全等三角形基本模型綜合訓練(四)(原卷版+解析)

全等三角形基本模型綜合訓練（四）1．如圖，四邊形，，，，，則四邊形的對角線的長（

）A． B． C． D．22．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD與BC的和是12，點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點，則△EFG的周長是（）A．8 B．9 C．10 D．123．如圖所示，是正方形的對角線上一點，于點，若CF=3，EF=4，則的長是（

）A．3 B．4 C．5 D．74．如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B在x軸上，OB=5，OA=2，點C是y軸上一動點，連接，將繞點A順時針方向旋轉得到，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．如圖，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于點D，PE⊥OA于點E，PC//OB交OA于點C，若PD＝3，則OC的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．36．如圖，在平面直角坐標系中，點，．將線段繞點順時針旋轉得到線段，則點的坐標為________．7．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，∠EAF＝45°，△ECF的周長為8，則正方形ABCD的邊長為_____．8．如圖，點E在正方形ABCD的邊BC上，連接DE、BD，延長CB到點F，使BF＝CE，過點E作EG⊥BD于點G，連接FG．若DE＝，則FG的長為_____．9．如圖，在矩形紙片中，，，M是上的點，且，將矩形紙片沿過點M的直線折疊，使點D落在上的點P處，點C落在點處，折痕為，則線段的長是__________．10．問題提出（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B與∠D互補，BC=2CD=20，點A到BC的距離為17，求四邊形ABCD的面積；問題解決（2）如圖②，某公園計劃在一塊空地上修建兩大主題活動區(qū)域，其中△ABE為健身活動區(qū)域，△CDE為文藝活動區(qū)域，已知AB=BC=60m，∠B=60°，AB∥CD．按照設計要求，現(xiàn)要在BC上找一點E，使得AE=ED，∠AED=60°，請問是否存在滿足設計要求的點E，使得文藝活動區(qū)域的面積盡可能大？若存在，求出文藝活動區(qū)域的面積及此時點B，E之間的距離；若不存在，請說明理由．11．綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，老師向大家展示了一個圖形變換的問題．如圖1．將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE，AF，連接EF．試判斷的形狀．獨立思考：(1)請解答問題情境提出的問題，并寫出證明過程．實踐探究：(2)如圖2．將圖1中的繞點A旋轉，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點P，Q，連接PQ．請猜想線段BP，PQ，DQ之間的數(shù)量關系，并加以證明．問題解決：(3)如圖3．連接正方形對角線BD，若圖2中的的邊AP，AQ分別交對角線BD于點M，N，將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4所示．若，，求MN的長．12．如圖，在等腰中，，，垂足為．點為邊上一點，連接并延長至．使，以為底作等腰．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，連接，，點為的中點，連接，過作，垂足為，連接交于點，求證：；(3)如圖3，點為平面內不與點重合的任意一點，連接，將繞點順時針旋轉得到，連接，，直線與直線交于點，為直線上一動點，連接并在的右側作且，連接，為邊上一點，，，請直接寫出的最小值．全等三角形基本模型綜合訓練（四）1．如圖，四邊形，，，，，則四邊形的對角線的長（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】解：如圖，連接，交于點，，，是等邊三角形，，，是等腰直角三角形，，，垂直平分，,，，，，，故選A．2．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD與BC的和是12，點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點，則△EFG的周長是（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【詳解】解：如圖，連接AE，并延長交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，∵點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點，∴BE＝DE，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK＝AB，AE＝EK，∴EF為△ACK的中位線，∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB），∵EG為△BCD的中位線，∴EG＝BC，又∵FG為△ACD的中位線，∴FG＝AD，∴EG+GF＝（AD+BC），∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，∴EG+GF＝6，F(xiàn)E＝3，∴△EFG的周長是6+3＝9，故選：B．3．如圖所示，是正方形的對角線上一點，于點，若CF=3，EF=4，則的長是（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【詳解】解：連接CE，如圖所示，∵，∴，在Rt△CEF中，CF=3，EF=4，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴，故選：C4．如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B在x軸上，OB=5，OA=2，點C是y軸上一動點，連接，將繞點A順時針方向旋轉得到，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】構造等邊三角形OAE，過點E作AE⊥EF，垂足為E，交x軸于點F，截取ED=OC,∵等邊三角形OAE，∴AO=AE，∠OAE=∠AOE=60°，∵ED=OC,∠AED=∠AOC=90°，∴△AOC≌△AED，∴AC=AD，且∠CAD=60°，∴點D在直線EF上，過點B作BD⊥EF，此時BD最小，∵OB=5，OA=2，∴AE∥BD，∠OEF=∠OFE=30°，∴OF=OE=OA=AE=2，AB=3，∴FA=4，F(xiàn)B=7，，∴，解得BD=，故選A．5．如圖，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于點D，PE⊥OA于點E，PC//OB交OA于點C，若PD＝3，則OC的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【詳解】解：如圖，作PE⊥OA于E，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=3，∵∠AOB=150°，OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP=75°，∵PC∥OB，∴∠CPO=∠BOP=75°，∴∠AOP=∠CPO=75°，∴CP=CO，∠PCO=30°，∴PC=2PE=6，∴OC=6．故選：A．6．如圖，在平面直角坐標系中，點，．將線段繞點順時針旋轉得到線段，則點的坐標為________．【答案】(3，1)【詳解】過點C作CD⊥x軸，垂足為D，∵線段繞點順時針旋轉得到線段，∴∠OBA=∠2，BA=AC，∴△OBA≌△DAC，∴AD=BO，AO=CD，∵點，，∴OA=1，OB=2，∴AD=BO=2，AO=CD=1，∴OD=3，∴點C的坐標(3，1)，故答案為：(3，1)．7．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，∠EAF＝45°，△ECF的周長為8，則正方形ABCD的邊長為_____．【答案】4【詳解】解：將△DAF繞點A順時針旋轉90度到△BAF′位置，由題意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中,，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周長為8，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=2BC=8，∴BC=4，即正方形的邊長為4．故答案為：4．8．如圖，點E在正方形ABCD的邊BC上，連接DE、BD，延長CB到點F，使BF＝CE，過點E作EG⊥BD于點G，連接FG．若DE＝，則FG的長為_____．【答案】【詳解】連接：AF、AG、CG．四邊形ABCD為正方形．，，．在和中，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，且，，，是等腰直角三角形．．故答案為：．9．如圖，在矩形紙片中，，，M是上的點，且，將矩形紙片沿過點M的直線折疊，使點D落在上的點P處，點C落在點處，折痕為，則線段的長是__________．【答案】5【詳解】解：連接PM，∵矩形紙片ABCD中，，，∴，∵，∴，由折疊性質可知：，，∴，∵PM=PM，∴，∴，∴，故答案為：5．10．問題提出（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B與∠D互補，BC=2CD=20，點A到BC的距離為17，求四邊形ABCD的面積；問題解決（2）如圖②，某公園計劃在一塊空地上修建兩大主題活動區(qū)域，其中△ABE為健身活動區(qū)域，△CDE為文藝活動區(qū)域，已知AB=BC=60m，∠B=60°，AB∥CD．按照設計要求，現(xiàn)要在BC上找一點E，使得AE=ED，∠AED=60°，請問是否存在滿足設計要求的點E，使得文藝活動區(qū)域的面積盡可能大？若存在，求出文藝活動區(qū)域的面積及此時點B，E之間的距離；若不存在，請說明理由．【答案】（1）四邊形ABCD的面積為255；（2）BE=30m時，文藝活動區(qū)域的面積的最大值為225m2．【詳解】解：（1）連接AC，延長CB至E，使BE=CD，∵∠ABC+∠D=180°，而∠ABC+∠ABE=180°，∴∠D=∠ABE，∵AB=AD，BE=CD，∴△ADC≌△ABE(SAS)，∵BC=2CD=20，∴EC=30，∵點A到BC的距離為17，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC==255；（2）∵AB=BC=60m，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵AE=DE，∠AED=60°，∴△AED是等邊三角形，連接AC，過點E作EF∥AB交AC于點F，則△ECF是等邊三角形，∴∠AED=∠FEC=60°，EF=EC，AE=DE，∴∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC(SAS)，設BE=x，則EC=FC=60-x，∴AF=AC-FC=60-(60-x)=x，過點E作EH⊥AC于點H，則EH=ECsin60°=(60-x)，∴S△ECD=S△AEF=AF×EH=x(60-x)=-(x2-60x)=-(x-30)2+225，∵-<0，∴當x=30時，S△ECD有最大值，最大值為225，∴BE=30m時，文藝活動區(qū)域的面積的最大值為225m2．．11．綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，老師向大家展示了一個圖形變換的問題．如圖1．將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE，AF，連接EF．試判斷的形狀．獨立思考：(1)請解答問題情境提出的問題，并寫出證明過程．實踐探究：(2)如圖2．將圖1中的繞點A旋轉，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點P，Q，連接PQ．請猜想線段BP，PQ，DQ之間的數(shù)量關系，并加以證明．問題解決：(3)如圖3．連接正方形對角線BD，若圖2中的的邊AP，AQ分別交對角線BD于點M，N，將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4所示．若，，求MN的長．【答案】(1)△AEF都是等腰三角形，理由見解析；(2)PQ=BP+DQ，理由見解析；(3)25【解析】(1)解∶△AEF是等腰三角形，理由如下∶∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=∠B=∠D=90°，∴△ABC，△ADC都是等腰三角形，∴∠BAC=∠DAC=45°，根據(jù)題意得∶∠BAE=∠CAE=22.5°，∠DAF=∠CAF=22.5°，∴，∠BAE=∠DAF=22.5°，∵∠B=∠D=90°，AB=AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；(2)解∶PQ=BP+DQ，理由如下∶如圖，延長CB到T，使得BT=DQ．∵AD=AB，∠ADQ=∠ABT=90°，DQ=BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT=AQ，∠DAQ=∠BAT，由（1）得∶∠PAQ=45°，∴∠PAT=∠BAP+∠BAT=∠BAP+∠DAQ=45°，∴∠PAT=∠PAQ=45°，∵AP=AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ=PT，∵PT=PB+BT=PB+DQ，∴PQ=BP+DQ；(3)解：如圖，將△ADN繞點A順時針旋轉90°得到△ABR，連接RM．∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠DAN+∠BAM=45°，∵∠DAN=∠BAR，∴∠BAM+∠BAR=45°，∴∠MAR=∠MAN=45°，∵AR=AN，AM=AM，∴△AMR≌△AMN(SAS)，∴RM=MN，∵∠D=∠ABR=∠ABD=45°，∴∠RBM=90°，∴RM2=BR2+BM2，∵DN=BR，MN=RM，∴BM2+DN2=MN2．∵，，∴．12．如圖，在等腰中，，，垂足為．點為邊上一點，連接并延長至．使，以為底作等腰．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，連接，，點為的中點，連接，過作，垂足為，連接交于點，求證：；(3)如圖3，點為平面內不與點重合的任意一點，連接，將繞點順時針旋轉得到，連接，，直線與直線交于點，為直線上一動點，連接并在的右側作且，連接，為邊上一點，，，請直接寫出的最小值．【答案】(1)；(2)見解析；(3)【解析】(1)過E點作EH⊥AD于H點，如下圖所示：∵△ABC為等腰直角三角形，且AD⊥BC，∴∠DAC=45°，△AHE為等腰直角三角形，∴，又已知∠ADE=30°，且△DHE為30°，60°，90°直角三角形，∴，∴，∵△ADC為等腰直角三角形，∴；(2)如下圖所示：連接GC，DG，∵△DEG、△DAC均為等腰直角三角形，∴∠ACD=∠EGD=45°，∴D、E、C、G四點共圓，∴∠DCG=∠DEG=45°，∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°，如下圖所示：連接FC，DM，AG，∵DH⊥AC，∴∠DHC=90°=∠ACG，∴CG∥DH，∵△ADC為等腰直角三角形，且DH⊥AC∴H為AC的中點，∴NH為△ACG的中位線，∴NG=，∵點M和點D分別是BF和BC的中點，∴MD是△B