專題03 平面向量-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題03平面向量命題解讀考向考查統(tǒng)計高考對平面向量的考查，一般為平面向量基本定理、坐標運算、平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應用問題，如平行、垂直、距離、夾角等問題的計算，難度一般不高。平面向量的線性運算2022·新高考Ⅰ卷，3平面向量垂直的坐標運算2023·新高考Ⅰ卷，32024·新高考Ⅰ卷，3平面向量夾角的坐標運算2022·新高考Ⅱ卷，4平面向量數(shù)量積的綜合運算2023·新高考Ⅱ卷，132024·新高考Ⅱ卷，3命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到了平面向量的垂直運算，Ⅱ卷還結(jié)合了數(shù)量積的綜合運算。總體上來說，平面向量知識點的考查難度依舊是較易的，掌握基本的知識點和擁有基本的運算能力即可。平面向量考查應關(guān)注：平面向量基本定理、向量的坐標運算、向量數(shù)量積、向量平行與垂直、向量模等知識點，體會數(shù)形結(jié)合思想，強化運算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸能力。預計2025年高考還是主要考查向量的數(shù)量積運算、向量的夾角、向量的模。試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.2．（2024新高考Ⅱ卷·3）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·3）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2．（2023新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．3．（2022新高考Ⅱ卷·4）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C二、填空題1．（2023新高考Ⅱ卷·13）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.一、向量的線性運算和向量共線定理（1）向量的線性運算運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算（1）（2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同；當時，二、平面向量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．2、平面向量基本定理如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．3、線段定比分點的向量表達式如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB4、三點共線定理平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應熟練掌握．A、B、C三點共線存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在，使得．5、中線向量定理如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．DDACB三、平面向量的坐標表示及坐標運算（1）平面向量的坐標表示．在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標，記作．（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有向量向量點．（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差．若，為實數(shù)，則，即實數(shù)與向量的積的坐標，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應坐標．（4）設(shè)，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標．（5）平面向量的直角坐標運算①已知點，，則，②已知，，則，，，．，（5）、、三點共線，這是直線的向量式方程．四、數(shù)量積的坐標運算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當且僅當時等號成立）【平面向量常用結(jié)論】（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且．（2）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當且僅當且（或，且（3）在上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．（4）數(shù)量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．（5）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題．一、單選題1．（2024·廣東深圳·三模）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點共線 B．、、三點共線C．、、三點共線 D．、、三點共線【答案】C【分析】根據(jù)向量共線則判斷即可.【詳解】對A，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故A錯誤；對B，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故B錯誤；對C，因為，，則，故、、三點共線，故C正確；對D，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故D錯誤.故選：C2．（2024·廣西·三模）已知向量，那么向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】對于A，因為，所以不垂直，故A錯誤；對于B，因為，所以不垂直，故B錯誤；對于C，因為，所以不垂直，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：D3．（2024·浙江·三模）已知向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【分析】根據(jù)與垂直，可得，即可求出，再根據(jù)模的坐標公式即可得解.【詳解】，因為與垂直，所以，解得，所以.故選：B.4．（2024·重慶·三模）已知向量，若，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】利用已知條件和向量的垂直關(guān)系求出未知量即可求得，進而得.【詳解】因為，所以，，故，所以.故選：C.5．（2024·北京·三模）若，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，得，結(jié)合數(shù)量積的運算律求出，再根據(jù)向量的夾角公式即可得解.【詳解】因為，所以，即，所以，所以，又，所以向量與的夾角為.故選：B.6．（2024·甘肅蘭州·三模）已知向量，設(shè)與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用夾角公式計算出余弦值后，再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可算出正弦值.【詳解】因為，所以，，所以，因為為與的夾角，所以.故選：D7．（2024·河北衡水·三模）已知是單位向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計算向量的模，再計算與的數(shù)量積，進而可得夾角的余弦值，可得答案.【詳解】，故．，設(shè)與的夾角為，則，又，故，故選：A．8．（2024·浙江金華·三模）已知，，，則（

）A． B．16 C． D．9【答案】B【分析】由已知可得，可求得，進而計算可求.【詳解】由，兩邊平方可得，所以，所以.故選：B.9．（2024·陜西榆林·三模）在中，在邊上，且是邊上任意一點，與交于點，若，則（

）A． B． C．3 D．-3【答案】C【分析】利用向量的線性運算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到結(jié)果.【詳解】三點共線，設(shè)，則，又，所以，即.故選：C.10．（2024·江蘇蘇州·三模）已知，且在方向上的投影向量為單位向量，則（

）A．4 B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別將與平方，然后作差可得，再由條件可得，即可求得，從而得到，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，所以，即，所以①，因為，所以，即，所以②，①②可得，即又在方向上的投影向量為單位向量，則，即，解得，則，代入②中可得，解得.故選：B11．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】在中，取為基底，則，因為點分別為的中點，,所以，所以.故選：B.12．（2023·黑龍江佳木斯·三模）已知非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，可得，結(jié)合數(shù)量積的運算律可得的關(guān)系，再根據(jù)投影向量的公式即可得解.【詳解】因為，所以，所以，因為向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以，又因為，所以與的夾角是.故選：A.13．（2024·四川眉山·三模）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出、、，即可求出、、，再根據(jù)夾角公式計算可得.【詳解】由題意得，則有，解得，又由，則有，解得，同理可得，所以，，，所以.故選：A二、多選題14．（2024·安徽·三模）已知向量，則（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】ACD【分析】由向量的線性運算、平行以及垂直的坐標表示可判斷ABC，由投影向量的定義可判斷D.【詳解】對于A，，故A正確；對于BC，由于，，故B錯誤，C正確；對于D，在上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.15．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點D，E滿足，，與CD交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的線性運算，向量共享定理的推論，得出為中點，為上靠近點的四等分點，對選項進行判斷，得出答案.【詳解】對于A選項，，故A正確；對于B選項，因為為等邊三角形，，為中點，所以，所以，即，所以，故B正確；對于C選項，設(shè)，由（1）得，所以，又三點共線，所以，解得，所以為上靠近點的四等分點，故C錯誤；對于D，，設(shè)，則，所以，又三點共線，所以，解得，所以為中點，所以，故D正確，故選：ABD.16．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說法正確的有（

）A．一定可以作為一個基底B．一定有最小值C．一定存在一個實數(shù)使得D．的夾角的取值范圍是【答案】BC【分析】對A：借助基底的定義與向量共線定理計算即可得；對B：借助模長定義計算即可得；對C：借助模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得；對D：找出反例即可得.【詳解】對A：若，即，即，此時不能作基底，故A錯誤；對B：，故有最小值，故B正確；對C：若，則有即，即，即，解得，即當時，，故C正確；對D：由A知，若，則，即只能同向不能反向，故的夾角不可能為，故D錯誤.故選：BC.17．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動點，則（

）A．B．C．若P為EF的中點，則在上的投影向量為D．的最大值為【答案】AD【分析】對于A：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算求解；對于C：根據(jù)結(jié)合投影向量的定義分析判斷；對于BD：建系，根據(jù)向量的坐標運算求解.【詳解】對于選項A：因為，故A正確；對于選項C：由題意可知：，若P為EF的中點，所以在上的投影向量為，故C錯誤；對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標系，則，可得，所以，故B錯誤；設(shè)，可知，則，可得，則，可知當，即點與點重合時，的最大值為，故D正確；故選：AD.18．（2024·吉林·二模）已知平面向量，，，，，，且，則（

）A．與的夾角為B．的最大值為5C．的最小值為2D．若，則的取值范圍【答案】ACD【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式求解選項，設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出向量，，建立直角坐標系，將轉(zhuǎn)化為即可求其最大值；根據(jù)圖形可知點的軌跡，利用幾何性質(zhì)即可求出的最小值；設(shè)出點的坐標，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題求解.【詳解】對于A，由于，，，則，則，由于向量夾角范圍為大于等于小于等于，故與的夾角為，則A正確；對于B，設(shè)，，，則，，不妨設(shè)，,由于，即，故△為等腰三角形，則，故，因為，所以，則點C在以為弦，且使得的兩個優(yōu)弧上，如圖示：故C點所在優(yōu)弧所在的圓的直徑為，則其半徑為，設(shè)該圓的方程為，將坐標代入，得，解得或，則兩優(yōu)弧所在圓的圓心為，，且兩個圓心關(guān)于直線對稱，設(shè)的中點為M，則，而到弦AB的距離為，故的最大值為，則的最大值為6，即的最大值為6，則B錯誤；對于C，即為，結(jié)合C點軌跡可知當C在圓上的那條優(yōu)弧上運動時，會取到最小值，由于，故的最小值為，即的最小值為2，則C正確；對于D，結(jié)合以上分析可知，當C在圓上的那條優(yōu)弧上時，圓的方程為，設(shè)，其中，則由可得，解得，即，所以，當C在圓上的那條優(yōu)弧上時，圓的方程為，設(shè)，其中，則由可得，解得，即，所以，綜上所述，的取值范圍，則正確；故選：.【點睛】平面向量中的復雜問題，可以坐標化為純代數(shù)運算來求解.三、填空題19．（2024·四川·三模）若向量與向量是共線向量，則實數(shù)=．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示，列式計算，即得答案.【詳解】因為與共線，所以，解得．故答案為：20．（2024·上海·三模）已知向量、滿足，，，則．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律計算即得.【詳解】由，，，得，所以.故答案為：21．（2024·遼寧沈陽·三模）已知向量滿足，，則.