第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 綜合練習(xí)-高一年級上冊數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

函數(shù)的概念與性質(zhì)綜合練習(xí)

共22道題，滿分150分

一、單項選擇題（每道題5分，共40分）

1.已知函數(shù)y=ax-4+l（a>0且a盧1）的圖象恒過定點P若點P在毒函數(shù)

f（x）的圖象上，則基函數(shù)f（x）的圖象大致是（）.

2.函數(shù)f(x)二五次+之的定義域為()

X

A.(-8。)B.(0,l]

C.(-oo,l]D.(-oo,0)U(0,l]

3.在下列四組函數(shù)中,f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是().

y21

A.f(x)=x-l,g(x)=—

B.f(x)=|x+l|,g(x)=『；：U：，

L工-A,AJ.

C.f(x)=l,g(x)=(x+1)°

D.f(x)=(W)：g(x)二高

4.已知函數(shù)f(x)=｛；H：1'且f(x)=3廁x的值是().

A.2B.|C.2或］D.2或:

5.已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出：

x123

f(x)131

x123

g(x)321

則滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值是().

A.1B.2c.3D.1和2

6.已知函數(shù)以)=｛耍:*吃)是定義在R上的奇函數(shù)，則g(x)=()-

A.VxB.-Vx

C.V^xD.-V^x

7.已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a-l,2a]上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,2a]上單

調(diào)遞增，則不等式f(x-l)<f⑻的解集為().

A.[-l,3]B.(0.2)

C.(0,l)U(2,3]D,[-l,0)U(1,2)

8.某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定:每位職工每月用水量

不超過10立方米的，按每立方米m元收費;用水量超過10立方米的,

超過部分按每立方米2m元收費.某職工某月繳水費16m元，則該職工

這個月實際用水量為().

A.13立方米B.14立方米

C.18立方米D.26立方米

二、多項選擇題(每道題5分，共20分)

9.若函數(shù)f(x)=(3m2-10m+4)xm是塞函數(shù)，則f(x)一定().

A.是偶函數(shù)

B.是奇函數(shù)

C.在x￡(-8,0)上單調(diào)遞減

D.在x￡(-8,0)上單調(diào)遞增

10.已知函數(shù)f(x)的圖象由如圖所示的兩條線段組成，則().

A.t(f(l))=3

B.f(2)>f(0)

C.f(x)=-x+l+2|x-l|,xG[0,4]

D.ma>0不等式f(x)Wa的解集為停,2〕

11.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x》0時,f(x)=x-x；則下列說

法正確的是().

A.f(-l)=0

B.f(x)在(-L0)上是增函數(shù)

C.f(x)>0的解集為Q1)

D.f(x)的最大值為［

12.把定義域為［0,+8)且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為“Q函

數(shù)”：⑴對任意的x￡［0,+8),總有心田0；⑵若xN0,yN0,則有

f(x+y)2f(x)+f(y)成立.下列判斷錯誤的是().

A若f(x)為“Q函數(shù)”，則f(0)=0

B.若f(x)為“Q函數(shù)”很卜(x)在。+8)上一定是增函數(shù)

fO.xEQ,

C.函數(shù)g(x)=I*&Q在。+8)上是“Q函數(shù)”

D.函數(shù)g(x)二岡在［0,+8)上是“Q函數(shù)”(岡表示不大于x的最大整數(shù))

三、填空題(每道題5分，共20分)

13.函數(shù)f(x)二景的定義域是.

14.某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定:如果顧客選購物品的總金

額不超過600元，則不享受任何折扣優(yōu)惠;如果顧客選購物品的總金額

超過600元,則超過600元的部分享受一定的折扣優(yōu)惠,折扣優(yōu)惠按下

表累計計算.

可以享受折扣折扣優(yōu)

優(yōu)惠金額惠率

不超過1100

5%

元部分

超過1100元

10%

部分

某人在此商場購物獲得的折扣優(yōu)惠金額為30元,則他實際所付金額為

元.

15.已知偶函數(shù)f(x)=x?+bx+c,寫出一組使得f(x)22恒成立的b,c的取

值:b=,c=.

16.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時,f(x)=x2-2ax+a,其中

aER.

①代)=-----；

②若f(x)的值域是R,則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題(17題10分，18-22題12分，共70分)

17給出關(guān)于函數(shù)f(x)的一些限制條件:①在(0,+8)上單調(diào)遞減;②在(?

8,0)上單調(diào)遞增;③是奇函數(shù);④是偶函數(shù)⑤f(0)二0.在這些條件中，選

擇必需的條件，補(bǔ)充在下面的問題中.

定義在R上的函數(shù)f(x),若滿足(填寫你選定的條件的序號)，且

f(-l)=0,求不等式f(x-l)>0的解集.

⑴若不等式的解集是空集，請寫出選定條件的序號,并說明理由；

⑵若不等式的解集是非空集合，請寫出所有可能性的條件序號;(不必

說明理由)

⑶求解問題⑵中選定條件下不等式的解集.

18.已知函數(shù)y二f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=x?-ax+4.

⑴求y=f(x)的解析式；

(2)求不等式f(x)tx+3的解集.

19.對于任意的實數(shù)a,b,min{a,b}表示atb中較小的那個數(shù)，即

min{a,b}J；；Q心’已知函數(shù)f(x)=3-x2,g(x)=l-x.

7D.

⑴求函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1口上的最小值；

⑵設(shè)h(x)=min{f(x),g(x)},x￡R,求函數(shù)h(x)的最大值.

20.已知函數(shù)f(x)二巖是定義在(-3,3)上的奇函數(shù)，且f(l)=i

V-Xo

⑴確定f(x)的解析式；

⑵判斷f(x)在(-3,3)上的單調(diào)性，并用定義證明;

⑶解不等式f(t-l)+f(2t)<0.

21.某地空氣中出現(xiàn)污染，須噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測算，每

噴灑1個單位的去污劑，空氣中釋放的濃度y（單位:亳克/立方米）隨著

14~~,0<x<4,

時間x（單位:天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y二28v若多次

-X+2,<X41,

噴灑,則某一時刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時

刻所釋放的濃度之和.由實驗知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4毫克

/立方米時,才能起到去污作用.

⑴若一次噴灑4個單位的去污劑，則去污時間可達(dá)幾天？

⑵若第一次噴灑2個單位的去污劑,6天后再噴灑a（lWaW4）個單位

的去污劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效去污，試求a的最小值.

22已知f(x)的定義域為R,對任意x.yGR都有f(x+y)=f(x)+f(y)-l,當(dāng)x>0

時,f(x)<l,f⑴=0.

⑴求f(F

⑵試判斷f(x)在R上的單調(diào)性拼證明.

⑶解不等式:f(2x2-3x-2)+2f(x)>4.

參考答案

1.B【解析】由x-4=0,得x=4,y=2,即定點為P(4,2).設(shè)毒函數(shù)f(x)=xa,

則4a=2得。弓1,所以f(x)二轉(zhuǎn)1故選B.

2.D【解析】要使函數(shù)f(x)有意義，則旨a.?.xWl且xKO,??.f(x)

的定義域為(-80)U((U],故選D.

3.B【解析】對于A,f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為{x|xW-l},兩個

函數(shù)的定義域不相同，所以A不是同一函數(shù);

對于B,f(x),g(x)的定義域都為R,而f(x)=仔J與g(x)的對應(yīng)關(guān)

(一人-A,%<一JL,

系相同，所以B是同一函數(shù)；

對于C,f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為{x|xK-l},兩個函數(shù)的定義域

不相同，所以C不是同一函數(shù)；

對于D,f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為{x|x聲0},兩個函數(shù)的定義域不

相同，所以D不是同一函數(shù).

4.D【解析】結(jié)合函數(shù)的解析式分類討論.

當(dāng)x>l時,f(x)=x+1=3,「.x=2,滿足題意；

當(dāng)x<l時,f(x)=4x=3,??.xq滿足題意.

綜上可得,x的值是2或*

5.B【解析】當(dāng)x=l時,f(g⑴尸f⑶=l,g(f⑴用g⑴=3,不符合題意;

當(dāng)x=2時,f(g⑵)=f(2)=3,g(f⑵尸g⑶=L符合題意；

當(dāng)x=3時,f(g⑶戶f⑴=l.g(f⑶尸g⑴=3,不符合題意.

綜上，滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值為2.

6Q【解析】因為幃爆康°&

當(dāng)x<0時,-x>0,所以f(-x)=V^x,

又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(-x)=-f(x),故f(x)=-G=g(x).

7.B【解析】因為函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間［-a-l,2a］上的偶函數(shù)，所以-

a-l+2a=0,解得a二L所以不等式f(x-l)<f⑻可化為f(|x-l|)<f⑴.因為f(x)

在區(qū)間［0,2a］上單調(diào)遞增，所以解得0<x<2.

8.A【解析】設(shè)該職工這個月的用水量為x立方米需要繳納的水費

為f(x)元，

當(dāng)0WXW10時,f(x)=mx,

當(dāng)x>10時,f(x)=10m+(xd0)x2m=2mx-10m,

柏f/<x<10,

>10,

據(jù)此分類討論:

當(dāng)OWxWlO時，令mx=16m,解得x=16,不符合題意,舍去;

當(dāng)x>10時，令2mx-10m=16m,解得x=13,符合題意.

綜上可得,該職工這個月實際用水量為13立方米.

9.BD【解析】因為函數(shù)f(x)=(3m2-10m+4)xm是鬲函數(shù)，所以3m2-

10m+4=l,解得m=3或m^,所以⑼力或f(x)二戶由事函數(shù)的性質(zhì)

知,f(x)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增.

1O.AC【解析】因為f⑴=0,f(0)=3,所以f(f(l))=3,所以A正確.

因為f(0)=3,0<f⑵<3,所以f⑵<f(0),所以B錯誤.

由題圖得，當(dāng)xE[O,0時，設(shè)解析式為y尸k】x+b】(k廿0),因為圖象經(jīng)過

(1,0),(0.3)兩點，

所以《二M°,解得由二33所以丫尸39;

當(dāng)xE[l,4]時，設(shè)解析式為y2=kzx+bjk2k0),因為圖象經(jīng)過(1,0),(4,3)兩

點，所咪MV=°3解得信二所以三口

故f(x)=-x+l+2|x-l|,xE[0,4],所以C正確.

由選項C得f⑵=2-1二l,f仔二3-|二I，如圖所示,所以不存在大于零的a.

使得不等式f(x)Wa的解集為停,2],故D錯誤.

11.AD【解析】由題意得f(-l)=f⑴=二0,故A正確；

當(dāng)X20時,f(x)=xd在(0()上是增函數(shù)，在(，+8)上為減函數(shù)因為

函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)所以f(x)在上是增函數(shù)，在(一

表0)上是減函數(shù)故B不正確；

當(dāng)x20時面f(x)=x-x2>0,可得0<x<l,因為函數(shù)f(x)是定義在R上的偶

函數(shù)，所以當(dāng)x<0時，由f(x)>0,可得-l<x<0,所以f(x)>0的解集為(-

[。)口(0,1),故?不正確；

2

當(dāng)X20時，由f(x)=X-X2=-(%-1)+河知，當(dāng)時,f(x)max二捆為函數(shù)f(x)

是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)在R上的最大值為點故D正確.

12.BC【解析】若函數(shù)f(x)為“Q函數(shù)”，若滿足條件⑴,則f(O)NO,若

滿足條件⑵，當(dāng)x=y=0時f(O)Nf(O)+f(O),解得f⑼這。若同時滿足條件

⑴⑵，則f(0)=0,故A正確;

若函數(shù)f(x)是常函數(shù)如f(x)=0,x￡[0,+8),同時滿足條件。乂2),但不是增

函數(shù)，故B不正確；

當(dāng)x=&,y=V3

時,g(或尸l,g(百戶l,g(6+B)=Lg(a+b)<g(V^)+g(V5),不滿足條

件⑵，所以g(x)在[0,+8)上不是“Q函數(shù)”，故c不正確；

g(x)二岡的最小值是0,顯然符合條件⑴，設(shè)[0,+8)上的每一個數(shù)都由整

數(shù)部分和小數(shù)部分兩部分構(gòu)成，設(shè)X的整數(shù)部分是m,小數(shù)部分是n,即

x=m+n廁岡二m,設(shè)y的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,即y=a+b,[y]=a,當(dāng)

n+b沒有進(jìn)到整數(shù)位時,[x+y]=m+a,若n+b進(jìn)到整數(shù)位

時,[x+y]=m+a+1,所以[x+y]\岡+[y],所以函數(shù)g(x)二岡滿足條件⑵，所

以g(x)二岡在0+8)上是“Q函數(shù)”，故D正確.

13.[3,4)U(4+00)【解析】由｛tV得3Wx<4或x>4.

14.1120【解析】由題意可知，折扣金額V元與購物總金額x元之間

0,0<x<600,

的解析式為y=0.05(x-600),600<%<1100,

0.1(x-1100)+25,x>1100.

???y=30>25,「?x>1100,A0.1(X-1100)+25=30,

解得x=1150,由1150-30=1120知，

此人購物實際所付金額為1120元.

15.04(答案不唯一)【解析】由題意，函數(shù)f(x)=x2-bx+c為偶函數(shù),

則f(-x)=f(x),

即(-xy+b(-x)+c=x2+bx+c,可得b=0,所以f(x)=x2+c,

又由f(X)N2恒成立，所以f(X)min22,即CN2.

16.-；(-oo,0]U[l+oo)【解析】①由題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的

q

2

奇函數(shù)，當(dāng)x>0時,f(x)=x2-2ax+a,則O=-奄)二-G)-2ax1+

i

a=-.

4

②若函數(shù)f(x)的值域為R,由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，可得當(dāng)x>0

時，函數(shù)f(x)=x2-2ax+a的圖象與x軸有交點，則△=(2a)2-4aN0,解得

aWO或aNl,即實數(shù)a的取值范圍是(-8Q]u[l,+8).

17?【解析】(1)若不等式f(x-l)>0的解集為空集，即f(x-l)W0恒成立.

因為f(-1)=0,所以函數(shù)f(x)不可能單調(diào)遞增或單調(diào)遞戒所以①②都不

能選.

選③④時,f(x)的表達(dá)式為f(x)=O,不等式f(x-l)>0的解集為空集.

所以選③?.

⑵若不等式f(x-l)>0的解集是非空集合，可選擇條

件:①?；①?⑤②?:②@⑤

(3)若選擇①③因為f(x)是奇函數(shù)所以f(O)=O,f(-x)=-f(x),Xf(-l)=0,所

以f⑴二0,

又f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

由f(x-l)>0,得x-l<-l或0<x-l<l,

解得x<0或lvx<2,

所以不等式f(x-l)>0的解集為(一8°)u(l,2).

若選擇①④@：由于f(x)是偶函數(shù),f(：)=0,則")=0,

又f(X)在(0,+8)上單調(diào)遞戒，所以f(x)在(-8Q)上單調(diào)遞墻

由f(x-l)>0,:f#-l<x-l<0或0<x-l<l,

解得0<x<2且x#l,

所以不等式f(x-l)>0的解集為(0,1)n(1,2).

若選擇②③因為f(x)是奇函數(shù)所以f(0)=0,f(-x)=-f(x),Xf(-l)=0,所以

又f(x)在(-8。上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由f(x-l)>0,得-l<x-l<0或x-l>l,

解得0<x<l或x>2,

所以不等式f(x-l)>0的解集為(0,l)U(2,+8).

若選擇②④⑤:由于f(x)是偶函數(shù)f(-D=0,則f⑴二

又f(x)在(-8。上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

由f(x-l)>0,得-l<x-l<0或0<x?l<L

解得0<x<2且xXl,

所以不等式f(x-l)>0的解集為(0,l)U(L2).

18.【解析】(1)因為函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),

所以f(O)=O,f⑴=-f(-l)=l,

所以l-a+4=l,解得a=4,

所以當(dāng)x>0時,f(x)=x2-4x+4.

令x<0,則-x>0,所以f(-x)=(-x)2-4(-x)+4=x2+4x+4,

因為函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，

所以f(x)=-f(-x)=-x2-4x-4.

X2-4X+4,x>0,

0,x=0,

{-X2-4X-4,X<0.

⑵當(dāng)x>0時，原不等式可化為X2-4X+4<|X+1,

整理并化簡得(x-l)(2x-7)<0,解得l<x<^;

當(dāng)x=0時，原不等式可化為0<5顯然成立；

當(dāng)x<0時，原不等式可化為-x2-4x-4gx+1,

整理并化簡得(x+3)(2x+3)>0,解得x<-3或-|<x<0.

綜上，原不等式的解集為(-8,-3)U(-

19.【解析】⑴因為f(x)=3-2在［-1,0］上單調(diào)遞增，在(0口上單調(diào)遞減，所

以f(x)在［-1,1］上的最小值為f(-l)=f(l)=2.

⑵當(dāng)g(x)=1-XW3-X2=f(x),即-1WXW2時,h(x)=l-x;

當(dāng)g(x)=l-x>3-x2=f(x),SPx<-l或x>2時,h(x)=3-x：

作出函數(shù)h(x)的圖象如圖所示，

由圖可知,h(X)在(-00,-1)上單調(diào)遞增，在［-L+8)上單調(diào)遞減，即

h(x)Wh(-l)=2.

所以當(dāng)x=-l時,h(x)取得最大值，最大值為2.

20?【解析】(1)由函數(shù)f(x)二巖是定義在(-3,3)上的奇函數(shù)，可知

f(0)二T=0,解得b=0,經(jīng)檢驗，當(dāng)b=0時,f(x)二言是(-3,3)上的奇函數(shù)，滿

足題意.

又f⑴二言4解得a.

故f(x)二盤,xE(-3,3).

⑵f(x)在(-3,3)上為增函數(shù),證明如下:

在(-3,3)內(nèi)任取XM,且x1<X2,則f(X2)-f(x?二羲一^二(箕墨蓍)

VX2-XI>0,9+XIX2>0,9-%I>0,9-X2>0.

???f(X2)-f(Xi)>0,即f(x2)>f(xi),

???財在(-3,3)上為增函數(shù).

(3)vf(t-l)+f(2t)<0,Af(t-l)<-f(2t),

又??葉儀)是(-3,3)上的奇函數(shù)

由⑵知f(x)在(?3,3)上為增函數(shù)，

-3<t-1<3,

故-3V2V3,解得一|<?

t-1<-2t,

即te(一姿

故原不等式的解集為Git).

21?【解析】(I)：一次噴灑4