第17講二元一次方程（組）與一次函數(shù)（知識解讀題型精講隨堂檢測）

第17講二元一次方程（組）與一次函數(shù)知識點1一次函數(shù)與二元一次方程一次函數(shù)y=kx+b的圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程kxy+b=0的解；以二元一次方程kxy+b=0的解為坐標的點都在一次函數(shù)y=kx+b的圖像上.知識點2一次函數(shù)與二元一次方程組在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應的兩個一次函數(shù)的圖象的交點.如一次函數(shù)與圖象的交點為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解.用一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的解的方法稱為二元一次方程組的圖像解法.注意：1.當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組無解，則一次函數(shù)與的圖象就平行，反之也成立.2.當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線重合，反之也成立.知識點3方程組解的幾何意義1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對應兩個函數(shù)的圖象的交點坐標．2．根據(jù)坐標系中兩個函數(shù)圖象的位置關系，可以看出對應的方程組的解的情況：根據(jù)交點的個數(shù)，看出方程組的解的個數(shù)；根據(jù)交點的坐標，求出（或近似估計出）方程組的解．對于一個復雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個數(shù)．【題型1一次函數(shù)與二元一次方程】【典例1】下面四條直線，其中直線上的每一個點的坐標都是二元一次方程2x﹣3y＝6的解的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵2x﹣3y＝6，∴y＝x﹣2，∴當x＝0，y＝﹣2；當y＝0，x＝3，∴一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與y軸交于點（0，﹣2），與x軸交于點（3，0），即可得出選項D符合要求，故選：D．【變式11】如圖，函數(shù)y＝kx﹣1的圖象過點（1，2），則關于x的方程kx﹣1＝2的解是x＝1．【答案】x＝1．【解答】解：由圖象可得：關于x的方程kx﹣1＝2的解是x＝1；故答案為：x＝1．【變式12】直線y＝2x﹣4向上平移2個單位后所得的直線與x軸交點的坐標是（1，0）．【答案】（1，0）．【解答】解：直線y＝2x﹣4沿y軸向上平移2個單位，則平移后直線解析式為：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，當y＝0時，則x＝1，故平移后直線與x軸的交點坐標為：（1，0）．故答案為：（1，0）．【變式13】已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸相交于點A（2，0），與y軸相交于點B（0，3），則關于x的方程kx+b＝0的解是x＝2．【答案】x＝2．【解答】解：由題意可得：當y＝0時，x＝2，即kx+b＝0時，x＝2．故答案為：x＝2．【題型2一次函數(shù)與二元一次方程組】【典例2】如圖，一次函數(shù)y＝2x+1的圖象與y＝kx+b的圖象相交于點A，則方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由圖象可設A（a，3），則2a+1＝3，解得：a＝1，由函數(shù)和方程組的關系知：方程組的解為：，故選：B．【變式21】如圖，直線y＝kx+b和直線y＝mx+n相交于點（3，﹣2），則方程組的解是（）?A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵直線y＝kx+b和直線y＝mx+n相交于點（3，﹣2），∴方程組的解是：，故選：D．【變式22】已知直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣2x+4交于點C（m，2），則方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵點C（m，2）在直線l2：y＝﹣2x+4上，∴2＝﹣2m+4，解得m＝1，∴點C的坐標為（1，2），∴方程組的解為．故選：A．【變式23】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與y＝x+2的圖象相交于點M（m，4），則關于x，y的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，所以P點坐標為（2，4），所以關于x，y的二元一次方程組的解是．故選：B．【變式24】如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝x+4與直線l2：y＝mx+n交于點A（﹣1，b），則關于x，y的方程組的解為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：將點A（﹣1，b）代入y＝x+4，得b＝﹣1+4＝3，∴A（﹣1，3），∴方程組的解為，故選：B．【題型3用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達式】【典例3】如圖，直線l1：y1＝kx+b與y軸交于點A，與x軸交于點B（，0），直線l2：y2＝﹣x+2與y軸交于點C，與直線l1交于點D，點D到y(tǒng)軸的距離為2．（1）求直線l1的函數(shù)表達式；（2）請直接寫出方程組的解：；（3）求△ACD的面積；（4）在直線l1上是否存在異于點D的另一點M，使得△ACD與△ACM的面積相等？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝2x﹣3；（2）；（3）5；（4）M點的坐標為（﹣2，﹣7）．【解答】解：（1）∵點D到y(tǒng)軸的距離為2，∴點D的橫坐標為2，把x＝2代入y2＝﹣x+2得，y＝﹣×2+2＝1，∴D（2，1），把B（，0），D（2，1）代入y＝kx+b，得．∴．∴直線l1的函數(shù)表達式為y＝2x﹣3；（2）∵直線l1：y1＝kx+b與直線l2：y2＝﹣x+2交于點D（2，1），∴方程組的解是；故答案為：；（3）把x＝0代入y＝﹣x+2，得y＝2，∴C（0，2），把x＝0代入y＝2x﹣3，得y＝﹣3．∴A（0，﹣3）．∴AC＝2+3＝5．∴S△ACD＝＝5；（4）存在，∵在直線l1上存在異于點D的另一點M，使得△ACD與△ACM的面積相等，∴M點到y(tǒng)軸的距離為2，∵點D的橫坐標為2，∴點M的橫坐標為﹣2，把x＝﹣2代入y＝2x﹣3得，y＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，∴M點的坐標為（﹣2，﹣7）．【變式31】若正比例函數(shù)y＝﹣2x的圖象與一次函數(shù)y＝x+m的圖象交于點A，且點A的橫坐標為﹣3．（1）求該一次函數(shù)的表達式．（2）直接寫出方程組的解．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為y＝x+9；（2）．【解答】解：（1）將x＝﹣3代入y＝﹣2x，得y＝6，則點A坐標為（﹣3，6）．將A（﹣3，6）代入y＝x+m，得﹣3+m＝6，解得m＝9，所以一次函數(shù)的解析式為y＝x+9；（2）方程組的解為．【變式32】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l1：y＝k1x+b1和l2：y＝k2x+b2相交于點A．（1）觀察圖象，直接寫出方程組的解；（2）若直線l2：y＝k2x+b2與y軸的交點為（0，﹣4），求一次函數(shù)y＝k2x+b2的表達式．?【答案】（1）；（2）直線l2：y＝1.5x﹣4．【解答】解：（1）根據(jù)圖象得，方程組的解為：；（2）由題意得：，解得：，∴直線l2：y＝1.5x﹣4．【變式33】已知一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B，與正比例函數(shù)y＝2x的圖象交于點C（1，a）．（1）求a，b的值；（2）方程組的解為．（3）在y＝2x的圖象上是否存在點P，使得△BOP的面積比△AOP的面積大5？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）由題知，點C（1，a）在y＝2x的圖象上，所以a＝1×2＝2，所以點C的坐標為（1，2），因為點C（1，2）在的上，所以2＝﹣+b，所以b＝2.5；（2）∵一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象交于點C（1，2），∴方程組的解為，故答案為；（3）存在，理由：∵點P在y＝2x的圖象上，∴設點P的坐標為（x，2x），∵一次函數(shù)為，∴點A的坐標為（0，2.5），點B的坐標為（5，0），作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，∴△BOP的面積為，△AOP的面積為，當5|x|＝時，解得，∴，∴點P的坐標為或．【變式34】如圖，過點A（﹣2，0）的直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．（1）求直線l1對應的表達式；（2）直接寫出方程組的解；（3）求三角形ABP的面積．【答案】（1）y＝2x+4；（2）；（3）3．【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得a＝2，則P點坐標為（﹣1，2）；把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，所以直線l1的表達式為y＝2x+4；（2）因為直線l1：y＝kx+b（k≠0）與直線l2：y＝﹣x+1交于點P（﹣1，2），所以方程組的解為；（3）∵y＝﹣x+1交x軸于B，交y軸于C，∴B（1，0），C（0，1），∴三角形ABP的面積的面積＝＝3．1．如果直線y＝3x+6與y＝2x﹣4交點坐標為（a，b），則解為的方程組是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵直線y＝3x+6與y＝2x﹣4交點坐標為（a，b），∴解為的方程組是，即，故選：D．2．若以關于x，y的二元一次方程x﹣2y+b＝0的解為坐標的點（x，y）都在直線上，則常數(shù)b的值為（）A．0 B．﹣1 C．2 D．1【答案】C【解答】解：因為以關于x、y的二元一次方程x﹣2y+b＝0的解為坐標的點（x，y）都在直線y＝x+b﹣1上，直線解析式乘以2得2y＝x+2b﹣2，變形為：x﹣2y+2b﹣2＝0，所以﹣b+2b﹣2＝0，解得：b＝2，故選：C．3．如圖，函數(shù)y＝2x和y＝ax+4的圖象相交于點A（m，3），則不等式2x≥ax+4的解集為（）A．x≤3 B．x≥3 C．x≤ D．x≥【答案】D【解答】解：∵函數(shù)y＝2x的圖象過點A（m，3），∴將點A（m，3）代入y＝2x得，2m＝3，解得m＝，∴點A的坐標為（，3），∴由圖可知，不等式2x≥ax+4的解集為x≥．故選：D．4．如圖，已知一次函數(shù)y＝x+1和一次函數(shù)y＝ax+3圖象交于點P，點P的橫坐標為1，那么方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：當x＝1時，y＝x+1＝2，即兩直線的交點坐標為（1，2），所以方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解為．故選：B．5．已知方程組的解為，則直線y＝﹣x+2與直線y＝2x﹣7的交點在平面直角坐標系中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解答】解：∵方程組的解為，∴直線y＝﹣x+2與直線y＝2x﹣7的交點坐標為（3，﹣1），∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0，∴交點在第四象限．故選：D．6．如圖，在平面直角坐標系中，點A（3，m）在第一象限，若點A關于x軸的對稱點B在直線y＝﹣x+1上，則m的值為2．【答案】2．【解答】解：∵點A（3，m），∴點A關于x軸的對稱點B（3，﹣m），∵B在直線y＝﹣x+1上，∴﹣m＝﹣3+1＝﹣2，∴m＝2，故答案為：2．7．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與y＝﹣x+4的圖象相交于點P（m，1），則關于x、y的二元一次方程組的解是．【答案】．【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，所以P點坐標為（3，1），所以關于x、y的二元一次方程組的解是．故答案為：．8．如圖，已知函數(shù)y＝x+1和y＝ax+3的圖象交于點P，點P的橫坐標為1，（1）關于x，y的方程組的解是；（2）a＝﹣1；（3）求出函數(shù)y＝x+1和y＝ax+3的圖象與x軸圍成的幾何圖形的面積．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，函數(shù)y＝x+1和y＝ax+3的圖象交于點P（1，2），即x＝1，y＝2同時滿足兩個一次函數(shù)的解析式．所以關于x，y的方程組的解是．故答案為；（2）把P（1，2）代入y＝ax+3，得2＝a+3，解得a＝﹣1．故答案為﹣1；（3）∵函數(shù)y＝x+1與x軸的交點為（﹣1，0），y＝﹣x+3與x軸的交點為（3，0），∴這兩個交點之間的距離為3﹣（﹣1）＝4，∵P（1，2），∴函數(shù)y＝x+1和y＝ax+3的圖象與x軸圍成的幾何圖形的面積為：×4×2＝4．9．如圖，過點A（﹣2，0）的直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．（1）求直線l1對應的表達式．（2）直接寫出方程組的解．（3）求四邊形PAOC的面積．【答案】（1）y＝2x+4；（2）；（3）．【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得a＝2，則P點坐標為（﹣1，2）；把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，所以直線l1的表達式為y＝2x+4；（2）因為直線l1：y＝kx+b（k≠0）與直線l2：y＝﹣x+1交于點P（﹣1，2），所以方程組的解為；（3）∵y＝﹣x+1交x軸于B，交y軸于C，∴B（1，0），C（0，1），∴四邊形PAOC的面積＝S△ABP﹣S△BOC＝﹣＝．10．某班“數(shù)學興趣小組，對函數(shù)y＝|x|﹣2的圖象與性質進行了探究．探究過程如下，請補充完整．（1）自變量x可以是全體實數(shù)，x與y的幾組對應值列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…210﹣1﹣2﹣10m2其中m＝1．（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出該函數(shù)圖象．（3）觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①該函數(shù)的最小值為﹣2；該函數(shù)是軸對稱圖形嗎？是（填“是”或“否”）；若是，其對稱軸是y軸．②若y＝t與該函數(shù)有兩個交點，則t的取值范圍是t＞﹣2．（4）繼續(xù)在同一坐標系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結合圖象直接寫出方程組：的解是．【答案】（1）1．（2）見解答；（3）①﹣2