第1章 教材拓展 異面直線的距離(教參獨具)2024-2025學年高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步導學案配套教學設計（人教A版2019）

第1章教材拓展異面直線的距離(教參獨具)2024-2025學年高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步導學案配套教學設計（人教A版2019）學校授課教師課時授課班級授課地點教具課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學選擇性必修第一冊《異面直線的距離》

2.教學年級和班級：2024-2025學年高中二年級

3.授課時間：[具體上課時間]

4.教學時數(shù)：1課時核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學建模能力。通過探究異面直線的距離，學生將能夠運用空間幾何知識解決實際問題，發(fā)展幾何直觀和數(shù)學抽象思維，同時提升運用數(shù)學語言表達幾何關系的能力。在解決問題的過程中，學生將學會如何分析問題、設計方案、實施探究和反思總結，從而培養(yǎng)其創(chuàng)新意識和科學精神。教學難點與重點1.教學重點

本節(jié)課的教學重點是異面直線的距離的定義、性質及其計算方法。具體包括：

-異面直線的概念：學生需要理解異面直線不在同一平面內，且無公共點的兩條直線。

舉例：如教室內的兩根不同墻面的垂直棱，它們就是異面直線。

-異面直線距離的計算：掌握通過作公垂線段來求解異面直線間距離的方法。

舉例：給定兩條異面直線l1和l2，通過作l1上的點A到l2的垂線段AB，線段AB的長度即為異面直線l1和l2的距離。

2.教學難點

本節(jié)課的教學難點主要在于學生對空間幾何直觀感知的建立和復雜計算步驟的理解。具體包括：

-空間幾何直觀感知：學生可能難以在頭腦中構建異面直線的空間關系。

難點解釋：例如，學生可能難以想象兩條不在同一平面內的直線是如何存在的，以及它們之間的距離是如何確定的。

-計算方法的掌握：學生在使用向量或坐標法求解異面直線距離時，可能會遇到計算錯誤。

難點解釋：如使用坐標法時，學生需要正確地建立空間直角坐標系，并且能夠準確地計算出坐標值，然后運用距離公式進行計算。在這一過程中，任何一步的失誤都可能導致最終結果錯誤。教學方法與手段教學方法：

1.講授法：通過詳細講解異面直線距離的定義和計算方法，幫助學生建立空間幾何的概念。

2.案例分析法：通過分析具體例題，引導學生理解異面直線距離的計算過程和應用。

3.小組討論法：組織學生進行小組討論，共同解決課堂練習題，促進學生間的互動和思考。

教學手段：

1.多媒體演示：使用PPT展示異面直線的三維模型和計算過程，增強學生的空間想象力。

2.教學軟件輔助：利用教學軟件進行實時演示和解題，提高教學的互動性和趣味性。

3.網(wǎng)絡資源：引導學生利用網(wǎng)絡資源進行自主學習，拓寬知識獲取渠道。教學過程設計1.導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-創(chuàng)設情境：利用教室內的實物，如兩根不同墻面的垂直棱，引導學生觀察并思考它們之間的關系。

-提出問題：詢問學生這兩根棱是否平行、是否相交，從而引出異面直線的概念。

2.講授新課（20分鐘）

-講解異面直線的定義和性質，通過板書和PPT展示，讓學生直觀地理解異面直線不在同一平面內，且無公共點的特點。

-用時5分鐘

-通過實例講解異面直線距離的計算方法，包括作公垂線段、向量法和坐標法。

-用時10分鐘

-分析例題，展示解題步驟，確保學生理解和掌握新知識。

-用時5分鐘

3.鞏固練習（10分鐘）

-分組練習：將學生分成小組，每組解決一個異面直線距離的計算問題，鼓勵小組成員之間的討論和合作。

-用時5分鐘

-全班分享：邀請幾組學生分享他們的解題過程和答案，教師進行點評和總結。

-用時5分鐘

4.師生互動環(huán)節(jié)（10分鐘）

-課堂提問：教師提出與異面直線距離相關的問題，學生回答，教師給予反饋。

-用時5分鐘

-小組討論：針對課堂提問中的問題，學生進行小組討論，形成共識后向全班展示。

-用時5分鐘

5.拓展提升（5分鐘）

-提供一些更具挑戰(zhàn)性的問題，讓學生思考異面直線距離在現(xiàn)實生活中的應用，如建筑設計、工程測量等。

-鼓勵學生提出問題，教師進行解答，激發(fā)學生的探究欲望。

6.總結與布置作業(yè)（5分鐘）

-總結本節(jié)課的主要內容，強調異面直線距離的計算方法和應用。

-布置作業(yè)：讓學生回家后完成一些異面直線距離的計算題目，鞏固所學知識。

整個教學過程設計注重學生的參與和思考，通過師生互動和小組討論，激發(fā)學生的學習興趣，同時緊扣教學重難點，確保學生對新知識的理解和掌握。通過拓展提升環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內容相關的拓展閱讀材料：

-《空間幾何學導論》：該書詳細介紹了空間幾何的基本概念和性質，包括直線、平面和空間幾何圖形的關系，適合對空間幾何有更深入興趣的學生閱讀。

-《高等幾何》：針對有一定數(shù)學基礎的學生，這本書涵蓋了空間幾何的高級內容，包括射影幾何和微分幾何等，有助于學生從更高角度理解空間幾何。

-《工程力學中的空間幾何應用》：本書通過實際工程案例，展示了空間幾何在工程力學中的應用，如力的分解與合成、結構穩(wěn)定性分析等，有助于學生理解空間幾何在實際工程中的重要性。

2.鼓勵學生進行課后自主學習和探究：

-探索空間幾何的其他應用領域：學生在課后可以查閱資料，了解空間幾何在物理學、天文學、計算機圖形學等領域的應用，拓寬知識視野。

-制作空間幾何模型：學生可以嘗試使用紙張、塑料板等材料，制作異面直線和其他空間幾何圖形的模型，加深對空間幾何概念的理解。

-進行數(shù)學實驗：學生可以使用計算機軟件，如幾何畫板或CAD軟件，進行空間幾何的實驗，如模擬異面直線距離的計算過程，觀察不同幾何圖形的性質。

-小組研究項目：學生可以組成小組，選擇一個與空間幾何相關的課題進行研究，如“空間幾何在建筑設計的應用”，通過收集資料、討論和分析，完成一個小型研究報告。

-參加數(shù)學競賽：鼓勵學生參加各類數(shù)學競賽，如數(shù)學建模競賽，這些競賽往往需要運用空間幾何知識解決問題，有助于提高學生的數(shù)學應用能力。板書設計①異面直線距離的定義

-重點詞：異面直線、公垂線段、距離

-重點句：異面直線的距離是指兩條異面直線之間最短的線段，即公垂線段的長度。

②異面直線距離的計算方法

-重點詞：向量法、坐標法、空間直角坐標系

-重點句：向量法通過計算向量的模長來求解距離；坐標法通過建立空間直角坐標系，利用坐標值計算距離。

③異面直線距離的性質與應用

-重點詞：性質、應用、幾何圖形

-重點句：異面直線距離的性質包括唯一性和不變性；在幾何圖形中，異面直線距離可用于求解體積、表面積等。典型例題講解例題1：

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1的長度為2，棱AB的長度為3，棱AD的長度為4。求異面直線AB與A1C1的距離。

解答：首先，連接AC和A1C1，由于長方體的性質，AC與A1C1平行。然后，作線段B1D1，交A1C1于點E。根據(jù)長方體的性質，B1D1垂直于平面A1C1CD1，因此B1D1垂直于A1C1。接下來，連接BE，由于BE在平面ABCD上，而A1C1不在該平面上，所以異面直線AB與A1C1的距離就是BE的長度。利用勾股定理計算BE的長度，得到BE=√(AB^2+AD^2)=√(3^2+4^2)=5。

例題2：

在空間直角坐標系中，點A的坐標為(1,2,3)，點B的坐標為(4,5,6)。求異面直線AB與x軸的距離。

解答：由于x軸的方向向量是(1,0,0)，我們可以找到點A到x軸的垂線，該垂線與x軸的交點為C。點C的坐標為(1,0,0)，因為它是x軸上的點。異面直線AB與x軸的距離就是點A到點C的距離，即AC=√[(1-1)^2+(2-0)^2+(3-0)^2]=√(0+4+9)=√13。

例題3：

在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D是BC邊上的中點。將三角形ABC沿BC邊翻折，使得點A落在平面ABC外的一點A'。求異面直線AA'與BC的距離。

解答：由于D是BC的中點，因此AD垂直于BC，且AD=√(AB^2-BD^2)=√(5^2-3^2)=√(25-9)=√16=4。當三角形ABC沿BC邊翻折時，A點到A'點的距離AA'等于AD的長度，即AA'=4。因此，異面直線AA'與BC的距離就是AA'的長度，即4。

例題4：

已知空間四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，且AB與CD的距離為2。求異面直線AB與CD的距離。

解答：首先，連接AD，并假設AD與BC的交點為E。由于AB與CD的距離為2，我們可以作線段EF，垂直于CD，且EF的長度為2。接下來，連接AF，由于EF垂直于CD，AF也垂直于CD。因此，異面直線AB與CD的距離就是AF的長度。利用勾股定理計算AF的長度，得到AF=√(AB^2-BF^2)=√(3^2-2^2)=√(9-4)=√5。

例題5：

在空間直角坐標系中，點A的坐標為(1,2,3)，點B的坐標為(4,5,6)，點C的坐標為(7,8,9)。求異面直線AB與平面BCO的距離，其中O是坐標原點。

解答：首先，找到平面BCO的法向量n。由于點B和點C都在平面上，我們可以用向量BC和向量BO的叉積來找到法向量n。向量BC=(7-4,8-5,9-6)=(3,3,3)，向量BO=(4-0,5-0,6-0)=(4,5,6)。計算叉積n=BC×BO=|ijk|=(3*6-3*5,3*4-3*7,3*5-3*4)=(18-15,12-21,15-12)=(3,-9,3)。然后，找到點A到平面BCO的距離d，使用公式d=|(A-O)·n|/|n|，其中(A-O)是向量AO。向量AO=(1-0,2-0,3-0)=(1,2,3)。計算點A到平面BCO的距離，得到d=|(1,2,3)·(3,-9,3)|/√(3^2+(-9)^2+3^2)=|3+(-18)+9|/√(9+81+9)=|-6|/√99=6/√99=6/3√11=2/√11。課堂1.課堂評價

-提問：在課堂教學中，教師通過提問的方式檢驗學生對異面直線距離概念的理解。例如，教師可以詢問學生異面直線距離的定義、計算方法以及在哪些情況下會用到異面直線距離。通過學生的回答，教師可以判斷學生對知識的掌握程度。

-觀察：教師在授課過程中，應密切觀察學生的反應和參與程度。例如，在講解異面直線距離的計算方法時，教師應觀察學生是否能夠跟隨講解思路，是否在積極參與課堂討論。

-測試：在課堂的最后，教師可以通過小測驗或口頭測試的方式，檢查學生對本節(jié)課知識點的掌握情況。測試可以包括計算異面直線距離的題目，以及分析異面直線距離性質的問題。

2.作業(yè)評價

-批改：教師應認真批改學生的作業(yè)，注意學生在解題過程中是否理解了異面直線距離的概念，是否能夠正確應用計算方法。同時，教師應關注學生是否能夠清晰地表達解題思路。

-點評：在作業(yè)批改后，教師應及時給予學生反饋。對于普遍存在的問題，教師可以在課堂上集中講解；對于個別學生的問題，教師可以單獨進行輔導。教師的點評應具體、明確，旨在幫助學生理解錯誤原因，并指導學生如何改進。

-鼓勵：對于在作業(yè)中表現(xiàn)出色的學生，教師應給予表揚和鼓勵，以激發(fā)學生的學習積極性。同時，教師也應鼓勵那些在作業(yè)中遇到困難的學生，鼓勵他們繼續(xù)努力，克服學習中的難題。

教學評價的目的是為了更好地了解學生的學習情況，及時調整教學策略，促進學生的全面發(fā)展。通過課堂評價和作業(yè)評價，教師可以全面了解學生對異面直線距離知識點的掌握情況，為下一步的教學提供依據(jù)。反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.引入實際問題：在教學過程中，結合實際案例，如建筑設計、工程測量等，讓學生了解異面直線距離在實際生活中的應用，增強學生的實踐能力。

2.多媒體輔助教學：充分利用多媒體設備，如PPT、幾何畫板等，展示空間幾何圖形，幫助學生建立空間想象能力。

（二）存在主要問題

1.學生的空間想象能力不足：部分學生在理解異面直線距離的概念時，存在空間想象能力不足的問題，難以在頭腦中構建空間幾何圖形。

2.計算能力有待提高：學生在使用向量法或坐標法求解異面直線距離時，容易出現(xiàn)計算錯誤，需要加強