專項(xiàng)29反比例圖像綜合應(yīng)用(八大類型)(原卷版+解析)

專項(xiàng)29反比例圖像綜合應(yīng)用（八大類型）【類型一反比例函數(shù)中線段最值問題】【類型二反比例函數(shù)中等腰三角形的存在性】【類型三反比例函數(shù)中直角三角形的存在性】【類型四反比例函數(shù)中平行四邊形的存在性】【類型五反比例函數(shù)中矩形的存在性】【類型六反比例函數(shù)中菱形的存在性】【類型七反比例函數(shù)中等腰三角形的存在性】【類型八反比例函數(shù)中相似三角形的存在性】【類型一反比例函數(shù)中線段最值問題】1．（2021?潮陽區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），OA、OC分別落在x軸和y軸上，OB是矩形的對(duì)角線．將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在y軸上，得到△ODE，OD與CB相交于點(diǎn)F，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．（1）填空：k的值等于．（2）連接FG，判斷△COF與△BFG是否相似，并說明理由．（3）在x軸上存在這樣的點(diǎn)P，使得PF+PG有最小值？請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．2.如圖，已知一次函數(shù)y1＝k1x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y2＝的圖象分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)D（2，﹣3），點(diǎn)B是線段AD的中點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)y1＝k1x+b與反比例函數(shù)y2＝的解析式；（2）求△COD的面積；（3）直接寫出k1x+b﹣≥0時(shí)自變量x的取值范圍．（4）動(dòng)點(diǎn)P（0，m）在y軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|PC﹣PD|的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【類型二反比例函數(shù)中等腰三角形的存在性】3．（2022秋?燈塔市校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別是C，A，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求直線EF的解析式；（2）求△EOF的面積；（3）若點(diǎn)P在y軸上，且△POE是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．（2022秋?天橋區(qū)校級(jí)月考）如圖1，一次函數(shù)AB：y＝x+1的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）大的圖象交于點(diǎn)A（a，3），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求a，k的值．（2）直線CD過點(diǎn)A，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，AC＝AD．①如圖2，連接OA，OC，求△OAC的面積．②點(diǎn)P在x軸上，若以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．（2022?泰安三模）如圖，直線AD：y＝3x+3與坐標(biāo)軸交于A、D兩點(diǎn)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ABCD，過C作CG⊥y軸于G點(diǎn)，過點(diǎn)C的反比例函數(shù)y＝（k≠0）與直線AD交于E、F兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)y＝表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象，求出不等式0＜3x+3＜的解集；（3）在x上是否存在一點(diǎn)Q使△CBQ為等腰三角形，若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【類型三反比例函數(shù)中直角三角形的存在性】5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的反比例函數(shù)圖象交AB于E點(diǎn)，連接DE．若OD＝5，OC＝3．（1）求過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式；（2）求△DBE的面積；（3）x軸上是否存在點(diǎn)P使△OPD為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【類型四反比例函數(shù)中平行四邊形的存在性】6．（2022春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，6），B（3，n）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接OA、OB，求△AOB的面積；（3）直線a經(jīng)過點(diǎn)（0，1）且平行于x軸，點(diǎn)M在直線a上，點(diǎn)N在y軸上，以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形可以是平行四邊形嗎？如果可以，直接寫出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，如果不可以，說明理由．7．（2022?嵩縣模擬）如圖，直線AC和BC的解析式分別是y＝x+1和y＝﹣+，AC與BC相交于點(diǎn)C，CD⊥y軸于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與直線BC相交于點(diǎn)C和E，點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出當(dāng)＞﹣+時(shí)x的取值范圍；（3）當(dāng)以點(diǎn)B、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．8．（2021秋?和平區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+1與反比例函數(shù)y＝的圖象在第四象限相交于點(diǎn)A（2，﹣1），一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)B．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍是；（3）點(diǎn)C是第二象限內(nèi)直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD∥x軸，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)D，若以O(shè)，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【類型五反比例函數(shù)中矩形的存在性】9．（2022春?大英縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．設(shè)AB所在直線解析式為y＝ax+b（a≠0）．（1）求反比例和一次函數(shù)解析式；（2）若將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個(gè)單位，在平移中若反比例函數(shù)圖象與菱形的邊AD始終有交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）在直線AB上是否存在M、N兩點(diǎn)，使以MNOD四點(diǎn)的四邊形構(gòu)成矩形？若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在直接求出M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）兩點(diǎn)的坐標(biāo)．10．（2022春?嘉興期末）如圖，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A（﹣2，3），B．點(diǎn)C是x軸上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，射線AC交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)AD，BC，BD．（1）①寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．②求證：四邊形ACBD是平行四邊形．（2）當(dāng)四邊形ACBD是矩形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)A，C，E三點(diǎn)中的其中一點(diǎn)到另兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，求的值．【類型六反比例函數(shù)中菱形的存在性】11．（2022春?淮陰區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為矩形，B（5，4），D（﹣3，0），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P、Q有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示：BP＝cm，CQ＝cm；（2）函數(shù)y＝的圖象在第一象限內(nèi)的一支雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P，且與線段BC交于點(diǎn)M，若出△POM的面積為7.5cm2，試求此時(shí)t的值；（3）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)過程的中，是否存在某一時(shí)刻t，使坐標(biāo)平面上存在點(diǎn)E，以P、Q、C、E為頂點(diǎn)的四邊形剛好是菱形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．12．（2022春?古縣期末）綜合與探究如圖1，反比例函數(shù)的圖象y＝﹣經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，作直線AB．（1）判斷點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，并說明理由；（2）如圖1，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線交反比例函數(shù)y＝﹣的圖象于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是4，順次連接AD，DB，BC和CA．求證：四邊形ACBD是矩形；（3）已知點(diǎn)P在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)O，B，P和Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．13．（2022春?沭陽縣期末）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的第一象限內(nèi)的圖象上，OA＝6，OC＝10，動(dòng)點(diǎn)P在x軸的上方，且滿足S△PAO＝．（1）若點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）連接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則請(qǐng)你直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【類型七反比例函數(shù)中等腰直角三角形的存在性】14．（2022?泰安二模）如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于A（a，﹣2）、B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)P為第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)C，連接PO，如果△POC的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)E在y軸上，反比例函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)F，使△BEF是以BF為直角邊的等腰直角三角形，如果存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．15．（2022春?封丘縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D分別在反比例函數(shù)和的圖象上，AB⊥x軸于點(diǎn)A，DC⊥x軸于點(diǎn)C，O是線段AC的中點(diǎn)，AB＝3，DC＝2．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）連接BD，OB，OD，求△ODB的面積．（3）P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究是否存在點(diǎn)P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．16．（2022春?越城區(qū)期末）已知點(diǎn)A（3，2）、點(diǎn)B（m，n）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求k的值；（2）若m＝1，C（﹣1，0），試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）若點(diǎn)C在x軸正半軸上，當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．18．（2022?利川市模擬）如圖，直線y＝mx與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）．（1）求直線和雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在x軸正半軸上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【類型八反比例函數(shù)中相似三角形存在性】19．（2022春?任城區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線為y1＝mx+n（m≠0）與雙曲線相交于A（﹣1，2）和B（2，b）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．（1）求雙曲線的解析式；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△BCP與△OCD相似？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（2022?海珠區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知矩形OABC，OA在y軸上，OC在x軸上，OA＝2，AB＝4．雙曲線y＝（k＞0）與矩形的邊AB、BC分別交于點(diǎn)E、F．（1）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（2）將△BEF沿直線EF對(duì)折，點(diǎn)B落在x軸上的D處，過點(diǎn)E作EG⊥OC于點(diǎn)G．問：△EGD與△DCF是否相似？若相似，請(qǐng)求出相似比；若不相似，請(qǐng)說明理由．專項(xiàng)29反比例圖像綜合應(yīng)用（八大類型）【類型一反比例函數(shù)中線段最值問題】【類型二反比例函數(shù)中等腰三角形的存在性】【類型三反比例函數(shù)中直角三角形的存在性】【類型四反比例函數(shù)中平行四邊形的存在性】【類型五反比例函數(shù)中矩形的存在性】【類型六反比例函數(shù)中菱形的存在性】【類型七反比例函數(shù)中等腰三角形的存在性】【類型八反比例函數(shù)中相似三角形的存在性】【類型一反比例函數(shù)中線段最值問題】1．（2021?潮陽區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），OA、OC分別落在x軸和y軸上，OB是矩形的對(duì)角線．將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在y軸上，得到△ODE，OD與CB相交于點(diǎn)F，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．（1）填空：k的值等于．（2）連接FG，判斷△COF與△BFG是否相似，并說明理由．（3）在x軸上存在這樣的點(diǎn)P，使得PF+PG有最小值？請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在y軸上，得到△ODE，∴∠AOB＝∠COF，∵四邊形OABC是矩形，∴∠OAB＝∠OCB＝90°，∴△COF∽△AOB，∴，∵矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），OA、OC分別落在x軸和y軸上，∴AB＝OC＝2，BC＝OA＝4，∴＝，解得：CF＝1，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，2），把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y＝（x＞0）得：k＝1×2＝2，故答案為：2；（2）△COF∽△BFG，理由如下：設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4，m），∵反比例函數(shù)的解析式為，OA＝4，∴m＝AG＝＝，∴BG＝AB﹣AG＝1.5，∵四邊形OABC是矩形，∴∠OCF＝∠FBG＝90°，BC＝OA＝4，由（1）得：CF＝1，∴BF＝BC﹣CF＝3，∴，，∴，∴△OCF∽△FBG；（3）作點(diǎn)G關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)G′，連接FG′，交x軸于點(diǎn)P，如圖所示：則AG'＝AG＝，PG'＝PG，∴PF+PG＝PF+PG'＝FG'，BG'＝AB+AG'＝2+＝，此時(shí)PF+PG取最小值＝FG'，∵四邊形OABC是矩形，∴OA∥BC，∴△PAG'∽△FBG'，∴＝，即＝，解得：PA＝，∴OP＝OA﹣PA＝4﹣＝，∴P（，0），綜上所述，在x軸上存在這樣的點(diǎn)P，使得PF+PG有最小值，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．2.如圖，已知一次函數(shù)y1＝k1x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y2＝的圖象分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)D（2，﹣3），點(diǎn)B是線段AD的中點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)y1＝k1x+b與反比例函數(shù)y2＝的解析式；（2）求△COD的面積；（3）直接寫出k1x+b﹣≥0時(shí)自變量x的取值范圍．（4）動(dòng)點(diǎn)P（0，m）在y軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|PC﹣PD|的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵點(diǎn)D（2，﹣3）在反比例函數(shù)y2＝的圖象上，∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，∴y2＝；如圖，作DE⊥x軸于E，∵D（2，﹣3），點(diǎn)B是線段AD的中點(diǎn)，∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的圖象上，，解得k1＝﹣，b＝﹣，∴；（2）由，解得，，∴C（﹣4，），∴S△COD＝S△AOC+S△AOD＝×2×+×2×3＝；（3）由圖可得，當(dāng)k1x+b﹣≥0時(shí)，x≤﹣4或0＜x≤2．（4）如圖，作C（﹣4，）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'（4，），延長C'D交y軸于點(diǎn)P，∴由C'和D的坐標(biāo)可得，直線C'D為，令x＝0，則y＝﹣，∴當(dāng)|PC﹣PD|的值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．【類型二反比例函數(shù)中等腰三角形的存在性】3．（2022秋?燈塔市校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別是C，A，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求直線EF的解析式；（2）求△EOF的面積；（3）若點(diǎn)P在y軸上，且△POE是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)直線EF的解析式為：y＝kx+b，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），BA⊥y軸，BC⊥x軸，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2，∵點(diǎn)E、F都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），則，解得：，∴直線EF的解析式為y＝﹣x+3；（2）S△EOF＝2×4﹣×2×2﹣×4×1﹣×2×1＝3；（3）∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），∴OE＝＝2，當(dāng)OP＝OE＝2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣2）；當(dāng)EO＝EP時(shí)，PA＝OA＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），當(dāng)PO＝PE時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），綜上所述，△POE是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣2）或（0，4）或（0，2）．4．（2022秋?天橋區(qū)校級(jí)月考）如圖1，一次函數(shù)AB：y＝x+1的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）大的圖象交于點(diǎn)A（a，3），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求a，k的值．（2）直線CD過點(diǎn)A，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，AC＝AD．①如圖2，連接OA，OC，求△OAC的面積．②點(diǎn)P在x軸上，若以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將（a，3）代入y＝x+1，得3＝a+1，∴a＝4，將（4，3）代入y＝，∴k＝12；（2）①∵AC＝AD，A（4，3），設(shè)C（m，n），D（z，0），由中點(diǎn)公式知：＝3，＝4n＝6，將n＝6代入y＝，得6＝，∴m＝2，∴z＝6，∴△OAC的面積＝6×6÷2﹣6×3÷2＝9；（3）設(shè)P（s，0），∵A（4，3），B（0，1），當(dāng)PA＝PB時(shí)，（s﹣4）2+32＝s2+12，解得s＝3，∴P（3，0），當(dāng)PB＝AB時(shí)，s2+12＝42+（3﹣1）2，解得s＝±，∴P（，0）或P（﹣，0），當(dāng)PA＝AB時(shí)，（s﹣4）2+32＝42+（3﹣1）2，解得s1＝4+，s2＝4﹣，∴P（4+，0）或（4﹣，0），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（，0）或（﹣，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．4．（2022?泰安三模）如圖，直線AD：y＝3x+3與坐標(biāo)軸交于A、D兩點(diǎn)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ABCD，過C作CG⊥y軸于G點(diǎn)，過點(diǎn)C的反比例函數(shù)y＝（k≠0）與直線AD交于E、F兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)y＝表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象，求出不等式0＜3x+3＜的解集；（3）在x上是否存在一點(diǎn)Q使△CBQ為等腰三角形，若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADO+∠CDG＝90°，∵CG⊥y軸，∴∠CGD＝90°，∴∠∠CDG+∠DCG＝90°，∴∠ADO＝∠DCG，在△AOD和△DGC中，，∴△AOD≌△DGC（AAS）．對(duì)于直線AD：y＝3x+3，令x＝0，則y＝3，∴D（0，3），∴OD＝3，令y＝0，則3x+3＝0，∴x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵△AOD≌△DGC，∴CG＝OD＝3，DG＝OA＝1，∴C（3，2），將點(diǎn)C代入反比例函數(shù)中，得k＝2×3＝6，∴反比例函數(shù)的解析式為①．（2）∵直線AD的解析式為y＝3x+3②，聯(lián)立①②得，，解得，或，∴E（1，6），F(xiàn)（﹣2，﹣3），由圖象可得不等式的解集為0＜x＜1．（3）過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M．同法可證△DAO≌ABM，∴OA＝BM＝1，AM＝OD＝3，∴OM＝2，∴B（2，﹣1），設(shè)Q（a，0），CB＝，CQ＝，BQ＝，①當(dāng)△CBQ為等腰三角形，CB＝CQ時(shí)，CB2＝CQ2，∴，解得：，此時(shí)．②當(dāng)△CBQ為等腰三角形，BC＝BQ時(shí)，BC2＝BQ2，∴，解得：a1＝﹣1，a2＝5，此時(shí)Q3（﹣1，0）Q4（5，0）．③當(dāng)△CBQ為等腰三角形，QC＝QB時(shí)，CQ＝，BQ＝，∴（3﹣a）2+22＝（a﹣2）2+1，解得：a＝4，此時(shí)Q5（4，0）．∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，Q3（﹣1，0），Q4（5，0），Q5（4，0）．【類型三反比例函數(shù)中直角三角形的存在性】5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的反比例函數(shù)圖象交AB于E點(diǎn)，連接DE．若OD＝5，OC＝3．（1）求過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式；（2）求△DBE的面積；（3）x軸上是否存在點(diǎn)P使△OPD為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵四邊形OABC為矩形，∴△OCD為直角三角形，∵OD＝5，OC＝3，∴CD＝4，∴D（4，3），設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝，∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，∴k＝4×3＝12，∴反比例函數(shù)解析式為y＝；（2）∵D為BC的中點(diǎn)，且BC＝2CD＝8，∴B（8，3），∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，且E在反比例函數(shù)圖象上，在y＝中，令x＝8，可得y＝，∴E（8，），∴BE＝3﹣＝，且BD＝4，∴S△DBE＝BD?BE＝×4×＝3；（3）∵P在x軸上，∴可設(shè)P（t，0），∵∠DOA為銳角，∴當(dāng)△OPD為直角三角形時(shí)，有∠DPO＝90°或∠ODP＝90°，且點(diǎn)P在x軸正半軸上，①當(dāng)∠DPO＝90°時(shí)，則DP⊥x軸，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；②當(dāng)∠ODP＝90°時(shí)，由D（4，3），P（t，0），∴PD2＝（t﹣4）2+32＝t2﹣8t+25，且OD2＝52＝25，OP2＝t2，由勾股定理可得PD2+OD2＝OP2，即t2﹣8t+25+25＝t2，解得t＝，∴P（，0）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（4，0）或（，0）．【類型四反比例函數(shù)中平行四邊形的存在性】6．（2022春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，6），B（3，n）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接OA、OB，求△AOB的面積；（3）直線a經(jīng)過點(diǎn)（0，1）且平行于x軸，點(diǎn)M在直線a上，點(diǎn)N在y軸上，以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形可以是平行四邊形嗎？如果可以，直接寫出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，如果不可以，說明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（1，6）代入，∴m＝6，∴y＝，將B（3，n）代入y＝，∴n＝2，∴B（3，2），將A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣2x+8；（2）設(shè)直線y＝2x+8與x軸交于D，與y軸交于點(diǎn)C，∴C（0，8），D（4，0），∴S△AOB＝S△COD﹣S△ACO﹣S△BOD＝8×4﹣8×1﹣＝8；（3）以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形可以是平行四邊形，理由如下：設(shè)M（m，1），N（0，n），①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，解得，∴M（4，1），N（0，7）；②當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，解得，∴M（2，1），N（0，5）；③當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，解得，∴M（﹣2，1），N（0，﹣3）；綜上所述：M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（﹣2，1），N（0，﹣3）．7．（2022?嵩縣模擬）如圖，直線AC和BC的解析式分別是y＝x+1和y＝﹣+，AC與BC相交于點(diǎn)C，CD⊥y軸于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與直線BC相交于點(diǎn)C和E，點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出當(dāng)＞﹣+時(shí)x的取值范圍；（3）當(dāng)以點(diǎn)B、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）當(dāng)x+1＝﹣+時(shí)，解得x＝2，∴y＝3，∴C（2，3），∵點(diǎn)C（2，3）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝6，∴y＝；（2）當(dāng)＝﹣+時(shí)，解得x＝2或4，∴E（4，），∴當(dāng)0＜x＜2或x＞4時(shí)，＞﹣+；（3）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣+＝0，∴x＝6，∴B（6，0），當(dāng)CD為平行四邊形的邊時(shí)，則CD∥BP，CD＝BP，∴P（4，0）或（8，0），當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，此情形不存在，綜上：P（4，0）或（8，0）．8．（2021秋?和平區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+1與反比例函數(shù)y＝的圖象在第四象限相交于點(diǎn)A（2，﹣1），一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)B．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍是；（3）點(diǎn)C是第二象限內(nèi)直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD∥x軸，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)D，若以O(shè)，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【解答】解：（1）∵y＝過A（2，﹣1），∴k＝xy＝2×（﹣1）＝﹣2，∴y＝，由y＝0得，﹣x+1＝0，∴x＝1，∴B（1，0）；（2）由＝﹣x+1得，x1＝2，x2＝﹣1，∴當(dāng)一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)，﹣1＜x＜0或x＞2，故答案是：﹣1＜x＜0或x＞2；（3）設(shè)C（1﹣a，a），D（，a），∴CD＝|1﹣a+|，當(dāng)CD＝OB時(shí)，|1﹣a+|＝1，∴a＝±，a＝1±∵C在第二象限，a＝或a＝1+，∴C（1﹣，）或（﹣，1+），故答案是：（1﹣，）或（﹣，1+）．【類型五反比例函數(shù)中矩形的存在性】9．（2022春?大英縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．設(shè)AB所在直線解析式為y＝ax+b（a≠0）．（1）求反比例和一次函數(shù)解析式；（2）若將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個(gè)單位，在平移中若反比例函數(shù)圖象與菱形的邊AD始終有交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）在直線AB上是否存在M、N兩點(diǎn)，使以MNOD四點(diǎn)的四邊形構(gòu)成矩形？若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在直接求出M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，延長AD交x軸于F，由題意得AF⊥x軸，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3），∴OF＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，8），∴k＝xy＝4×8＝32，由菱形的性質(zhì)得到B（0，5），設(shè)直線AB的方程為：y＝ax+b（a≠0），則，解得，故反比例解析式為y＝；直線AB的方程為：y＝x+5；（2）將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個(gè)單位，使得點(diǎn)D落在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象D'點(diǎn)處，∴點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4+m，3），∵點(diǎn)D'在y＝的圖象上，∴3＝，解得m＝，∴0≤m；（3）如圖，存在，理由：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝5，過D作DE⊥x軸于E，過N作NF⊥y軸于F，過M作MH⊥y軸于H，∴∠DEO＝∠ONB＝∠NOD＝90°，∴∠BON+∠BOD＝∠BOD+∠DOE＝90°，∴△BON≌△DOE（AAS），∴BN＝DE＝3，ON＝OE＝4，∴S△OBN＝OB?NF＝BN?ON，∴NF＝，∵點(diǎn)N在直線AB上，∴N（﹣，），設(shè)M（n，n+5），∴MH＝n，OH＝n+5，∵BM2＝BH2+MH2，∴22＝（n+5﹣5）2+n2，∴n＝±，∵n＞0，∴M（，）．10．（2022春?嘉興期末）如圖，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A（﹣2，3），B．點(diǎn)C是x軸上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，射線AC交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)AD，BC，BD．（1）①寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．②求證：四邊形ACBD是平行四邊形．（2）當(dāng)四邊形ACBD是矩形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)A，C，E三點(diǎn)中的其中一點(diǎn)到另兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，求的值．【解答】解：（1）①∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A（﹣2，3），B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴B（2，﹣3）；②∵點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA＝OB，∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，∴OC＝OD，∴四邊形ACBD是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形ACBD是矩形時(shí)，則CD＝AB，∴OC＝OB，∵B（2，﹣3），∴OB＝＝，∴OC＝，∴C（，0）；（3）當(dāng)點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)時(shí)，則AE＝CE，作AH⊥x軸于H，∴OE∥AH，∴OH＝OC＝2，OE＝AH＝，∵OC＝OD，∴點(diǎn)D與H重合，∴AD＝AH＝3，∴＝，當(dāng)點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)時(shí)，則OE＝AH，OC＝CH＝1，由勾股定理得，AD＝，∴，綜上：＝或．【類型六反比例函數(shù)中菱形的存在性】11．（2022春?淮陰區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為矩形，B（5，4），D（﹣3，0），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P、Q有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示：BP＝cm，CQ＝cm；（2）函數(shù)y＝的圖象在第一象限內(nèi)的一支雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P，且與線段BC交于點(diǎn)M，若出△POM的面積為7.5cm2，試求此時(shí)t的值；（3）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)過程的中，是否存在某一時(shí)刻t，使坐標(biāo)平面上存在點(diǎn)E，以P、Q、C、E為頂點(diǎn)的四邊形剛好是菱形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：AP＝tcm，AB＝5cm，∴BP＝（5﹣t）cm，∵DC＝DO+OC＝3+5＝8，DQ＝2tcm，∴CQ＝DC﹣DQ＝（8﹣2t）cm，故答案為：（8﹣2t）；當(dāng)BP＝CQ時(shí)，四邊形PQCB是矩形，∴5﹣t＝8﹣2t，解得：t＝3，∴當(dāng)t＝3時(shí)，四邊形PQCB為矩形；故答案為：（5﹣t）；3；（2）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，4），點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝4t，∴y＝，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，），∴BM＝4﹣，連接PM，如圖1所示：∴△POM的面積S＝矩形AOCB的面積﹣△AOP的面積﹣△PBM的面積﹣△OCM的面積＝5×4﹣×t×4﹣×（5﹣t）×（4﹣）﹣×5×＝﹣t2+10，∵點(diǎn)Q從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C用是為4秒，點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B用時(shí)為5秒，∴0≤t≤4，∴S＝﹣t2+10（0≤t≤4）；（3）存在；t的值為或，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，4）或（3﹣2，4）；理由如下：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2t﹣3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0），∴PQ2＝（t﹣3）2+42，PC2＝（t﹣5）2+42，CQ2＝（8﹣2t）2；分情況討論：①當(dāng)PQ＝PC時(shí)，（t﹣3）2+42＝（t﹣5）2+42，解得：t＝4（不合題意，舍去）；②當(dāng)PQ＝CQ時(shí)，（t﹣3）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合題意，舍去），∴t＝；若四邊形PQCE為菱形，則PE∥CQ，點(diǎn)E在直線AB上，如圖2所示：∴AE＝AP+PE＝t+8﹣2t＝8﹣t＝8﹣＝，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，4）；③當(dāng)PC＝CQ時(shí)，（t﹣5）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合題意，舍去），∴t＝；若四邊形PQCE為菱形，則PE∥CQ，點(diǎn)E在直線AB上，如圖3所示：∴AE＝PE﹣AP＝8﹣2t﹣t＝8﹣3t＝﹣3+2，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3﹣2，4）；綜上所述：存在某一時(shí)刻，使坐標(biāo)平面上存在點(diǎn)E，以P、Q、C、E為頂點(diǎn)的四邊形剛好是菱形，t的值為或，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，4）或（3﹣2，4）．12．（2022春?古縣期末）綜合與探究如圖1，反比例函數(shù)的圖象y＝﹣經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，作直線AB．（1）判斷點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，并說明理由；（2）如圖1，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線交反比例函數(shù)y＝﹣的圖象于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是4，順次連接AD，DB，BC和CA．求證：四邊形ACBD是矩形；（3）已知點(diǎn)P在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)O，B，P和Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】（1）解：結(jié)論：點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上．理由：∵反比例函數(shù)的圖象y＝﹣經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2，∴A（﹣2，4），∵A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴B（2，﹣4），∵x＝2時(shí)，y＝﹣＝﹣4，∴點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上；（2）證明：由題意，C（4，﹣2），D（﹣4，2），∵C，D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OC＝OD，∵A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA＝OB，∴四邊形ADBC是平行四邊形，∵CD＝＝4，AB＝＝4，∴AB＝CD，∴四邊形ADBC是矩形；（3）解：如圖，當(dāng)四邊形OBP1Q1是菱形時(shí)，P1（4，0）．當(dāng)四邊形OBQ2P2是菱形時(shí)，P2（2，0）．當(dāng)四邊形OP3BQ3是菱形時(shí)，P3（5，0），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）或（2，0）或（5，0）．13．（2022春?沭陽縣期末）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的第一象限內(nèi)的圖象上，OA＝6，OC＝10，動(dòng)點(diǎn)P在x軸的上方，且滿足S△PAO＝．（1）若點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）連接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則請(qǐng)你直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，∵S△PAO＝．∴，∴m＝4，∵四邊形OABC是矩形，OA＝6，OC＝10，∴B（6，10），∴k＝6×10＝60，∵點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為＝15，∴P（15，4）；（2）如圖，點(diǎn)P在直線y＝4上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)O關(guān)于直線y＝4的對(duì)稱點(diǎn)O'，連接O'A，此時(shí)PO+PA的最小值即為AO'的長，在Rt△AOO'中，由勾股定理得，AO'＝＝10，∴PO+PA的最小值為10；（3）當(dāng)AP＝AB＝10時(shí)，如圖，AG＝4，∴PG＝2，∴P（6﹣2，4），∴Q（6﹣2，14），當(dāng)點(diǎn)P在G的右側(cè)時(shí)，同理Q'（6+2，14），當(dāng)BA＝BP時(shí)，如圖，由勾股定理得PG＝8，∴P（﹣2，4），∵PQ＝10，∴Q（﹣2，﹣6），同理，當(dāng)P在G的右側(cè)時(shí)，Q'（14，﹣6），當(dāng)PA＝PB時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線y＝5上，點(diǎn)P又在直線y＝4上，故不存在，綜上：Q（6﹣2，14）或（6+2，14）或（﹣2，﹣6）或（14，﹣6）．【類型七反比例函數(shù)中等腰直角三角形的存在性】14．（2022?泰安二模）如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于A（a，﹣2）、B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)P為第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)C，連接PO，如果△POC的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)E在y軸上，反比例函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)F，使△BEF是以BF為直角邊的等腰直角三角形，如果存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將A（a，﹣2）代入y＝，得﹣2＝，解得：a＝﹣4，∴A（﹣4，﹣2），將A（﹣4，﹣2）代入y＝，得﹣2＝，解得：k＝8，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，∵點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴B（4，2）；（2）如圖，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于C，設(shè)P（m，），則C（m，），∵S△POC＝3，∴，解得：m＝2或2，∴P（2）或（2，4）；（3）存在，當(dāng)∠F＝90°時(shí)，∴∠BFG+∠HFE＝90°，∵∠BFG+∠FBG＝90°，∴∠HFE＝∠FBG，又∵∠EHF＝∠FGB，∴△FBG≌△HFH（AAS），∴FG＝HE，BG＝HF，設(shè)FH＝m，則F（m，6﹣m），∴m（6﹣m）＝8，解得m＝2或m＝4（舍），∴F（2，4）；當(dāng)點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸時(shí)，如圖，同理可得F（﹣4，﹣2），當(dāng)∠B＝90°時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在第一象限，設(shè)F（m，），則，∴m＝，∴F（，6）；當(dāng)點(diǎn)F在第三象限時(shí)，設(shè)F（m，），則2﹣＝4，解得m＝﹣4，∴F（﹣4，﹣2），綜上：F（2，4）或（﹣4，﹣2）或（，6）．15．（2022春?封丘縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D分別在反比例函數(shù)和的圖象上，AB⊥x軸于點(diǎn)A，DC⊥x軸于點(diǎn)C，O是線段AC的中點(diǎn)，AB＝3，DC＝2．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）連接BD，OB，OD，求△ODB的面積．（3）P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究是否存在點(diǎn)P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵AB＝3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)軸為3，∴3＝﹣，∴x＝﹣2，∴B（﹣2，3），∵O是線段AC的中點(diǎn)，∴C（2，0），∴CD＝2，∴D（2，2），∴k＝4，∴y＝；（2）S△OBD＝S梯形ACDB﹣S△BAO﹣S△OCD＝×（3+2）×4﹣×2×3﹣×2×2＝10﹣3﹣2＝5；（3）存在點(diǎn)P，使得△APQ是等腰直角三角形，理由如下：設(shè)直線OB的解析式為y＝kx，∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴y＝﹣x，設(shè)Q（t，﹣t），①當(dāng)∠PAQ＝90°時(shí)，AP＝AQ，∴Q點(diǎn)與O點(diǎn)重合，此時(shí)P（﹣2，2）；②當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，AP＝PQ，∴t+2＝﹣t，解得t＝﹣，∴P（﹣2，）；③當(dāng)∠PQA＝90°時(shí)，PQ＝AQ，∴t+2＝﹣t，解得t＝﹣，∴P（﹣2，）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣2，）或（﹣2，）．16．（2022春?越城區(qū)期末）已知點(diǎn)A（3，2）、點(diǎn)B（m，n）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求k的值；（2）若m＝1，C（﹣1，0），試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）若點(diǎn)C在x軸正半軸上，當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（3，2）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，∴k＝2×3＝6；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：當(dāng)m＝1，k＝6時(shí)，∴點(diǎn)B（1，n），反比例函數(shù)解析式為y＝，∴n＝6，∴點(diǎn)B（1，6），∵點(diǎn)A（3，2），點(diǎn)B（1，6），點(diǎn)C（﹣1，0），∴AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝2，∴AB＝AC，AB2+AC2＝40＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形；（3）如圖，當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，∵點(diǎn)A（3，2），∴OE＝3，AE＝2，∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°＝∠AEC＝∠BFC，∴∠ACE+∠BCF＝90°＝∠ACE+∠CAE，∴∠BCF＝∠EAC，又∵∠AEC＝∠BFC＝90°，AC＝BC，∴△ACE≌△CFB（AAS），∴AE＝CF＝2，BF＝CE，設(shè)CE＝BF＝a，∴OF＝5+a，∴點(diǎn)B（5+a，a），∴（5+a）a＝6，∴a＝1，a＝﹣6（舍去），∴EC＝1