(xiàn)相交有個(gè)交點(diǎn)，所以，即所以故答案為：6；15、2【解析】根據(jù)極差的定義可求得a的值，再根據(jù)方差公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)的極差為5，，所以，解得.因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的方差為故答案為：.16、【解析】根據(jù)兩條平行直線(xiàn)之間的距離公式即可得解.【詳解】?jī)善叫兄本€(xiàn)與間的距離為3，所以，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，從而，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，∴，∴.18、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)?，求得，分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，由題意可知恒成立，對(duì)實(shí)數(shù)分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，驗(yàn)證是否成立，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，令得.若，則；若，則.①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）設(shè)，，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時(shí)，，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由于，，，所以，存在，使得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.故，不符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【解析】（1）由直線(xiàn)與平面垂直證明直線(xiàn)與平行的垂直；（2）證明直線(xiàn)與平面平行；（3）求三棱錐的體積就用體積公式.（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面，因?yàn)锳B平面，所以平面平面.（2）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是、的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG=AC，因?yàn)锳C∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，所以四邊形為平行四邊形，所以EG，又因?yàn)镋G平面ABE，平面ABE，所以平面.（3）因?yàn)?AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，所以三棱錐的體積為：==.考點(diǎn)：本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的垂直與平行的證明；考查幾何體的體積的求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想20、（1）.（2）.【解析】（1）設(shè)圓M的方程為，由已知條件建立方程組，求解即可；（2）設(shè)，，依題意得.代入圓M的方程可得點(diǎn)P的軌跡方程.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)圓M的方程為，則圓心依題意得，解得.所以圓M的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，，依題意得，得.點(diǎn)為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)得P的軌跡方程為.21、（1）（2）【解析】（1）將幾何體的表面積分成上下兩個(gè)扇形、兩個(gè)矩形和一個(gè)圓柱形側(cè)面的一部分組成，分別求出后相加即可；（2）先根據(jù)條件得到面，通過(guò)平移將異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)夾角即可【小問(wèn)1詳解】上下兩個(gè)扇形的面積之和為：兩個(gè)矩形面積之和為：4側(cè)面圓弧段的面積為：故這個(gè)幾何體的表面積為：【小問(wèn)2詳解】如下圖，將直線(xiàn)平移到下底面上為由，且，，可得：面則而G是弧DF的中點(diǎn)，則由于上下兩個(gè)平面平行且全等，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角等于直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角，即為所求，則