第17講二元一次方程（組）與一次函數(shù)（知識解讀題型精講隨堂檢測）

第17講二元一次方程（組）與一次函數(shù)知識點(diǎn)1一次函數(shù)與二元一次方程一次函數(shù)y=kx+b的圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程kxy+b=0的解；以二元一次方程kxy+b=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)y=kx+b的圖像上.知識點(diǎn)2一次函數(shù)與二元一次方程組在同一直角坐標(biāo)系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定是相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn).如一次函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解.用一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的解的方法稱為二元一次方程組的圖像解法.注意：1.當(dāng)二元一次方程組無解時，相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的直線就沒有交點(diǎn)，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當(dāng)兩個一次函數(shù)直線平行時，相應(yīng)的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組無解，則一次函數(shù)與的圖象就平行，反之也成立.2.當(dāng)二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的直線重合，反之也成立.知識點(diǎn)3方程組解的幾何意義1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對應(yīng)兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．根據(jù)坐標(biāo)系中兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系，可以看出對應(yīng)的方程組的解的情況：根據(jù)交點(diǎn)的個數(shù)，看出方程組的解的個數(shù)；根據(jù)交點(diǎn)的坐標(biāo)，求出（或近似估計出）方程組的解．對于一個復(fù)雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個數(shù)．【題型1一次函數(shù)與二元一次方程】【典例1】下面四條直線，其中直線上的每一個點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程2x﹣3y＝6的解的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵2x﹣3y＝6，∴y＝x﹣2，∴當(dāng)x＝0，y＝﹣2；當(dāng)y＝0，x＝3，∴一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，﹣2），與x軸交于點(diǎn)（3，0），即可得出選項(xiàng)D符合要求，故選：D．【變式11】如圖，函數(shù)y＝kx﹣1的圖象過點(diǎn)（1，2），則關(guān)于x的方程kx﹣1＝2的解是x＝1．【答案】x＝1．【解答】解：由圖象可得：關(guān)于x的方程kx﹣1＝2的解是x＝1；故答案為：x＝1．【變式12】直線y＝2x﹣4向上平移2個單位后所得的直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）．【答案】（1，0）．【解答】解：直線y＝2x﹣4沿y軸向上平移2個單位，則平移后直線解析式為：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，當(dāng)y＝0時，則x＝1，故平移后直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0）．故答案為：（1，0）．【變式13】已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（2，0），與y軸相交于點(diǎn)B（0，3），則關(guān)于x的方程kx+b＝0的解是x＝2．【答案】x＝2．【解答】解：由題意可得：當(dāng)y＝0時，x＝2，即kx+b＝0時，x＝2．故答案為：x＝2．【題型2一次函數(shù)與二元一次方程組】【典例2】如圖，一次函數(shù)y＝2x+1的圖象與y＝kx+b的圖象相交于點(diǎn)A，則方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由圖象可設(shè)A（a，3），則2a+1＝3，解得：a＝1，由函數(shù)和方程組的關(guān)系知：方程組的解為：，故選：B．【變式21】如圖，直線y＝kx+b和直線y＝mx+n相交于點(diǎn)（3，﹣2），則方程組的解是（）?A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵直線y＝kx+b和直線y＝mx+n相交于點(diǎn)（3，﹣2），∴方程組的解是：，故選：D．【變式22】已知直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣2x+4交于點(diǎn)C（m，2），則方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵點(diǎn)C（m，2）在直線l2：y＝﹣2x+4上，∴2＝﹣2m+4，解得m＝1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），∴方程組的解為．故選：A．【變式23】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與y＝x+2的圖象相交于點(diǎn)M（m，4），則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），所以關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是．故選：B．【變式24】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+4與直線l2：y＝mx+n交于點(diǎn)A（﹣1，b），則關(guān)于x，y的方程組的解為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：將點(diǎn)A（﹣1，b）代入y＝x+4，得b＝﹣1+4＝3，∴A（﹣1，3），∴方程組的解為，故選：B．【題型3用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式】【典例3】如圖，直線l1：y1＝kx+b與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（，0），直線l2：y2＝﹣x+2與y軸交于點(diǎn)C，與直線l1交于點(diǎn)D，點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為2．（1）求直線l1的函數(shù)表達(dá)式；（2）請直接寫出方程組的解：；（3）求△ACD的面積；（4）在直線l1上是否存在異于點(diǎn)D的另一點(diǎn)M，使得△ACD與△ACM的面積相等？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝2x﹣3；（2）；（3）5；（4）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣7）．【解答】解：（1）∵點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為2，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，把x＝2代入y2＝﹣x+2得，y＝﹣×2+2＝1，∴D（2，1），把B（，0），D（2，1）代入y＝kx+b，得．∴．∴直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x﹣3；（2）∵直線l1：y1＝kx+b與直線l2：y2＝﹣x+2交于點(diǎn)D（2，1），∴方程組的解是；故答案為：；（3）把x＝0代入y＝﹣x+2，得y＝2，∴C（0，2），把x＝0代入y＝2x﹣3，得y＝﹣3．∴A（0，﹣3）．∴AC＝2+3＝5．∴S△ACD＝＝5；（4）存在，∵在直線l1上存在異于點(diǎn)D的另一點(diǎn)M，使得△ACD與△ACM的面積相等，∴M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2，∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣2，把x＝﹣2代入y＝2x﹣3得，y＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣7）．【變式31】若正比例函數(shù)y＝﹣2x的圖象與一次函數(shù)y＝x+m的圖象交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣3．（1）求該一次函數(shù)的表達(dá)式．（2）直接寫出方程組的解．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為y＝x+9；（2）．【解答】解：（1）將x＝﹣3代入y＝﹣2x，得y＝6，則點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，6）．將A（﹣3，6）代入y＝x+m，得﹣3+m＝6，解得m＝9，所以一次函數(shù)的解析式為y＝x+9；（2）方程組的解為．【變式32】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：y＝k1x+b1和l2：y＝k2x+b2相交于點(diǎn)A．（1）觀察圖象，直接寫出方程組的解；（2）若直線l2：y＝k2x+b2與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣4），求一次函數(shù)y＝k2x+b2的表達(dá)式．?【答案】（1）；（2）直線l2：y＝1.5x﹣4．【解答】解：（1）根據(jù)圖象得，方程組的解為：；（2）由題意得：，解得：，∴直線l2：y＝1.5x﹣4．【變式33】已知一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)y＝2x的圖象交于點(diǎn)C（1，a）．（1）求a，b的值；（2）方程組的解為．（3）在y＝2x的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△BOP的面積比△AOP的面積大5？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題知，點(diǎn)C（1，a）在y＝2x的圖象上，所以a＝1×2＝2，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），因?yàn)辄c(diǎn)C（1，2）在的上，所以2＝﹣+b，所以b＝2.5；（2）∵一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象交于點(diǎn)C（1，2），∴方程組的解為，故答案為；（3）存在，理由：∵點(diǎn)P在y＝2x的圖象上，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2x），∵一次函數(shù)為，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2.5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，∴△BOP的面積為，△AOP的面積為，當(dāng)5|x|＝時，解得，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【變式34】如圖，過點(diǎn)A（﹣2，0）的直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．（1）求直線l1對應(yīng)的表達(dá)式；（2）直接寫出方程組的解；（3）求三角形ABP的面積．【答案】（1）y＝2x+4；（2）；（3）3．【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得a＝2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）；把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，所以直線l1的表達(dá)式為y＝2x+4；（2）因?yàn)橹本€l1：y＝kx+b（k≠0）與直線l2：y＝﹣x+1交于點(diǎn)P（﹣1，2），所以方程組的解為；（3）∵y＝﹣x+1交x軸于B，交y軸于C，∴B（1，0），C（0，1），∴三角形ABP的面積的面積＝＝3．1．如果直線y＝3x+6與y＝2x﹣4交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則解為的方程組是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵直線y＝3x+6與y＝2x﹣4交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），∴解為的方程組是，即，故選：D．2．若以關(guān)于x，y的二元一次方程x﹣2y+b＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）都在直線上，則常數(shù)b的值為（）A．0 B．﹣1 C．2 D．1【答案】C【解答】解：因?yàn)橐躁P(guān)于x、y的二元一次方程x﹣2y+b＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）都在直線y＝x+b﹣1上，直線解析式乘以2得2y＝x+2b﹣2，變形為：x﹣2y+2b﹣2＝0，所以﹣b+2b﹣2＝0，解得：b＝2，故選：C．3．如圖，函數(shù)y＝2x和y＝ax+4的圖象相交于點(diǎn)A（m，3），則不等式2x≥ax+4的解集為（）A．x≤3 B．x≥3 C．x≤ D．x≥【答案】D【解答】解：∵函數(shù)y＝2x的圖象過點(diǎn)A（m，3），∴將點(diǎn)A（m，3）代入y＝2x得，2m＝3，解得m＝，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，3），∴由圖可知，不等式2x≥ax+4的解集為x≥．故選：D．4．如圖，已知一次函數(shù)y＝x+1和一次函數(shù)y＝ax+3圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，那么方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：當(dāng)x＝1時，y＝x+1＝2，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），所以方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解為．故選：B．5．已知方程組的解為，則直線y＝﹣x+2與直線y＝2x﹣7的交點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解答】解：∵方程組的解為，∴直線y＝﹣x+2與直線y＝2x﹣7的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0，∴交點(diǎn)在第四象限．故選：D．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，m）在第一象限，若點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B在直線y＝﹣x+1上，則m的值為2．【答案】2．【解答】解：∵點(diǎn)A（3，m），∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B（3，﹣m），∵B在直線y＝﹣x+1上，∴﹣m＝﹣3+1＝﹣2，∴m＝2，故答案為：2．7．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與y＝﹣x+4的圖象相交于點(diǎn)P（m，1），則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是．【答案】．【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），所以關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是．故答案為：．8．如圖，已知函數(shù)y＝x+1和y＝ax+3的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，（1）關(guān)于x，y的方程組的解是；（2）a＝﹣1；（3）求出函數(shù)y＝x+1和y＝ax+3的圖象與x軸圍成的幾何圖形的面積．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，函數(shù)y＝x+1和y＝ax+3的圖象交于點(diǎn)P（1，2），即x＝1，y＝2同時滿足兩個一次函數(shù)的解析式．所以關(guān)于x，y的方程組的解是．故答案為；（2）把P（1，2）代入y＝ax+3，得2＝a+3，解得a＝﹣1．故答案為﹣1；（3）∵函數(shù)y＝x+1與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），y＝﹣x+3與x軸的交點(diǎn)為（3，0），∴這兩個交點(diǎn)之間的距離為3﹣（﹣1）＝4，∵P（1，2），∴函數(shù)y＝x+1和y＝ax+3的圖象與x軸圍成的幾何圖形的面積為：×4×2＝4．9．如圖，過點(diǎn)A（﹣2，0）的直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．（1）求直線l1對應(yīng)的表達(dá)式．（2）直接寫出方程組的解．（3）求四邊形PAOC的面積．【答案】（1）y＝2x+4；（2）；（3）．【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得a＝2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）；把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，所以直線l1的表達(dá)式為y＝2x+4；（2）因?yàn)橹本€l1：y＝kx+b（k≠0）與直線l2：y＝﹣x+1交于點(diǎn)P（﹣1，2），所以方程組的解為；（3）∵y＝﹣x+1交x軸于B，交y軸于C，∴B（1，0），C（0，1），∴四邊形PAOC的面積＝S△ABP﹣S△BOC＝﹣＝．10．某班“數(shù)學(xué)興趣小組，對函數(shù)y＝|x|﹣2的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．探究過程如下，請補(bǔ)充完整．（1）自變量x可以是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…210﹣1﹣2﹣10m2其中m＝1．（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出該函數(shù)圖象．（3）觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①該函數(shù)的最小值為﹣2；該函數(shù)是軸對稱圖形嗎？是（填“是”或“否”）；若是，其對稱軸是y軸．②若y＝t與該函數(shù)有兩個交點(diǎn)，則t的取值范圍是t＞﹣2．（4）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出方程組：的解是．【答案】（1）1．（2）見解答；（3）①﹣2