（人教A版）2021年新高一數學暑假講義-第七講 集合的運算（補集）

第七講：集合的運算(補集)

鞫【學習目標】

1.了解全集的含義及其符號表示；

2.理解給定集合中一個子集的補集的含義，并會求給定子集的補集；

3.會用Venn圖、數軸進行集合的運算.

一、知識點：全集

(1)定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集.

(2)記法：全集通常記作U.

二、補集

對于一個集合4,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為

自然語言

集合A相對于全集U的補集，記作

符號語言={x|xeU且工金A}

圖形語言

(5g【考點剖析】

考點一：補集的計算(基礎)

?。堇?.已知全集〃={*62|*€2},集合A={-2-1,2},則2A=()

A.{-5,04,4,7}B.{0,1,3,4,7}C.{-5,0,3,4,7}D.{0,3,4,5,7}

【答案】C

【詳解】

U={xeZ|aJez}={-5,-2,-1,0,2,3,4,7},

.?啟/={-5,0,3,4,7}.

故選：c.

變式訓練1：已知全集為實數集R,集合A={x[(x+l)(2—x)N0},則條A=()

A.1x|-l<x<2}B.{x|x<-l或x>2}

C.{%|工<-1或x>2}D.{x|-l<x<2}

【答案】B

【詳解】

由(x+l)(2-x)20,解得一1WXW2，

A={x|-l<x<2},

I.3RA={xI%v-1或x>2},

故選：B.

變式訓練2：已知集合。={m―1<%<3},A={X|X2-2X-3<0},則()

A.{-1}B.{3}C.{-1,3}D.0

【答案】C

【詳解】

由已知4={工|工2—2*—3<0}={劃一1<%<3},所以。,4={-1,3}.

故選：C.

變式訓練3：.若集合4={乂3/一3—10<()},則々A=()

A.{x|x<-§或x>2}B.{x|或x22}

C.[x|—~<x<2}D.{x\~<x<2}

【答案】B

【詳解】

.1-3^T4={X|X<-1-UJ4X>2|.

故選：B.

考點二：補給的運算（提升）

例2.已知集合。=H,A={x|x>l},B={x[-l<x<2},貝iJ(Q,A)n8=()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}

C.{x|-l<x<l}D.{x|-l<x<l}

【答案】C

【詳解】

由題設知：4/A={x|xVl},而8={幻―1<犬<2},

A(^A)n5={x|-l<x<l}.

故選：C

變式訓練1：設集合U={0,1,3,5,6,8},A={3,5,8},B={2},則?A)U3=()

A.{0,1,2,6}B.{0,3,6}C.{1,2,5,8}D.0

【答案】A

【詳解】

由題設知：令4={0,1,6},而8={2},

.??4)118={0,1,2,6}.

故選：A.

變式訓練2：設集合A={X|X2?4},B={X|X<0},則今(AUB)=()

A.{x}x>2}B.{x\x>2}

C.{x|尤<-2或0<x<2}D.{x|xW-2或0<xW2}

【答案】B

【詳解】

集合A={x\x2<4}=|x|(x+2)(x-2)<o!=|x|-2<x<21,5={x|x<0},

故AU8={MXW2},則5(AU3)={X|X>2}.

故選：B.

變式訓練3：已知全集0=尺4=卜|x2-4x_2i>o},B={xeN|x>3},則(電A)nB=()

A.{x|3<%,7}B.{x|-3熟k3}C.{4.5,6}D.{4,5,6,7}

【答案】D

【詳解】

好4={%1?一4%—2啜0}={w一3/7},

.?.他A)c8={xeN|3<匕,7}={4,5,6,7}

故選:D.

考點三：交、并、補的綜合運算

例3.已知集合A={x|x<l或X>2},6={x[0<x<3},則()

A.AU8={x|0?x<l或2cx<3}B.Ap\B=R

C.^A={x|1<x<2}D.^B={x|0<x<3}

【答案】C

【詳解】

；A={x|x<l或x>2},B={x|0<x<3},

/.dRA={x|1<x<2},今3={*|%<0或x23}

AU8=R,An8={x|0<x<l或2Vx<3}

故選：C

變式訓練1：設集合A={1,2,3,4},B={2,4},則集合{1,3}=()

A.AQj?B.C.AUBD.3n(QA)

【答案】B

【詳解】

解：因為集合{1,3}的元素都在集合A中，但不在3中，所以為AI（CRB）.

故選：B.

變式訓練2：已知全集。=R,集合A={1,2,3,4,5},8={-2,0,1,2}之間關系的Venn圖如圖所示，則圖

中陰影部分表示的集合為（）I

A.{-2,0}B.{-2}

C.{-2,0,1}D.{-2,0,2,1）（

【答案】A、-

[詳解]'-------------------------------1

由維恩圖可知，陰影部分為BcQA,

因為全集。=R,集合A={1,2,3,4,5},B={-2,0,1,2},

.?.BnG/A={-2,0},

故選：A

變式訓練3：設全集U=ADB={H—1<X<3},An&8）={x[2<x<3},則集合8=（）

A.同-l〈x<2}B.1%|-1<x<21C.{x[2<x<3}D.{x|24x<3}

【答案】B

【詳解】

因為。=4U8,

所以3=旗40°8）=卜卜l<x<2}.

故選：B

考點四：集合相關的運算（論”圖）

例4.已知全集。=R,集合A={-4,0,l,2,3,4,6,7,9},B={-5,-3,1,3,4,5,7,8},

。={-2,-1,0,1,2,3,5,8},則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{0,2,4,5,7,8}u

B.{0,123,4,5,7,8}

C.1-5,^4,—3,—2,—1,6,9}

D.{-1,2,4,5,7,8}

【答案】A

【詳解】_

將對應的數字放在相應的集合中，如下圖所示：

故圖中陰影部分表示的集合為{024,5,7,8}.

故選：A.

變式訓練1：已知全集。={123,4,5,6,7,8},M={1,3,6},P={3,4,5},指出口〃圖中陰影部分表示

的集合是（）

A.{3}B.{1,4,5,6}C.{2,3,7,8)D.{2,7,8}

【答案】C

【詳解】

因為M={1,3,6},P={3,4,5},

所以McP={3},MuP={l,3,4,5,6},

因為U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以屯（〃u尸）={2,7,8},

由Venn圖易知，Venn圖中陰影部分表示的集合是布（MUP）C尸）,

故也加圖中陰影部分表示的集合是{2,3,7,8},

故選：C.

變式訓練2：圖中陰影部分所對應的集合是（）

A.（AUB）A（^B）B.0，（4口8）

c.（e（An8））n（AU3）D.（^,（AUB））U（AAB）

【答案】c

【詳解】

圖中陰影部分所對應的集合是兩部分集合的并集，

即⑷（施）［u［BI（精）卜也（AIB）］I（AUB）,

故選：c

變式訓練3：如圖所示，表示圖形陰影部分的是（）

A.(AAB)UCB.AplCfiUC)C.(AUB)UCD.(AU8)nC

【答案】A

【詳解】

由已知中陰影部分所表示的集合元素滿足：“是A的元素且是B的元素，或是C的元素”.

故陰影部分所表示的集合是：Cu(AcB)

故選：A

考點五：與補集有關的求參(基礎)

例5.已知A={x|x<a},B={x[l<x<4},若則實數。的取值范圍為()

A.{o|a<l}B.{?|a<4)C.{a|a<l}D.{cz|?>l)

【答案】C

【詳解】

因為A={x|x<a},3={x|1<x<4},

所以3*={x[x<l或九24},

因為所以aVl.

故實數。的取值范圍為{。|。VI}

故選：c

變式訓練1：設集合A={x|x>〃z},B=^x|(x+3)(x-4)<01,若(6/3)口8={,一3cx〈1},則加=

()

A.-3B.1C.4D.-1

【答案】B

【詳解】

依題意，8={目(％+3)(*-4)<0}={川一3Vx<4}；

而務A={x|x</n},(qA)c5={x[—3<x<l},故/〃=1.

故選：B.

變式訓練2：設全集U={2,3,/+2a—3},A={|a+l|,2},醫(yī)4={5},求4的值.

【答案】。=2或。=7.

【詳解】

因為dA={5},所以5eU,/+勿_3=5,解得。=2或。=7，

當a=2時，U={2,3,5},A=[3,2],滿足,A={5},符合題意；

當a=Y時,U={2,3,5},A={3,2},滿足用A={5},符合題意；

所以。=2或。=7^

變式訓練3：已知全集。=1<,A={x|f+px+12=0},B={x\x2-5x+q=0}

(1)若A=0,求。的取值范圍；

⑵若(電A)A5={2},@B)nA={4},求AUB.

【答案】(1)-473<p<4x/3；(2){2,3,4}.

【詳解】

(1)若A=0,則方程/+勿+12=0無實數解，

A=p2-4xl2<0,則-46<〃<4"

(2)：@B)cA={4},

???方程f+px+12=0的一個根為4,則。=一7,方程另一個根為3.

A={3,4}.

?.?&4"={2},

二方程x2-5x+q=0的一個根為2,則夕=6,方程另一個根為3.

3={2,3}

，AUB={2,3,4}

考點六：與補集有關的求參(提升)

例6.已知集合A={x|-14x43},集合5={尤|m-2<x<m+2,xeR}.

(1)若An3={x|0<x<3},求實數小的值;

(2)若An(O8)=A,求實數小的取值范圍.

【答案】⑴2；(2)[m\m>5,或〃2<-3}.

【詳解】

(1)因為405={目04%43},

m—2=0m=2

所以《cr,所以所以機=2；

m+2>3m>1

(2)^RB=[x\x<m-2,或x>m+2},由已知可得Aqd*,所以〃?一2>3或，"+2<—1,所以加>5

或相v—3,

故實數m的取值范圍為{m\m>5,或機<—3}.

變式訓練1：已知集合4=卜,2+%一2>()},B={x\a<x<2a-\],設全集U=R.

(1)求集合A的補集AM；

(2)若?A)?B?,求實數。的取值范圍.

【答案】(1){x|-2<x<l}；(2){。|。20}.

【詳解】

(1)4=3產+x-2>0}={x|xl或x<-2},a，A={H-2Wx〈l}.

(2)當。>2。一1,即。<1時，3=0,滿足題意；

當時，有?！?或勿一1<一2,解得?！?；

綜上，實數。的取值范圍是{。1〃工0}.

變式訓練2：已知全集0=1i,集合A={X|-X2+11X—18>0},B={X|-2<%<5),

(1)求ADB,BU@A)；

(2)已知集合加={劃?！础?2-。},若BU(電M)=R，求實數a的取值范圍.

【答案】(1)AnB={x|2<xW5}；6U^A={x|xK5垢29}；(2){a\a>^2]

【詳解】

(1)A={x|-x2+iix-i8>0}={x|(x-2)(x—9)<0}={x[2<x<9}

B={x|-5<-x<2}

.二AIB={x\2<x<5]

乂〃=R,二.={x|xW2^4%>9},z.BUd^A=[x\x<5或xN9}

(2)QM={x|a〈xW2-a},B\J^,M)=R

當"=0時，q,M=R,滿足3U(d")=R，即a>2—a,解得。>1

當M蠱時，gM=(—8,a)U(2—a,+a)),要滿足BU(Q/M)=R，結合數軸：

---------------------------2A---------a--------2------a----------5-------------------------?

a<2-a

由數軸可知，^>-2,解得：一2<々<1

2-67<5

綜上可知，實數。的取值范圍是：{a|a?-2}

變式訓練3：已知集合4={%|〃<%<。+1},B={x||x+l|<l}.

(1)若a=l,求A|J3；

(2)在①=②(&3)nA=0,③3U(aA)=H,這三個條件中任選一個作為己知條件，求

實數a的取值范圍.(注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分)

【答案】(1)AUB={x|0<^<2}；(2)答案不唯一，具體見解析.

【詳解】

(1)當a=l時，A={x[l<x<2},B={x\Q<x<2},

.-.AUB={x|0<x<2};

(2)選擇①=0作為已知條件.

?"口3=0,

/.?+l<0s￡a>2.

解得。<一1或。22.

選擇②(。3)1|A=0作為已知條件.

???(O3)nA=0,48={x|x<0或x>2},

6!>0

??<，

。+1W2

解得OWQWL

選擇③3U(aA)=R作為己知條件.

,.?3U(aA)=R,々A={x|xWQ或x2a+l},

a>0

?+1<2

解得OWaWl

【當堂小結】

1.知識清單:

(1)全集和補集的概念及運算.

⑵并、交、補集的綜合運算.

(3)與補集有關的參數值的求解.

2.方法歸納：正難則反的補集思想、數形結合.

3.常見誤區(qū)：求補集時忽視全集，運算時易忽視端點的取舍.

H(檢測】

1、已知全集。={%,=2無,2上1|4,&43},集合A={4,6},則?A=()

A.{2}B.{0,2}C.{2,3}D.{3,4}

【答案】B

【詳解】

由已知可得U={0,2,4,6},則6A={0,2}.

故選：B.

2、已知全集。={1,2,3,4,5},71={1,3},則電A=()

A.{1,2,3,4,5}B.{2,4,5}C.{1,3}D.0

【答案】B

【詳解】

因為全集〃={1,2,3,4,5},A={1,3},

所以e4={2,4,5}

故選：B

3、已知集合(/={1,2,3,4,5,6},4={1,2,3},8={2,3,4,5},則40405)=()

A.{6}B.{1,6}C.{2,3}D.{1,4,5,6)

【答案】A

【詳解】

由題意，AuB={l,2,3,4,5},^(AuB)={6}.

故選:A.

4、已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},3={2,3,4,5},則04)0(。*)=()

A.{6}B.{1,6}C.{2,3}D.{1,4,5,6}

【答案】A

【詳解】

解：由題意，C￡/A={4,5,6},C[/B={l,6},(C￡/A)n(CuB)={6},

故選：A.

5、設全集U=R,集合A={x|x>3},8={x|x<4},貝iJ(QA)U8=()

A.{x\x<3\B.[x\x<3}C.{x|x<4}D.{x|x<4）

【答案】C

【詳解】

'：A=[x\x>3]9：.CuA={x|x43},

而B={x|x<4},（GA）U8={Mxv4}.

故選：C.

6、已知R為全集，集合A={x|-2cx<2},B={x|x<3},則（gA）IB=（）

A.{x[2<x<3}B.{x|24]<3}

C.{%|工<0或2?%<3}D.[x\x<-2g22<x<3}

【答案】D

【詳解】

解：A={x|-2vxv2},

/.CRA-<-2^x>2},

乂3={x|xv3}

/.（C^A）QB=|x|x<—2^cx>2}n{Rxv3}=何x<-2或2<%<3}.

故選：D

7、已知U為全集，非空集合A、8滿足4n（。4）=0,則（）

A.AoBB.BoA

c.（腑）n（m）=0D.（秘）u（/）=u

【答案】A

【詳解】

如下圖所示：

???An（e3）=0,由圖可知，A^B,（腑）C（“5）=%5,

故選：A.

8、已知全集為u且P,。為u的子集，pn（Q,Q）=尸，則Qn（q/）=（)

A.0B.PC.QD.U

【答案】C

【詳解】

由題意，全集為U,P,Q為U的子集，且Pc（Q/Q）=P,

如圖所示，可得

Qc47P=Q.

電

A.A^\B=AB.ADA=0C.BQ6(/A=0DA(JB=B

【答案】C

【詳解】

已知全集U,集合Aq3,Ar\B=A,AcaA=0,

8口電4,則5caA=3w0,A<JB=B

故選：c.

10、設全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},集合4=卜€(wěn)兇卜一4卜2},集合3={1,3,5,7},則?(4113)=()

A.{1,3,4,5,7}B.{2,6,8}C.{3,4,5}D.{1,2,6,7,8}

【答案】B

【詳解】

A={xeN||x-4|<2}={3,4,5},則Au3={l,3,4,5,7}

所以2(AuB)={2,6,8}

故選：B.

11、設集合A={X|X2—X—2>。},B={X|0<%<4},貝.

A.{x[0<x<4}B.{x[0<x?2}C.D.{x|x〈4}

【答案】B

【詳解】

由于A=(-oo,-l)u(2,+oo),所以傘4=[-1,2],

又5={M()<x<4},.?.(5A)cB=(0,2].

故選：B.

12、己知集合A={x|-2<%,2},B=1},則()

A.AC|8=AB.C.Af)條8=0D.Au條8=R

【答案】D

【詳解】

由題意An8={x[—A錯；

。4={》|%《-2或%>2},13錯；

=或x>l},An5B={x[—2<x4—1或l<x〈2},C錯；

AU3RB=R,D正確.

故選：D.

13、設集合A={x,>4},8={x|(x+l)(x—3)<O},則(a4)口3=()

A.{x|-l<x<3}B.{止1<%,2}

C.{x|-2,,x<3}D.{x|-2,,x<-l|

【答案】B

【詳解】

*/A={x/>4}=3?2或％<-2},

：.dKA-{x卜2<x<2j.

又6=1x|(x+l)(x—3)<O}=1x|—1<x<3},

/.A)r>B={x|—1<x<21.

故選：B.

14、設。=1<,A={X|6+X-X2>0},B={X|X<-1},則圖示中陰影部分表示的集合為（）

A.{x|-l<x<3}B.{x|-l<x<3}

C.{JC|-2<X<1}D.{x|x<-1}

【答案】A

【詳解】

由不等式6+X—X2N(),可化為X2-X—6=(X—3)(X+2)40,解得-2WXW3,

即集合A={x|-2VxW3},

又由3={x|*W—1},可得陰影部分所表示的集合為Ane3={x1-l<xV3}.

故選：A.

15、已知全集0=11,集合4=卜卜2一4）卜2-9）=（））,3=卜,2〉丹6},則如圖所示的地加圖中陰

影部分表示的集合為（）

A.{-2}B.{2}C.{-3,-2,2}D.{-2,2,3)

【答案】D

【詳解】

=3,—2,2,3},B={x|(x-3)(x+2)>0}=(-oo,-2)u(3,+oo),

又Venn圖中的陰影部分表示的集合為AC(電8),

.?B=[-2,3],/.An(^B)={—2,2,3}.

故選:D.

16、已知全集(/={2,4,3-丁},M={2,f-x+2},令用={-1},則實數x的值為(

A.2B.-2C.2或一2D.不存在

【答案】A

【詳解】

解：因為。={2,4,3-d},M={2,f-x+2},QM={—1},

所以一Ie。且一

所以3-工2=_!且f_x+2~i，

解得x=±2

當x=2時，f_x+2=4—2+2=4/2,此時M={2,4}滿足題意

當x=-2時，/_%+2=4+2+2=8*2,此時M={2,8}不滿足題意，

所以x=2,

故選：A

17、設集合M={x|x<m},集合N={x|2f+5x-3<0"

（1）當m=0時，求MUMMClN；

(2)若求實數優(yōu)的取值范圍.

【答案】MUN={x|x<g},MDN={x[—3<x<0}；(2){m|m<-3}.

【詳解】

(1)當加=0時，集合M={x|x<0},N={x|2x2+5x-3<0}={x|-3<x<g},

所以AluN={x|x<g},A/cN={x|-3<x<0}.

(2)由集合N={x[—3<x<2},可得務N={x|x〈一3或xN1},

22

因為知={》|%<m},MJ3RN,所以加4一3，

即實數m的取值范圍{機|機<一3}.

18、已知A={x[a<x<a+1},8={x||x-l|Wl}.

(1)若a=l,求A|JB；

(2)在①AA8=0,②(a3)門4=0，③5U(QA)=R，這三個條件中任選一個作為已知條件，求實

數4的取值范圍.

【答案】(1