第08講 直線與橢圓、雙曲線、拋物線 精講（解析版）-2023年高考數(shù)學一輪復習

第08講直線與橢圓、雙曲線、拋物

線

(精講)

目錄

第一部分：知識點精準記憶

第二部分：課前自我評估測試

第三部分：典型例題剖析

題型一：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系

題型二：中點弦問題

角度1：由中點弦確定直線方程

角度2：由中點弦確定曲線方程

題型三：弦長問題

題型四：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題

第四部分：高考真題感悟

第一部分：知識點精準記憶

知識點一：直線與橢圓的位置關系

龍2>2=1(a>6>0)聯(lián)立成方程組，消元轉化為關

將直線的方程與橢圓的方程7+F

于x或y的一元二次方程，其判別式為△.

①△>()1>直線和橢圓相交O直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點)；

②A=()0直線和橢圓相切o直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；

③A<0。直線和橢圓相離O直線和橢圓無公共點.

知識點二：直線與雙曲線的位置關系

代數(shù)法：設直線/：y=Ax+〃?，雙曲線j—「=i(a>o,o>o)聯(lián)立解得：

ab-

(b~—a2k2)x2-2a1inkx—a~m1—a2b2=0

bb

(1)m=0時，—<攵v—,直線與雙曲線交于兩點(左支一個點右支一個點)；

aa

bb

k>-,k<--，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；

aa

(2)相。0時，

女存在時，若。2_。2k2=o，k=士"直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相

a

交于~~1點；

若b1-a2k29^0，A=(-26r2mZ:)2-4(Z?2-a2k2)(-a2m2-a2h2)

=4a2b2(m2+b2—crk2)

A>0時，加2+。2一〃2公>0,直線與雙曲線相交于兩點；

A<0時，加2+/一/左2V0,直線與雙曲線相離，沒有交點；

4=0時加2+02一。2產=0，公=口2直線與雙曲線有一個交點；相

a

切

Z不存在，一。<m<。時，直線與雙曲線沒有交點；

Q或根<一。直線與雙曲線相交于兩點；

知識點三：直線與拋物線的位置關系

設直線/：y=履+〃?,拋物線：y2=2px(，>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關

于x的方程

k2x2+2(km-p)x+m~=0

⑴若％H0,當A>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；

當△=0時，直線與拋物線相切，有一個切點；

當△<0時，直線與拋物線相離，沒有公共點.

(2)若女=0,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因

此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

知識點四：直線與圓錐曲線的相交的弦長公式：

若直線/：y=kx+b與圓錐曲線相交與A、B兩點,A(X1,y),B(X2，>2)則：

2222

弦長|A4=yl(xt-x2)+(y,-y2)=J(x,-x2)+(kx,-k^)

=Jl+Z2k[一q

=y/l+k-J（X]+%2）——4X1X）

弦長|A目=J+.E-刃

這里1內一赴1,1y,-y21,的求法通常使用韋達定理，需作以下變形:

IX-電1=&內+七>一4%七;Ijj-y2\=J（M+%尸-4y%

第二部分：課前自我評估測試

I

（2022?陜西渭南?高一期末）已知雙曲線彳=16?>0,Z?>0）與直線y=2x無公

a

共點，則雙曲線的離心率的最大值是（）

A.72B.2C.V2+1D.y/5

【答案】D

?22

雙曲線的漸近線方程為：y=+-x,若雙曲線0—1=1（fl>o,5>0）與直線y=2x無

aab~

貝U應有。<空2,所以離心率e=￡=J1+-A/S>

公共點,

a

故選：D

2.（2022?上海市第三女子中學高二期末）過戶（0,2）且與雙曲線2/-丁=1有且只有一個公

共點的直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

當斜率不存在時，過戶的直線與雙曲線沒有公共點；

當斜率存在時，設直線為），=區(qū)+2,聯(lián)立｛2；=：：]，得Q-公廠-4履-5=0①.

當2-〃=0,即人士夜時，①式只有一個解；

當2—爐工0時，則A=16產+20（2-/）=。，解得卜=±回；

綜上可知過P（0,2）且與雙曲線2d-y2=]有且只有一個公共點的直線有4條

故選：D.

3.（2022?湖南?高二階段練習）已知F為雙曲線C:三-亡=1的一個焦點，點”在C上，O

97

為坐標原點，若|。"|=|。尸|,則AOWF的面積為.

7

【答案】-##3.5

2

不妨設點〃（x,y）在第一象限，

22

由雙曲線C：￡-X=l,可得°=廬下=4，

97

因為1。徵=1。尸I，所以10MM"2=4,

又因為'-上?ul,所以y=:，故AOM尸的面枳為:x4xZ=〈.

974242

7

故答案為：—

4.（2022?內蒙古赤峰?高二期末（理））直線/過拋物線y2=2x的焦點F,且/與該拋物線

交于不同的兩點3（%,%）.若占+占=3,則弦AB的長是一

【答案】4

由題意得夕=1，

由拋物線的定義知：AB=AF+BF=x]+^+x2+-^=x}+x2+p=3+l=4,

故答案為：4.

?2

5.（2022?全國?高二課時練習）已知直線3-+2=。與橢圓導/］相交于陸N兩點,

求MN的長.

【答案】暗

3x—y+2=0

248

聯(lián)立方程：一W-37X2+48X=0,+x=-—=0,

=12

164

因為斜率:3,

2

\MN\=J1+左2也-X2\=J]+12+4)_你工2=

48師

故答案為:

37

第三部分：典型例題剖析

題型一：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系

典型例題

例題1.(2022?全國?高二課時練習)直線:+與=1與橢圓片+亡=1的交點個數(shù)為().

43169

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

22

由題意，橢圓土+匯=1,可得。=4,8=3,

169

則橢圓的右頂點為44,0),上頂點為B(0,3),

乂由直線5+4=1恰好過點AB,所以直線與橢圓有且僅有2個公共點.

43

故選：C.

例題2.(2022?四川?南部縣第二中學高二階段練習(理))過點尸(3,1)作直線/與拋物線

V=_4x只有一個交點，這樣的直線/有()條

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

當直線/斜率不存在時，/:x=3,與拋物線無交點，不合同意；

當直線/斜率為零時，/:y=l,與拋物線有且僅有一個交點,滿足題意；

當直線/斜率不為零時，x-3=1(y-l),即x=J(y-l)+3,

KK

x=—(y—1)+3

由彳k,)得：外22+今+⑵-4=0,

y2=-4x

則△=16-4%(12々-4)=0,解得：％=耳1,，滿足題意的直線/有兩條：

綜上所述：過點P(3,l)與拋物線j2=-4x只有一個交點的直線/有3條.

故選：C.

例題3.(2022?全國?高二單元測試)若曲線2*=歷7與直線y=m(x+D有公共點，則

實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】(-2⑵

如圖，曲線2x=j4+y2,即為》2-1=1*>0）,表示以（右,0）為焦點的雙曲線的右支部

分，此時該雙曲線的漸近線為V=-2x與y=2x因為y=m（x+l）過定點要使直線

y=m（x+l）與雙曲線右支有交點，則該直線的斜率一定在兩漸近線之間，則-2<加<2

故答案為：（-2,2）

例題4.（2022?全國?高二課時練習）已知直線y=^+l與拋物線y,=4x有且只有一個公共

點，求k的值.

【答案】0或1.

①當直線丫=履+1與X軸平行時，方程為y=l,此時女=0,

與拋物線y?=4x只有一個公共點，坐標為（；」），滿足題意；

②當時，方程y=^+l與拋物線方程聯(lián)立，消去y得發(fā)2/+（2&-4）X+1=0,

△=（24-4）2-4/=0,解得4=1,此時直線方程為y=x+L

綜上所述，％=0或1.

同類題型歸類練

1.（2022?江蘇?高二）若直線如+利=4與圓/+丁=4沒有交點，則過點的直線與

橢圓￡+片=1的交點的個數(shù)為（）

94

A.0或1B.2C.1D.0

【答案】B

1-41

由題意/,,>2,得病+〃2<4,故點P（外小在以原點:為圓心，2為半徑的圓內，即在

yjm~+n~

橢圓內部，過P點的直線與該橢圓必有2個交點.

故選：B

2.（2022?全國?高二課時練習）過點"（2,4）作直線/與拋物線V=8尤只有一個公共點，這

樣的直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條

【答案】B

由題意，拋物線方程V=8x,點〃（2,4）恰好再拋物線丫2=8》上，

當直線的斜率不存在時，直線的方程為x=2,此時直線與拋物線有兩個交點，不滿足題意；

當直線/與x軸平行時，此時直線與拋物線只有一個公共點，滿足題意：

因為點M在拋物線上，過點M有且僅有一條切線，滿足與拋物線只有一個公共點，

所以與拋物線只有一個公共點的直線只有2條.

故選：B.

3.（2022?全國?高二專題練習）直線y="+l和曲線2/+3/=6的位置關系為.

【答案】相交

曲線2f+3/=6為：片+片7,可得a=6b=立,

32

n2[2

直線產質+1恒過（0,1）,由d<i知定點（0,1）在橢圓內部，

所以直線y="+l與橢圓2/+3/=6的位置關系為相交.

故答案為：相交.

4.（2022?海南華僑中學高二期末）過點M（0,2）且與雙曲線1=1只有一個公共點的直

線的條數(shù)是.

【答案】4

顯然直線斜率存在，設過點M（0,2）的直線方程為y="+2,

y=Ax+2

聯(lián)立方程<2y2?可得（2-&2）l2_4"—6=0,

I2

若2-〃=0,即a=±忘時，方程有1個解，即直線與雙曲線只有一個公共點，滿足題意；

若2-r/0,則由A=16公-4（2-公卜（—6）=0可解得4=±遙，此時直線與雙曲線相切，

只有一個公共點，滿足題意，

綜上，滿足題意的直線有4條.

故答案為：4.

5.（2022?全國?高三專題練習）若過點P（1,D且斜率為4的直線/與雙曲線爐-21=|只有一

4

個公共點，則々=.

【答案】|或±2

由題意可得，：y=%（x-l）+l，代入雙曲線方程得（4—二）/一2伏-22口-二+2%-5=0.

當-2=0,即1=±2時，直線/與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個公共點:

當4一小片0時，/=4伏一公尸-4（4一公）（一公+22-5）=0,解得k=|.

綜上，當％=;或左=±2時;直線與雙曲線只有一個公共點.

2

故答案為：1或±2

題型二：中點弦問題

角度1：由中點弦確定直線方程

典型例題

丫2”2

例題1.（2022?河南開封?高二期末（文））如果橢圓益+方=1的弦被點（2,2）平分，那么

這條弦所在的直線的方程是（）

A.x+4y=0B.x+4y-10=0

C.x+4y-6=0D.x-4y+6=0

【答案】B

設該弦所在直線與橢圓的兩個交點分別為4（.乂），85,力），貝匹+%=4,%+必=4

，1

匯

一+

I9

因326,兩式相減可得，上其+“二幺=0,即-入二&=；?生也

-X%2

I-+-I369玉-%4y+必

9

36

,,%+2x21.y.-y11

由中點公式可得七^=7方=1,所以-砥5=-拉上7=7,即3=-；，

%+%2x2占-々4八"4

所以A8所在直線方程為y-2=—：（x—2）,即x+4y-10=0.

故選：B.

例題2.（2022?全國?高三專題練習）過點”（2,1）的直線交拋物線y2=4x于A,8兩點，當點

M恰好為A8的中點時，直線AB的方程為（）

A?x+2y-5=0B.2,x—y—1=0C.2x+y-5=0D?2元—y—3=0

【答案】D

設A（x"J,8（孫力）,所以城=4占,月=4^,

兩式相減得,（'+%）（,-4）=4（百一々），

因為點用（2,1）為A8的中點，所以％+丫2=2,

所以入三=2,故直線AB的斜率為2，

所以直線AB的方程為J-1=2（x-2）,即2x-y-3=0,

聯(lián)立一,所以4/一16犬+9=0,A=(-16)2-4X4X9>0,故斜率為2符合題意,

因此直線AB的方程為2x-y-3=0,

故選：D.

例題3.(2022?福建?莆田一中高二期末)雙曲線C:[-1=l(a>(U>0),離心率e=—,

a及3

虛軸長為2.

(1)求雙曲線C的標準方程；

⑵經過點P(U)的直線/與雙曲線C相交于AB兩點，且尸為他的中點，求直線/的方程.

【答案】⑴《-V=l(2)x-3y+2=0

3

z.c0.2G

(1)v.e=—=---，2b=2、??c=------a，。=1,

a33

112

,?*b—c—cr9l=-ci~—ci"fa=3t

2

...雙曲線C的標準方程為工r->2=1；

3

(2)設以定點P(l,1)為中點的弦的端點坐標為A&,%),8(毛,為乂工尸毛)，

可得%+々=2,弘+%=2,

2

五2

3-X

由A8在雙曲線上，可得：.2=1

天2=1

一3-%

兩式相減可得以定點P(l,l)為中點的弦所在的直線斜率為：

2rj

々-斗3(y+%)3

則以定點P。,1)為中點的弦所在的直線方程為y-1=；(x-1)，即為x-3y+2=0,

-------V-=1e

聯(lián)立方程，3得：6y--12y+l=0,A=122-4x6x1=120>0，符合，

x-3y+2=0

二直線/的方程為：x-3y+2=0.

例題4.(2022?廣東?信宜市第二中學高二開學考試)已知拋物線。：>2=20氏(0>0)上的點

M(3,，")(點〃位于第四象限)到焦點F的距離為5.

(1)求P，m的值;

(2)過點P0,2)作直線/交拋物線C于48兩點，且點/>是線段AB的中點，求直線/的方

程.

【答案】(1)P=4,m=_2娓;(2)2x-y=0.

（1）由拋物線的定義可知：|MF|=3+5=5,解得：P=4,

.'.C:y2=8x,.?,/w2=8x3=24,解得，"=±2而，

,??點M在第四象限，.?.，〃=-2#；

（2）設4（%,4）,5（孫丫2），

則"丁?，兩式作差得（*+%）（%—%）=8（用一天），

.必'=8々

，直線/的斜率4="士=」一，；尸。,2）為A3的中點，

%-9y,+y2

/=4,:.k=2,

，直線/的方程為y-2=2（x-l）,即2x-y=0（經檢驗，所求直線符合條件）.

同類題型歸類練

1.（2022?全國?高三專題練習）在拋物線V=8x中，以。,-1）為中點的弦所在直線的方程

是（）

A.x-4y-3=0B.x+4y-3=O

C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0

【答案】C

設以為中點的弦的兩端點的坐標分別為人（和乂），鞏々,月）,

由題意可得，）［=/,兩式作差可得，靖-%2=8玉-8%,

）2=8*2

因此所求直線的方程為y—（T）=-4（x—l）,整理得4x+y-3=o.

故選：C.

2.（2022?甘肅蘭州?高二期末（理））點尸（8,1）平分橢圓/+4產=4的一條弦，則這條弦

所在直線的方程是.

【答案】2x+y-17=0

橢圓方程可化為二+丁=1,

4

設4（改,乂）,3（々,%）是橢圓上的點，尸是弦A8的中點，

1J+M%f

則2兩式相減并化筒得

4+x2x1—x2

1_1y-必y-%_

m即-7-z---------，-------------9，

48x}-x2-x2

所以弦A8所在直線方程為y-l=-2(x-8),即2x+y-17=0.

故答案為：2x+y-17=0

3.(2022?河南宋基信陽實驗中學高二階段練習(文))橢圓E:三+與=1(。＞人＞0)的一個

a2h~

焦點6(-2,0),離心率e=；.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求以點尸(2,1)為中點的弦AB所在的直線方程.

22

【答案】⑴三+匕=1；(2)3x+2y—8=0.

1612

(1)根據(jù)題意可得C=2,￡=]，故可得。=4,則從=〃一/=12，

a2

故橢圓方程為：—+^=1.

1612

(2)顯然，直線的斜率存在，設A8兩點的坐標為&/),(馬,％)，

故可得K+g=i應+貨=,故(…)(…)=_(M+%)D,

161216121612

X+%

故入二&X——由題可知上0=2,汽&=1,

x1^十■422

2

故可得y二&=3,=_[,

X)-x22

a

故直線AB的方程為y-1=-|(x-2),即3x+2y-8=0.

4.(2022?全國?高二課時練習)已知"(4,2)是直線/被橢圓x2+4/=36所截得的線段AB的

中點，求直線/的方程.

【答案】x+2y-8=0.

由題意可知/斜率必存在，設/斜率為％,則直線/的方程為y—2=Mx—4),

代入橢圓的方程化簡得(1+4k2)/+(164一32^卜+64&2-64%-20=0,

設AG，*),/孫％)，；A>0，+X2=32公T"=8,解得女=_；,

1+4k2

故直線/的方程為：x+2y-8=0.

另解:

由題知M在橢圓內，設直線/與橢圓相交于點4（%,乂）,8仁,%），易知直線/斜率存在，設

斜率為左，：48在橢圓匕

T：篝潑，—2+4（1》。，即3+巴士?=（）,即

X+%%一%

Q1

2+44=0,解得々=.

42

.,.直線/的方程為k2=-如-4）,整理得x+2y-8=0.

5.（2022?江蘇?高二課時練習）已知橢圓C：￡+4=1，直線機與橢圓C相交于A,B兩

63

點，且線段AB的中點為M（l,1）,求直線機的方程.

【答案”=0+|.

設A(xityi),B(X2,>,2).

由點A,8在橢圓匕

吟2+土2吟2+土2］,

（占+%）（西一%2）|（%+%）（%一必）_0

所以

63

ELyf3（藥+乙）3x2

而kAB_--々i、

6(%+%)6^22

則宜線〃?：y—1=一；(1—1),即丁=—1x+—2

222

■>2

6.（2022.寧夏吳忠區(qū)青銅峽市教育局高二開學考試（文））已知橢圓C：5+4=l

ab-

（a>0,b>0）的離心率為日,短軸長為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知過點P（2,1）作弦且弦被P平分，則此弦所在的直線方程.

【答案】⑴—+^=1⑵x+2y-4=0

164

(1)e=S=且，2b=4,所以a=4,b=2,c=2百，橢圓標準方程為二十亡=1

a2164

（2）設以點P（2,l）為中點的弦與橢圓交于則須+々=4,乂+%=2,分

別代入橢圓的方程，兩式相減得（X+士）（不一動+4乂+幻。—%）為，所以

4（毛-玉）+8（%-%）=0,所以％=學于=一；，由直線的點斜式方程可知，所求直線方程

y-1=-—（x-2）,即x+2y-4=0.

角度2：由中點弦確定曲線方程

典型例題

22

例題1.（2022?四川南充?高二期末（文））過橢圓C：*■+專■=l（a>b>°）右焦點尸的直

線/：x-y-2=0交C于A,8兩點，P為A3的中點，且。P的斜率為-g,則橢圓C的方

程為（）

A//X2y2

A,—+——1B?—H-1

8495

C.—+^-=1D.—+^-=1

73106

【答案】A

依題意,焦點尸（2,0）,即橢圓C的半焦距c=2,設A?,%）,8（X2,必），P（x。，%），

則有一"：，兩式相減得：〃（占+%）（%-々）+22（乂+丫2）（必-%）=0，

也石=a~b

而玉+&=2%,%+必=2%,且包=一;，即有-2。2（芭-*2）+°2（%-丫2）=°，

又直線/的斜率>二&=1,因此有/=2從，而/—〃=/=4,解得“2=8,"=4,經驗證

X一毛

符合題意，

22

所以橢圓C的方程為二+二=1.

84

故選：A

例題2.（2022?全國?高二課時練習）已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為F（6,0）,直線

y=x-l與其相交于"，N兩點，若MN中點的橫坐標為-：，則此雙曲線的方程是

【答案】D

22

設雙曲線的方程為二-2=l（a>0力>0）,由題意可得a2+b、7,設"（ax）,N（%,%），

a~h

則MN的中點為（-；,-告，由5—￡=1且與一耳=1,得（為+々）『-］）=

<33；acrb儲

25

（%+2%-%），2、（一§12x（一§）,即與=4，聯(lián)立a**,解得。2=2,從=5,

b~->,9cib

a~h~

故所求雙曲線的方程為工-￡=1.故選D.

25

例題3.（2022?江蘇南京?模擬預測）已知橢圓C：5?+《=1（4>。>0）過點，用，

直線/：y=x+”與橢圓C交于A,8兩點，且線段AB的中點為M,0為坐標原點，直線

OM的斜率為-0.5.

（1）求橢圓C的標準方程；

22

【答案】（1）二+工=1;

42

設A（X，X），8優(yōu),必），則用（，

）1+%

即總

21

X}+工2

因為A,B在橢圓C上，所噂”1,

兩式相減得（二華-）+（巨*口）=。,即_L+（y+丫2）（%-%）=0

a2/（氏+%）（公一吃）'

又二^=1,所以4-Jr=0，即/=?2.

%一%2b~

又因為橢圓C過點”,孚），所以：+4=1，解得/=4,6=2,

尤2J

所以橢圓C的標準方程為土+上=1；

42

例題4.（2022?安徽省亳州市第一中學高二開學考試）斜率為1的直線交拋物線

C：V=2px（p>0）于A,B兩點,且弦AB中點的縱坐標為2.

（1）求拋物線C的標準方程；

【答案】（l）V=4x

設A（%,y）,5（如必），"必=2,%+%=4,

“1=；師，兩式相減并化簡得"^:白一，1=￥，P=2,

[y-=2px2x,-x2%+%4

所以拋物線方程為產=4乩

同類題型歸類練

22

1.（2022?四川南充?二模（文））已知橢圓C:「+==l（a>b>0）的左焦點為F,過點F的

ah~

直線x-y+應=0與橢圓C相交于不同的兩點A,8,若尸為線段AB的中點，。為坐標原點,

直線。戶的斜率為則橢圓C的方程為（）

222

AA.廠Fy2=1DB.—%Hy=1

342

【答案】B

直線x-y+及=0過點網-應,0）,所以c=夜，

設4（%,3）,3（孫力），

由￡+否=屠+善=1兩式相減并化簡得-與="&?江里

x,+x

a~bab~a~2x1-x2

所以人=c=\/2,tz=2,

所以橢圓c的方程為H+f=1.

42

故選：B

22

2.（2022?全國?高三專題練習（理））已知橢圓C：「+4=1（〃隊>0）的左、右焦點分別為

ab-

耳，鳥，離心率為孝，過點耳的直線/交橢圓C于A,8兩點，48的中點坐標為（-：,$.

（1）求橢圓C的標準方程：

【答案】（1）與+>2=1

設A（“，yj,B5,%）,可得與+與=1,冬+咚=1,

abah~

2_2.2

兩式相減得2vV^￥二-=，

Xj-x2a

42、

將xl-^-x2=――,X+%=q代入上式，

即38.（-}=一*=e?-1,

又巳=也,

2

?*?八LAL】，

.?.直線/的方程為y=x+i,即可（—1,0）,

c=1?a=V2,i>=1,

...橢圓C的標準方程上+），2=1;

2

20

3.（2022?重慶巴蜀中學高三階段練習）已知橢圓C：二+與=1（4>匕>0）經過點P（G，

a-b-

3

5）,。為坐標原點，若直線/與橢圓。交于A,8兩點，線段A5的中點為M,直線/與直

線OM的斜率乘積為

4

（1）求橢圓C的標準方程；

【答案】（1）土+爐=1

123

3

解：因為橢圓經過點尸（6，1），

39

所以/+/='

設4（4乂）,以毛，%），因為直線/與橢圓C交于48兩點，

22

±+21/

2

所，兩式相減得、二匹=-4?五旦，

a2

%5y+力

lv2+溟a-

a

因為線段AB的中點為M,且直線/與直線OM的斜率乘積為-9，

4

所以-=解得y=3,/=12,

a24

所以橢圓方程為：—+^-=1：

123

4.（2022.全國?高三專題練習）已知拋物線。：丁=2內（0>0）的焦點為凡過產且斜率為1

的直線與拋物線C交于A,8兩點，且AB的中點的縱坐標為2.

（1）求C的方程

【答案】（1）y2=4x；

解：（1）設點A@，x）,8（々,力），則若左=2,所以％+必=4,又因為直線A8的斜率

為1,所以止工=1，

—

將4、8兩點代入拋物線方程中得」%；=：網，將上述兩式相減得，城-%2=2。（％-電），

[y/=2px2

即（乂_%）（乂+%）=2〃（玉_々），所以興=干乎=1，即學=1，所以P=2,

因此，拋物線的方程為y?=4x；

題型三：弦長問題

典型例題

例題1.（2022?海南?瓊海市嘉積第二中學高二期中）已知橢圓C:三+亡=1的左、右焦點

43

分別為「、K，過工且斜率為1的直線/交橢圓C于A、B兩點,則|相|等于（

A241212夜

A.-o.—V.----D,瘦

7777

【答案】A

設直線A3方程為y=x-i,聯(lián)立橢圓方程片+片=1

43

整理可得:7X2-8X-8=0,設A（X1,y）,3（X2，%），

則x+w=g,%”=-三，根據(jù)弦長公式有：

AB=\l'+k2.+工2『_你=[?故B，C,D錯誤.

故選：A.

例題2.（2022?全國?高三專題練習）經過雙曲線Y-q=1的左焦點”作傾斜角為Y的直

線AB,分別交雙曲線的左、右支為點A、B.求弦長IAB|=

【答案】3

?.?雙曲線的左焦點為F/（-2,0）,設4（xi,w），B（X2,”），

直線"的方程可設為產去（x+2）,代入方程V—?=1得，4-4x73=0,

?_>13

??Xi+x2=-,xix2=--

Zo

二|AB\=J1+&2.1演_馬卜+(.+4x,3.

故答案為：3.

例題3.（2022?貴州遵義?高二期末（理））橢圓C：*■+?！?l（“>b>0）左右焦點為《，

6,離心率為白，點Ml,

在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）經過點A（2,3）,傾斜角為:直線/與橢圓交于B,C兩點，求忸C|.

【答案】（1）?+產=1（2）怛。=警

_c

（1）解：由題意得《e=Z=E,解得〃=4〃，

a2=b2+c2

又因為點Ml,一隹橢圓C上,

帶入含+3=1得""

所以橢圓的標準方程為二+9=1.

4

（2）解：易得直線/的解析式為y=x+i,

設8（不必），。（林必）聯(lián)立橢圓的方程

x2+4y2=4

y=x+l得……

%+芻=|,x,x2=O

忸平和+4N-占I=國（占+工2?-4「=挈

所以怛C|=苧

22

例題4.（2022?云南?麗江市教育科學研究所高二期末）已知橢圓C:]+投=1（“>。>0）的

離心率為正，且過點2-2,1）.

2

⑴求c的方程；

⑵若A,8是c上兩點，直線A8與圓V+y2=2相切，求的取值范圍.

22

【答案】⑴￡+!=1(2)[2加,3]

63

(1)由題意得，

￡_V2

a2

41r-r-

^+3=1,W=A/6,h=c=V3,

。2=/+。2

所以C的方程為F+4=1.

(2)圓V+y2=2的圓心為(0,0),半徑圓r=&.

①當直線A8的斜率不存在時，方程為x=應或x=-&,

X=5/2X=—V2

于是有Yy2或*2

—+—=1—+—=1

6363

解得y=±5/2,

所以|AS|=20.

②當直線48的斜率為0時，方程為y=&或尸-血，

y=0y=-V2

于是有J2或f2

—+—=1—+—=1

6363

解得x=±亞，

所以網=2技

③當直線AB的斜率不為0時，設斜率為2,方程為、=乙+乙kx-y+t^0

因為直線48與圓V+y2=2相切，所以/L=應，得r=2(公+1)

，二.1

建