安徽省潛山市第二中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

安徽省潛山市第二中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，則此雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.2C. D.2．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A. B.C. D.3．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為（）A.1 B.2C. D.4．已知雙曲線(xiàn)C：(a>0，b>0)，斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為P(2，4)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.5．若橢圓的短軸為,一個(gè)焦點(diǎn)為,且為等邊三角形的橢圓的離心率是A. B.C. D.6．已知為等差數(shù)列，為公差，若成等比數(shù)列，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）A. B.C. D.8．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.9．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是（）A. B.C. D.10．新型冠狀病毒（2019-NCoV）因2019年武漢病毒性肺炎病例而被發(fā)現(xiàn)，2020年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名，為考察某種藥物預(yù)防該疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：患病未患病總計(jì)服用藥104555未服藥203050總計(jì)3075105下列說(shuō)法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：，0.050.013.8416.635A.有95%的把握認(rèn)為藥物有效B.有95%的把握認(rèn)為藥物無(wú)效C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為藥物無(wú)效D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為藥物有效11．已知點(diǎn)，，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)段相交，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿(mǎn)足關(guān)系式：即稱(chēng)為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩名學(xué)生通過(guò)某次聽(tīng)力測(cè)試的概率分別為和，且是否通過(guò)聽(tīng)力測(cè)試相互獨(dú)立，兩人同時(shí)參加測(cè)試，其中有且只有一人能通過(guò)的概率是__________14．已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為1的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的方程為_(kāi)________15．底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2的圓錐的體積為_(kāi)_____16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．若，則橢圓的離心率為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與雙曲線(xiàn)半實(shí)軸長(zhǎng)之差為4，離心率之比為3∶7（1）求這兩曲線(xiàn)方程；（2）若P為這兩曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，求△F1PF2的面積18．（12分）已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)與橢圓C相切于點(diǎn)（1）求橢圓C方程；（2）已知直線(xiàn)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，與直線(xiàn)交于點(diǎn)Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若①求△面積的范圍，②證明：為定值19．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（）（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值），且，證明：.20．（12分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.21．（12分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿(mǎn)足：,且是,的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若,,求22．（10分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，短軸長(zhǎng)等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)和平面幾何性質(zhì)，建立關(guān)于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線(xiàn)的離心率得選項(xiàng).【詳解】由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)?，且圓：，所以點(diǎn)在以焦距為直徑的圓上，則，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則為的中位線(xiàn)，所以，則，又點(diǎn)在漸近線(xiàn)上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求雙曲線(xiàn)的離心率時(shí)，將提供的雙曲線(xiàn)的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線(xiàn)基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對(duì)于焦點(diǎn)三角形，要注意雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用，運(yùn)用整體代換的方法可以減少計(jì)算量2、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選D.3、A【解析】分別求出雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出結(jié)果【詳解】雙曲線(xiàn)中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為漸近線(xiàn)方程為：∴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離故選：A4、C【解析】設(shè)，代入雙曲線(xiàn)方程相減后可求得，從而得漸近線(xiàn)方程【詳解】設(shè)，則，相減得，∴，又線(xiàn)段的中點(diǎn)為P(2，4)，的斜率為1，∴，，∴漸近線(xiàn)方程為故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，已知弦的中點(diǎn)（或涉及到中點(diǎn)），可設(shè)弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)方程后作差，作差后式子中有直線(xiàn)的斜率，弦中點(diǎn)坐標(biāo)，有．這種方法叫點(diǎn)差法5、B【解析】因?yàn)闉榈冗吶切?所以.考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì).點(diǎn)評(píng)：橢圓圖形當(dāng)中有一個(gè)特征三角形，它的三邊分別為a,b,c.因而可據(jù)此求出離心率.6、C【解析】先利用已知條件得到，解出公差，得到通項(xiàng)公式，再代入數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，，故，即，故，解得或（舍去），故，即，故的前項(xiàng)和為：.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來(lái)求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以?xún)蓛山Y(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和，形如類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解.7、B【解析】根據(jù)已知和漸近線(xiàn)方程可得，雙曲線(xiàn)焦距，結(jié)合的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則①.又因?yàn)闄E圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線(xiàn)C的方程為.故選：B.8、D【解析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D9、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數(shù)之和小于的區(qū)域，進(jìn)而根據(jù)面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個(gè)數(shù)分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數(shù)之和小于的概率.故選：C10、A【解析】根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，對(duì)照臨界值即可得出結(jié)論【詳解】根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算，由臨界值表可知，有95%的把握認(rèn)為藥物有效，A正確故選：A11、B【解析】直接利用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)公式和直線(xiàn)的斜率的關(guān)系求出結(jié)果【詳解】解：直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且斜率為，與連接兩點(diǎn)，的線(xiàn)段有公共點(diǎn)，由圖，可知，，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)故選：B12、B【解析】利用三角形面積公式，推出點(diǎn)O到三邊距離相等?！驹斀狻坑淈c(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.5【解析】分兩種情況，結(jié)合相互獨(dú)立事件公式即可求解.【詳解】記甲，乙通過(guò)聽(tīng)力測(cè)試的分別為事件，則可得，兩人有且僅有一人通過(guò)為事件，故所求事件概率為.故答案為：14、【解析】根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)可知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)平行，由漸近線(xiàn)斜率可列出的齊次方程，利用齊次方程求解.【詳解】直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且焦點(diǎn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)平行，，即，，即，.則雙曲線(xiàn)的方程為故答案為：15、【解析】先由勾股定理求圓錐的高，再結(jié)合圓錐的體積公式運(yùn)算即可得解.【詳解】解：設(shè)圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點(diǎn)考查了勾股定理，屬基礎(chǔ)題.16、##【解析】由可得，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得為直角三角形，由題意設(shè)，則，由勾股定理可得，再結(jié)合橢圓的定義可求出離心率【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以為直角三角形，即，所以設(shè)，則，所以，得，因?yàn)閯t，所以，所以，即離心率為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）橢圓方程為雙曲線(xiàn)方程為；（2）12【解析】（1）根據(jù)半焦距，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，由離心率之比求出a，進(jìn)而求出橢圓短半軸的長(zhǎng)及雙曲線(xiàn)的虛半軸的長(zhǎng)，寫(xiě)出橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由橢圓、雙曲線(xiàn)的定義求出與的長(zhǎng)，在三角形中，利用余弦定理求出cos∠的值，進(jìn)一步求得sin∠的值，代入面積公式得答案試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，雙曲線(xiàn)方程為（a，b，m，n>0，且a>b），則解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，∴橢圓方程為雙曲線(xiàn)方程為（2）不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，∴PF1＝10，PF2＝4，∴cos∠F1PF2＝＝，∴sin∠F1PF2＝．∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12考點(diǎn)：橢圓雙曲線(xiàn)方程及性質(zhì)18、（1）；（2）①；②證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線(xiàn)的斜率，結(jié)合可得，進(jìn)而應(yīng)用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線(xiàn)距離公式及三角形面積公式求△面積的范圍，再逐個(gè)求解，，然后可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意，解得，故橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓C相切，則判別式，即，整理得，∴，故直線(xiàn)為，又，可得，設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立方程組，解得，故Q為，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得設(shè)，由得：，且，①，到直線(xiàn)的距離為，∴，令，∴.②由上，故，于是為定值.【點(diǎn)睛】直線(xiàn)與橢圓的相切問(wèn)題一般是聯(lián)立方程，結(jié)合判別式為零求解；定值問(wèn)題的求解一般結(jié)合目標(biāo)式中的項(xiàng)，逐個(gè)求解，代入驗(yàn)證即可.19、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題意得，然后對(duì)其求導(dǎo)，再分，兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，且是的兩個(gè)極值點(diǎn)，再將極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)中化簡(jiǎn)結(jié)合已知可得，，從而將要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證，令，再次轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求的最小值大于零即可【小問(wèn)1詳解】由，得，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為小問(wèn)2詳解】由（1）知若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，且，且注意到，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，且時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以是的兩個(gè)極值點(diǎn).，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以而，所以，所以，要證，即要證即要證：因?yàn)?，所以所以，即要證：即要證：令，即要證：即要證：令當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增所以結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是將兩個(gè)極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)中化簡(jiǎn)后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明成立，換元后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證明，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題20、（1）（2），【解析】（1）由，計(jì)算出公差，再寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可.（2）直接用公式寫(xiě)出，配方后求出最小值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為，由得，從而，即又，【小問(wèn)2詳解】由（1）的結(jié)論，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值.21、（1）；（2）【解析】（1）將已知條件整理變形為等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比來(lái)表示，解方程組得到基本量，可得到通項(xiàng)公式（2）化簡(jiǎn)通項(xiàng)得，根據(jù)特點(diǎn)求和時(shí)采用錯(cuò)位相減法求解試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又單調(diào)遞增，∴="2,"=2,∴=2n6