陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例 3.1.2 相關(guān)系數(shù)教案 北師大版選修2-3

陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計案例3.1.2相關(guān)系數(shù)教案北師大版選修2-3授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計案例3.1.2相關(guān)系數(shù)。該章節(jié)的內(nèi)容包括相關(guān)系數(shù)的定義、計算方法及其在實際問題中的應(yīng)用。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了數(shù)據(jù)的收集、整理和描述，以及簡單的統(tǒng)計學(xué)知識，如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：學(xué)生已掌握的數(shù)據(jù)處理和統(tǒng)計學(xué)知識為本節(jié)課的相關(guān)系數(shù)學(xué)習提供了基礎(chǔ)。通過本節(jié)課的學(xué)習，學(xué)生將進一步深入理解數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并學(xué)會運用相關(guān)系數(shù)解決實際問題。同時，本節(jié)課的內(nèi)容也為后續(xù)的回歸分析學(xué)習奠定了基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標主要包括：邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)交流。通過學(xué)習相關(guān)系數(shù)的概念和計算方法，學(xué)生能夠提高邏輯推理能力，理解并運用相關(guān)系數(shù)分析和解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的能力。同時，通過合作探討和問題解決，學(xué)生能夠提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)交流的能力。在本節(jié)課的教學(xué)過程中，教師將引導(dǎo)學(xué)生運用已有的知識經(jīng)驗，通過觀察、分析、推理等數(shù)學(xué)活動，感悟相關(guān)系數(shù)在揭示變量之間相關(guān)關(guān)系的作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。重點難點及解決辦法重點：

1.相關(guān)系數(shù)的定義和計算方法。

2.相關(guān)系數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。

難點：

1.相關(guān)系數(shù)計算公式的推導(dǎo)和理解。

2.相關(guān)系數(shù)在實際問題中的靈活運用。

解決辦法：

1.對于重點內(nèi)容，通過示例和實際問題引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握相關(guān)系數(shù)的定義和計算方法，通過練習題鞏固知識點。

2.對于難點內(nèi)容，通過圖形和實際案例的解釋，幫助學(xué)生直觀理解相關(guān)系數(shù)計算公式的推導(dǎo)過程，通過小組討論和問題解決，培養(yǎng)學(xué)生的思考和應(yīng)用能力。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.引導(dǎo)法：通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考和探索相關(guān)系數(shù)的概念和應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣和主動性。

2.互動式教學(xué)：通過小組討論和問題解決，促進學(xué)生之間的交流與合作，培養(yǎng)學(xué)生的思考和應(yīng)用能力。

3.實踐操作：通過實際案例和練習題，讓學(xué)生動手計算相關(guān)系數(shù)，加深對相關(guān)系數(shù)概念的理解和記憶。

教學(xué)手段：

1.多媒體教學(xué)：利用多媒體課件和教學(xué)視頻，以圖文并茂的方式呈現(xiàn)相關(guān)系數(shù)的概念和計算方法，提高學(xué)生的學(xué)習興趣和理解程度。

2.教學(xué)軟件：運用數(shù)學(xué)軟件或在線教學(xué)平臺，進行相關(guān)系數(shù)的計算和演示，幫助學(xué)生直觀理解相關(guān)系數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。

3.實物模型：使用相關(guān)系數(shù)模型或圖表，讓學(xué)生直觀感受相關(guān)系數(shù)的大小和意義，增強對相關(guān)系數(shù)概念的理解。

4.練習系統(tǒng)：通過在線練習系統(tǒng)或紙質(zhì)練習題，提供豐富的練習題庫，讓學(xué)生進行反復(fù)練習和自我檢測，鞏固所學(xué)知識。

5.教學(xué)反饋：利用教學(xué)反饋工具，收集學(xué)生的學(xué)習情況和問題，及時進行教學(xué)調(diào)整和改進，提高教學(xué)效果和效率。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標：激發(fā)學(xué)生對相關(guān)系數(shù)的興趣和好奇心

過程：教師通過一個生活中的實際問題引入相關(guān)系數(shù)的概念，例如分析兩個人的身高和體重之間的關(guān)系，引發(fā)學(xué)生對變量之間關(guān)系的思考。

2.相關(guān)系數(shù)的基本概念（10分鐘）

目標：學(xué)生能夠理解相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)

過程：教師通過多媒體課件和實際案例，講解相關(guān)系數(shù)的定義和計算方法，引導(dǎo)學(xué)生理解相關(guān)系數(shù)的大小和符號表示的含義。

3.相關(guān)系數(shù)的計算方法（20分鐘）

目標：學(xué)生能夠運用相關(guān)系數(shù)計算公式進行計算

過程：教師通過示例和練習題，引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)系數(shù)的計算方法，學(xué)生獨立完成練習題，教師進行個別指導(dǎo)和解答疑惑。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標：培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力和問題解決能力

過程：教師給出一個實際問題，學(xué)生分組進行討論和分析，運用相關(guān)系數(shù)的方法解決問題，并進行小組匯報和交流。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：提高學(xué)生的表達能力和思維邏輯性

過程：教師邀請幾名學(xué)生進行課堂展示，分享他們的解題過程和結(jié)果，其他學(xué)生進行點評和提問，教師進行總結(jié)和點評。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標：鞏固學(xué)生對相關(guān)系數(shù)知識的理解和記憶

過程：教師對本節(jié)課的主要內(nèi)容和知識點進行簡潔明了的總結(jié)，提醒學(xué)生重點掌握相關(guān)系數(shù)的定義、計算方法和應(yīng)用。教師鼓勵學(xué)生在課后進行相關(guān)系數(shù)的練習和應(yīng)用，鞏固所學(xué)知識。知識點梳理1.相關(guān)系數(shù)的定義：相關(guān)系數(shù)是衡量兩個變量之間線性相關(guān)程度的指標，用符號ρ表示。相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1到1之間，當ρ=1時表示完全正相關(guān)，ρ=-1時表示完全負相關(guān)，ρ=0時表示無關(guān)。

2.相關(guān)系數(shù)的計算方法：相關(guān)系數(shù)可以通過以下公式進行計算：

ρ=cov(X,Y)/(σX*σY)

其中，cov(X,Y)表示X和Y的協(xié)方差，σX和σY分別表示X和Y的標準差。

3.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）對稱性：ρ(X,Y)=ρ(Y,X)

（2）同方向性：當X增大時，Y也增大，則ρ為正；當X增大時，Y減小，則ρ為負。

（3）絕對值大?。簗ρ|越接近1，表示X和Y之間的線性關(guān)系越強；|ρ|越接近0，表示X和Y之間的線性關(guān)系越弱。

4.相關(guān)系數(shù)在實際問題中的應(yīng)用：相關(guān)系數(shù)可以用于分析兩個變量之間的線性關(guān)系，例如在金融市場中分析股票價格之間的相關(guān)性，在氣象學(xué)中分析氣溫和降水之間的關(guān)系等。通過相關(guān)系數(shù)的大小和符號，可以判斷變量之間的線性關(guān)系的方向和強度。

5.相關(guān)系數(shù)的局限性：相關(guān)系數(shù)只能衡量兩個變量之間的線性關(guān)系，對于非線性關(guān)系無法進行衡量。同時，相關(guān)系數(shù)受到極端值的影響較大，當數(shù)據(jù)中存在異常值時，相關(guān)系數(shù)的值可能會受到較大影響。

6.相關(guān)系數(shù)與回歸分析的關(guān)系：相關(guān)系數(shù)是回歸分析中的一個重要概念。在回歸分析中，通過建立自變量和因變量之間的線性模型，可以得到回歸方程。相關(guān)系數(shù)可以用來衡量回歸方程的擬合程度，即自變量和因變量之間的線性關(guān)系的強度和方向。

7.相關(guān)系數(shù)的計算工具：在實際應(yīng)用中，可以通過統(tǒng)計軟件或在線計算工具來計算相關(guān)系數(shù)。這些工具通常提供了友好的用戶界面，用戶只需輸入數(shù)據(jù)即可得到相關(guān)系數(shù)的值。

8.相關(guān)系數(shù)在實際案例中的應(yīng)用實例：

（1）分析消費者的購買行為：通過調(diào)查消費者的年齡、收入和購買某種商品的數(shù)量，計算相關(guān)系數(shù)來分析年齡和收入與購買數(shù)量之間的關(guān)系。

（2）評估投資組合的風險：通過計算不同股票之間的相關(guān)系數(shù)，分析投資組合中各股票之間的相關(guān)性，以評估投資組合的風險和收益。典型例題講解1.例題1：已知一組數(shù)據(jù)X和Y，其中X的值為1,2,3,4,5，Y的值為5,4,3,2,1。求這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)。

答案：首先計算X和Y的平均值，分別為(1+2+3+4+5)/5=3和(5+4+3+2+1)/5=3。然后計算X和Y的協(xié)方差，協(xié)方差為[(1-3)*(5-3)+(2-3)*(4-3)+(3-3)*(3-3)+(4-3)*(2-3)+(5-3)*(1-3)]/5=[2*2+(-1)*1+0*0+1*(-1)+2*(-2)]/5=[4-1+0-1-4]/5=-2/5。接著計算X和Y的標準差，X的標準差為sqrt([(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]/5)=sqrt([4+1+0+1+4]/5)=sqrt(2)；“Y的標準差為sqrt([(5-3)^2+(4-3)^2+(3-3)^2+(2-3)^2+(1-3)^2]/5)=sqrt([4+1+0+1+4]/5)=sqrt(2)。最后計算相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)為cov(X,Y)/(σX*σY)=(-2/5)/(sqrt(2)*sqrt(2))=-1/5。所以這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為-1/5。

2.例題2：某企業(yè)對兩種不同廣告媒體的宣傳效果進行了調(diào)查，記錄了兩種廣告媒體觀看人數(shù)與銷售額的關(guān)系，如下表所示：

廣告媒體觀看人數(shù)銷售額

A10005000

B20008000

C300012000

D400017000

求兩種廣告媒體之間的相關(guān)系數(shù)。

答案：首先計算觀看人數(shù)和銷售額的平均值，分別為(1000+2000+3000+4000)/4=2500和(5000+8000+12000+17000)/4=10000。然后計算觀看人數(shù)和銷售額的協(xié)方差，協(xié)方差為[(1000-2500)*(5000-10000)+(2000-2500)*(8000-10000)+(3000-2500)*(12000-10000)+(4000-2500)*(17000-10000)]/4=[-15000000+5000000+7500000+15000000]/4=5000000/4=1250000。接著計算觀看人數(shù)和銷售額的標準差，觀看人數(shù)的標準差為sqrt([(1000-2500)^2+(2000-2500)^2+(3000-2500)^2+(4000-2500)^2]/4)=sqrt([2500^2+2500^2+2500^2+2500^2]/4)=sqrt(6250000/4)=2500；銷售額的標準差為sqrt([(5000-10000)^2+(8000-10000)^2+(12000-10000)^2+(17000-10000)^2]/4)=sqrt([5000^2+2000^2+2000^2+7000^2]/4)=sqrt(7050000/4)=17625。最后計算相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)為cov(觀看人數(shù),銷售額)/(σ觀看人數(shù)*σ銷售額)=1250000/(2500*17625)=0.48。所以兩種廣告媒體之間的相關(guān)系數(shù)為0.48。

3.例題3：某班級對學(xué)生的身高和體重進行了測量，記錄了30名學(xué)生的身高和體重數(shù)據(jù)，如下表所示：

學(xué)生編號身高（cm）體重（kg）

117060

216555

316862

.........

3018080

求學(xué)生身高和體重之間的相關(guān)系數(shù)。

答案：首先計算身高和體重的平均值，分別為(170+165+168+...+180)/30和(60+55+62+...+80)/30。然后計算身高和體重的協(xié)方差，協(xié)方差為[(170-平均身高)*(60-平均體重)+(165-平均身高)*(55-平均體重)+(168-平均身高)*(62-平均體重)+...+(180-平均身高)*(80-平均體重)]/30。接著計算身高和體重

的標準差，標準差為sqrt([(170-平均身高)^2+(165-平均身高)^2+(168-平均身高)^2+...+(180-平均身高)^2]/30)和sqrt([(60-平均體重)^2+(55-平均體重)^2+(62-平均體重)^2+...+(80-平均體重)^2]/30)。最后計算相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)為cov(身高,體重)/(σ身高*σ體重)=協(xié)方差/(標準差*標準差)。通過計算可得到相關(guān)系數(shù)的值。

4.例題4：某地區(qū)對居民的收入和消費水平進行了調(diào)查，記錄了500戶居民的收入和消費水平數(shù)據(jù)，如下表所示：

居民編號收入（元）消費水平（元）

150003000

260004000

370005000

.........

500800010000

求居民收入和消費水平之間的相關(guān)系數(shù)。

答案：首先計算收入和消費水平的平均值，分別為(5000+6000+7000+...+8000)/500和(3000+4000+5000+...+10000)/500。然后計算收入和消費水平的協(xié)方差，協(xié)方差為[(5000-平均收入)*(3000-平均消費水平)+(6000-平均收入)*(4000-平均消費水平)+(7000-平均收入)*(5000-平均消費水平)+...+(8000-平均收入)*(10000-平均消費水平)]/500。接著計算收入和消費水平的標準差，標準差為sqrt([(5000-平均收入)^2+(6000-平均收入)^2+(7000-平均收入)^2+...+(8000-平均收入)^2]/500)和sqrt([(3000-平均消費水平)^2+(4000-平均消費水平)^2+(5000-平均消費水平)^2+...+(10000-平均消費水平)^2]/500)。最后計算相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)為cov(收入,消費水平)/(σ收入*σ消費水平)=協(xié)方差/(標準差*標準差)。通過計算可得到相關(guān)系數(shù)的值。

5.例題5：某研究者對某疾病的發(fā)病率和濕度進行了調(diào)查，記錄了不同地區(qū)的發(fā)病率和濕度數(shù)據(jù)，如下表所示：

地區(qū)編號發(fā)病率（例/萬人）濕度（%）

12060

22555

33050

.........

104040

求疾病發(fā)病率和濕度之間的相關(guān)系數(shù)。

答案：首先計算發(fā)病率和濕度的平均值，分別為(20+25+30+...+40)/10和(60+55+50+...+40)/10。然后計算發(fā)病率和濕度的協(xié)方差，協(xié)方差為[(20-平均發(fā)病率)*(60-平均濕度)+(25-平均發(fā)病率)*(55-平均濕度)+(30-平均發(fā)病率)*(50-平均濕度)+...+(40-平均發(fā)病率)*(40-平均濕度)]/10。接著計算發(fā)病率和濕度的標準差，標準差為sqrt([(20-平均發(fā)病率)^2+(25-平均發(fā)病率)^2+(30-平均發(fā)病率)^2+...+(40-平均發(fā)病率)^2]/10)和sqrt([(60-平均濕度)^2+(55-平均濕度)^2+(50-平均濕度)^2+...+(40-平均濕度)^2]/10)。最后計算相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)為cov(發(fā)病率,濕度)/(σ發(fā)病率*σ濕度)=協(xié)方差/(標準差*標準差)。通過計算可得到相關(guān)系數(shù)的值。教學(xué)評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：

教師通過觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)，了解學(xué)生對相關(guān)系數(shù)概念的理解和掌握情況。包括學(xué)生的參與度、回答問題的準確性、對相關(guān)系數(shù)計算方法的掌握程度等。

2.小組討論成果展示：

教師通過觀察學(xué)生的小組討論和成果展示，了解學(xué)生對相關(guān)系數(shù)應(yīng)用的理解和運用能力。教師可以評價學(xué)生的討論過程是否積極、合作是否有效、成果是否清晰且有邏輯性。

3.隨堂測試：

教師可以設(shè)計一些隨堂測試題，包括計算相關(guān)系數(shù)的題目和應(yīng)用相關(guān)系數(shù)的實際問題。通過測試結(jié)果，了解學(xué)生對相關(guān)系數(shù)的理解和應(yīng)用能力。

4.作業(yè)完成情況：

教師可以評價學(xué)生完成作業(yè)的情況，包括作業(yè)的準確性、對相關(guān)系數(shù)的理解和應(yīng)用能力等。

5.教師評價與反饋：

教師根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)、小組討論成果展示、隨堂測試和作業(yè)完成情況，進行綜合評價，給出具體的反饋。教師可以指出學(xué)生的優(yōu)點和需要改進的地方，鼓勵學(xué)生的進步，并提供進一步學(xué)習的建議。板書設(shè)計1.相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)

相關(guān)系數(shù)是衡量兩個變量之間線性相關(guān)程度的指標，用符號ρ表示。相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1到1之間，當ρ=1時表示完全正相關(guān)，ρ=-1時表示完全負相關(guān)，ρ=0時表示無關(guān)。相關(guān)系數(shù)具有對稱性、同方向性和絕對值大小等性質(zhì)。

2.相關(guān)系數(shù)的計算方法

相關(guān)系數(shù)可以通過以下公式進行計算：

ρ=cov(X,Y)/