點到直線的距離公式

第第頁2.3.3點到直線的距離公式教學設計教學目標掌會用向量工具推導點到直線的距離公式.掌握點到直線的距離公式,能應用點到直線距離公式解決有關距離問題.通過點到直線的距離公式的探索和推導過程，培養(yǎng)學生運用等價轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法解決問題的能力.教學重難點重點：掌握點到直線的距離公式．難點：能應用點到直線距離公式解決有關距離問題,通過點到直線的距離公式的探索和推導過程，培養(yǎng)學生運用等價轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法解決問題的能力.學情分析與教材分析學情分析：學生在此之前已學習了兩點之間的距離公式、相交直線求交點坐標的方法、線線位置關系，初步掌握了“用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)”這一研究平面解析幾何問題的重要方法，并且高二的學生已經(jīng)基本能夠從特殊的情況中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而推廣為一般情況，所以本節(jié)課只要做好這種引導工作，學生是比較容易理解的。這也是本節(jié)課要突出的“從特殊到一般”的課堂設計的原因，能使學生充分地參與進來，體會到成功的喜悅。教材分析：本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學習點到直線的距離公式。在前面已經(jīng)研究了兩點間的距離公式、直線方程、兩直線的位置關系，同時也介紹了“以數(shù)論形，以形輔數(shù)”的數(shù)學思想方法．“點到直線的距離”是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了解析幾何的定量計算；《點到直線的距離》的研究，又為以后直線與圓的位置關系和圓錐曲線的進一步學習奠定了基礎，具有承前啟后的重要作用．教學過程引入新知學校計劃在校園內(nèi)新建一座小型花園，以提高校園綠化率和美化環(huán)境?；▓@的設計需要考慮多個因素，其中之一就是確?；▓@邊緣與校園內(nèi)一條主要步行道的適當距離，以保證行人的安全和花園的獨立性.設計團隊已經(jīng)確定了步行道的直線方程和花園邊緣上一個關鍵點P的坐標?，F(xiàn)在，他們需要計算這個點P到步行道的最短距離，以確定花園邊緣與步行道的最佳間隔.任務：利用點P的坐標和步行道的直線方程，如何求點P到步行道的最短距離呢？有沒有一個數(shù)學公式可以直接幫助我們計算得到這個距離？設計意圖：通過創(chuàng)設生活中點到直線距離的問題情境，引出在坐標系下探究點到直線距離公式的問題，幫助學生學會聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略，最終探索出點到直線的距離公式，讓學生感悟運用坐標法研究幾何問題的方法。新課探究回顧：在初中，“點到直線的距離”定義是什么？學生：回顧初中知識，并得出結論：定義：直線外一點到直線的垂線段的長度，就是點到直線的距離.如右圖，點P到直線l的距離是垂線段PQ.探究：如圖，已知點，直線，如何求點到直線的距離?教師：提示：可以考慮用上節(jié)課學習的兩點間距離公式和求兩直線交點坐標方法的知識，解決這個距離問題.學生：根據(jù)教師的提示，得到解決思路，并將該解題思路應用到課堂引入情境中，完成老師布置的任務.任務：求花園邊緣上關鍵點到步行道的最短距離.預設：如圖，過P作PQ垂直于l，垂足為Q，因為，以及直線的斜率為，可得的垂線的斜率為，因此，垂線的方程為，即．解方程組①得直線與的交點坐標，即垂足的坐標為．于是即花園邊緣上關鍵點到步行道的最短距離為米.教師：完成任務是在具體的定點和直線的前提下，現(xiàn)在由特殊到一般情況，將此方法再次應用到以上探究題上，并嘗試著完成探究過程，并得到一般化的點到直線的距離公式.學生：再一次用此方法（坐標法）自行解決“探究”中提出的問題.預設：設，由，以及直線的斜率為，可得的垂線的斜率為，因此，垂線的方程為，即．解方程組①得直線與的交點坐標，即垂足的坐標為：．設計意圖：這個推導過程是坐標法的直接體現(xiàn)，思路自然，但運算化簡過程稍顯繁雜.師生一起做一方面可以給學生起到示范作用，另一方面也讓學生掌握這種運算.運算需要訓練和積累.于是．．因此，點到直線的距離．可以驗證，當，或時，上述公式仍然成立．公式：點到直線的距離公式：問題1：上述方法中，我們根據(jù)點到直線距離的定義，將點到直線的距離轉化為兩點之間的距離，思路自然但運算量較大．反思求解過程，你發(fā)現(xiàn)引起復雜運算的原因了嗎?學生：回顧推導過程，總結產(chǎn)生計算量大的幾個步驟預設：一是求點Q的坐標復雜，二是代入兩點間距離公式造成了運算的復雜.問題2：有何簡化運算的方法？教師：提示：（1）在上述方法中，若設垂足的坐標為，則．②對于②式，你能給出它的幾何意義嗎?（2）結合方程組①，能否直接求出，進而求出呢?學生：著手試一試，上述運算思路師生共同探討分析提出，運算過程由學生自己完成.預設：（1）幾何意義：表示點到原點的距離（2）利用方程組①，求出點的橫、縱坐標.教師：引導學生體會“設而不求”數(shù)學思想，并進行板書.預設：“設而不求”思想：設的是，求的是探究：我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具，能否用向量方法求點到直線的距離?學生：回顧向量的知識，進行知識遷移推導點到直線的距離公式.預設：設是直線上的任意一點，是與直線的方向向量垂直的單位向量，則是在上的投影向量，．問題3：如何利用直線的方程得到與的方向向量垂直的單位向量?學生：討論交流，嘗試著求出答案.預設：設，是直線上的任意兩點，則是直線的方向向量．把，兩式相減，得．由平面向量的數(shù)量積運算可知，向量與向量垂直．向量就是與直線的方向向量垂直的一個單位向量．我們?nèi)。瑥亩驗辄c在直線上，所以．所以．代人上式，得．因此．問題4：請你比較一下上述推導點到直線距離公式的坐標法和向量法，它們各有什么特點？除了上述兩種方法，你還有其他推導方法嗎？教師：柯西不等式法回顧：在必修第二冊《平面向量及其應用》中習題6.3的第16題中：學生：理解柯西不等式形式，并嘗試著應用柯西不等式來推導點到直線的距離公式.預設：已知點為直線上任意一點，則點P到直線l的距離d為|PQ|的最小值.設計意圖：通過不同方法推導點到直線的距離公式，體會算法的多樣性，同時比較不同推導方法，比較算法的優(yōu)劣，優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。師生：認真觀察分析點到直線距離公式，并進行總結：公式分子的特點：保留直線方程一般式的結構，只是把點P的坐標代入到了直線方程中，體現(xiàn)了公式與直線方程關系;注意，因為所求的是距離，所以要加絕對值保證結果為正；公式分母的特點：未知數(shù)系數(shù)的平方和再開根號.從向量法的推導過程中，我們也能發(fā)現(xiàn)實際是與已知直線垂直的方向向量的模.特殊情況：①如果在直線上，點P到直線的距離為0，②如果直線為，點P到直線的距離，③如果直線為，點P到直線的距離應用新知例5求點到直線的距離．分析：將直線的方程寫成，再用點到直線的距離公式求解．詳解：點到直線的距離．問題5：直線有什么特性?由此你能給出簡便解法嗎?學生：思考并回答，一條垂直于x軸的直線，類比：求點到直線的距離．學生：思考并回答，跟蹤練習：求點到直線的距離．預設：教師：巡視學生練習情況，挑選典型解答示范，并要求學生獨立完成，并歸納總結，用點到直線的距離公式求點到直線的距離的一般步驟.師生：歸納總結，用點到直線的距離公式求點到直線的距離的一般步驟：第1步：確認點的坐標，和將直線方程化為一般式第2步：將點橫、縱坐標及直線一般式方程中A、B、C的五個值代入公式計算距離即可重點強調(diào)：將直線方程化為一般式方程是非常關鍵的！例6已知的三個頂點分別是，，，求的面積．分析：由三角形面積公式可知，只要利用距離公式求出邊的長和邊上的高即可．詳解：如圖，設邊上的高為，則．．邊上的高就是點到直線的距離．邊所在直線的方程為，即．點到直線的距離．因此，.跟蹤練習：以BC為底，重新按照例題5方法在計算一遍三角形面積分析：由三角形面積公式可知，只要利用距離公式求出邊BC的長和邊BC上的高即可．詳解：設計意圖：在典例分析和練習中熟悉公式的基本結構，并體會點到直線距離公式的初步應用。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。能力提升題型一：利用點到直線的距離公式求參數(shù)值（范圍）例題1（1）點(2，1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3，求C的值預設：因為點到直線的距離為，所以，解得或.（2）點到直線的距離大于3，則實數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)>7 B．a(chǎn)<-3C．a(chǎn)>7或a<-3 D．a(chǎn)>7或-3<a<7預設：根據(jù)題意，得>3，解得a>7或a<-3.（3）（多選題）已知點A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值等于()A．B．C． D．預設：因為和到直線的距離相等，由點和點到直線的距離公式，可得化簡得，,解得或，故選BC.（4）若點在直線上，且到直線的距離為，則點的坐標為_________.預設：點在直線上，設，到直線的距離為，，解得：a=1或a=2，點的坐標為或.方法總結：根據(jù)點到直線的距離公式求參數(shù)值（范圍）的方法第1步：確定點的坐標和直線方程：坐標或方程中可能含參第2步：利用點到直線的距離公式建立關于參數(shù)的方程（不等式）第3步：解方程（不等式）即可得到參數(shù)的值（范圍）題型二：點到直線的距離有關的最值問題例題2（1）已知，若點P是直線上的任意一點，則的最小值等于（

）A． B． C． D．預設：過點M作交l于點N，則有，因此的最小值就是點M到直線的距離，即．故選：C方法總結：已知直線外一定點和直線上的動點，求兩點距離最小值等價于定點到直線的距離.（2）設直線l：與直線平行，則點到l的距離的最小值為（

）A． B．1 C． D．預設：由已知兩直線平行，∴,∴直線,∴到l的距離的,當時取到最小值,故選：方法總結：已知直線外含一個參的動點到直線的最小距離，利用點到直線距離公式表示含有參數(shù)的式子，然后利用函數(shù)的觀點求最值.（3）設已知定點和直線：，則點到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．預設：直線，整理得，由，解得，故直線過定點故點到直線的距離的最大值為，故選：C方法總結：已知直線外一個定點到過某一定點的動直線的最大距離：最大距離等于兩定點的距離.課堂小結隨堂限時小練求點P(3，－2)到下列直線的距離：①3x－4y＋1＝0；②y＝6；③y軸．預設：①根據(jù)點到直線的距離公式，得d＝eq\f(|3×3－4×（－2）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(18,5).②因為直線y＝6平行于x軸，所以d＝|6－(－2)|＝8.③d＝|3－0|＝3.已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，則點A到BC邊的距離為()A． B． C． D．4預設：BC邊所在直線的方程為，即x＋y＋1＝0；則d＝,故選：B.求垂直于直線x＋3y－5＝0且與點P(－1,0)的距離是的直線l的方程.預設：設與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點到直線的距離公式知，d＝eq\f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3\r(10),5).所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.已知直線恒經(jīng)過定點，則點到直線的距離是（

）A．6 B．3 C．4 D．7預設：由直線方程變形為：，由，解得，所以直線恒經(jīng)過定點，故點到直線的距離是，故選：B.點到直線l：（為任意實數(shù)）的距離的最大值為．預設：∵直線，∴可將直線方程變形為，∴，解得，由此可得直線系恒過點，P到直線l的最遠距離