第01講 空間向量及其運(yùn)算-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019選擇性必修第一冊）

第。1講空間向量及其運(yùn)算

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、

1.理解空間向量的概念，空間向量的共線

減運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算、夾角的相關(guān)運(yùn)算及空間距離的

定理、共面定理及推論.

求解.

2.會(huì)進(jìn)行空間向量的線性運(yùn)算，空間向量

2.利用空間向量的相關(guān)定理及推論進(jìn)行空間向量共線、

的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運(yùn)算.

共面的判斷..

題知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01空間向量的有關(guān)概念

1.空間向量

(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

(2)長度或模：空間向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：空間向量用直包線段表示；②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量。的起點(diǎn)是A,

終點(diǎn)是B，也可記作：荏，其模記為回或|福卜

2.幾類常見的空間向量

名稱方向模記法

零向量任點(diǎn):00

單位向量任意1

相反向量相反相等。的相反向量：二0

人后的相反向量：BA

相等向量相同相等a=b

【微點(diǎn)撥】解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn)

（1）關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向.

（2）注意點(diǎn)：注意一些特殊向量的特性.

①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說明了共線向量不具備傳

遞性.

②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.

③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩

個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄?

【即學(xué)即練1】下列說法：

①若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

->->

②若向量而，c力滿足AB>，且通與。方同向，則A月>6；

③若兩個(gè)非零向量而與麗滿足4?+前=0，則而，。方為相反向量；

④麗=麗的充要條件是A與C重合，8與。重合.

其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】①錯(cuò)誤.兩個(gè)空間向量相等，但與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無關(guān)；②錯(cuò)誤.向量不能比較大??；③正確.

A&，C/）為相反向量；④錯(cuò)誤.4與C,B與D不一■定重合.

【詳解】

②錯(cuò)誤.兩個(gè)空間向量相等，其模相等且方向相同，但與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無關(guān).

②錯(cuò)誤.向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小.

③正確.AB+CD=Q-得AB=-CD>且麗，而為非零向量，所以通，CD

為相反向量.

—>->

④錯(cuò)誤.由礪=而，知AB=CO,且礪與而同向但4與C,B與0不一定重合.

故選：C

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：向量是一個(gè)既有大小，又有方向的矢量，考慮向量的問題時(shí)，一定要注意這一點(diǎn).

【即學(xué)即練2】向量￡②互為相反向量，已知忖=3,則下列結(jié)論正確的是()

A.a=bB.Q+B為實(shí)數(shù)0

C.a與坂方向相同D.同=3

【答案】D

【分析】根據(jù)相反向量的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.

rr

【詳解】由題意，向量￡花互為相反向量，可得。二人，且方向相反，所以C不正確，

可得二=」,，所以A不正確；可得￡+B=0,所以B不正確；又山W=3,所以W=3.故選：D.

知識(shí)點(diǎn)02空間向量的線性運(yùn)算

(1)向量的加法、減法

加法OB=OA+OC=a+b

空間向量的運(yùn)算

減法CA=OA-OC=a-b0aA

①交換律：a+b=b+a

加法運(yùn)算律

②結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

①定義：實(shí)數(shù)力與空間向量a的乘積—仍然是一個(gè)向量,稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.

當(dāng)＞0時(shí)，當(dāng)與向量。方向相同;

當(dāng)時(shí)，個(gè)與向量。方向相反;

當(dāng)a=o時(shí)，〃=9；癡的長度是。的長度的回倍.

②運(yùn)算律

a.結(jié)合律：=〃(癡)=(九。0.

b.分配律：(2+分。=癡+〃。,X(a+b)=Xa+Xb.

【微點(diǎn)撥】空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧：

(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向

量首尾相接.

（2）巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的

方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果.

【即學(xué)即練3】若空間中任意四點(diǎn)。，A,B,P滿足麗=加麗+〃礪，其中m+〃=1,則（）

A.PGABB.P電AB

C.點(diǎn)P可能在直線AB上D.以上都不對

【答案】A

【分析】由已知化簡可得入戶=〃4后，即可判斷.

【詳解】

因?yàn)樗詍=l一”,

所以麗=（1一〃）麗+〃而，即而一幅="（而一礪），

即AA=〃/密，所以而與南共線.

又而，而有公共起點(diǎn)A,所以HA,8三點(diǎn)在同一直線上，即PGA8.故選：A.

【即學(xué)即練4】.己知向量且入月=￡+2B，BC^-5a+6b-C6=7%-M），則一定共線的三點(diǎn)是

（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】計(jì)算某兩個(gè)向量的和，與和向量共線的另一向量，即得結(jié)論.

【詳解】

VBC=-5a+6b<CD=7a-2b'BD=BC+CD=2a+4b

又荏=￡+25，所以麗=2通，即通〃麗，而荏，而有公共點(diǎn)B,

AA,B,〃三點(diǎn)共線，A選項(xiàng)正確；

AC=-4a+Sb'顯然/，比，而兩兩不共線，選項(xiàng)B,C,D都不正確.

故選：A

知識(shí)點(diǎn)03共線問題

共線向量:

(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向

量.

(2)方向向量：在直線/上取非零向量。，與向量a平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量。，都有0〃a.

(3)共線向量定理：對于空間任意兩個(gè)向量小儀厚0),的充要條件是存在實(shí)數(shù)2使a=肪.

(4)如圖，。是直線/上一點(diǎn)，在直線/上取非零向量a,則對于直線/上任意一點(diǎn)P,由數(shù)乘向量定義及

向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)人使得麗=癡.

【微點(diǎn)撥】利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧

(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量

轉(zhuǎn)化為已知向量.

(2)明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì).

【即學(xué)即練5】如圖，已知平行六面體—，E,F分別是棱G2，Bg的中點(diǎn)，記

AB-a,AD=b,AAi=c,則EF=（）

A.EF=—a+B+cB.EF^-a+b+-c

222

一1-一1一一1一一1一

C.EF=-a—b----cD.EF=----a+h+—c

2222

【答案】C

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】EF=Eq+qF=^AB+C^+B^F

故選：C

【即學(xué)即練6】設(shè)?是空間兩個(gè)不共線的向量，已知%分沅=51+4]，DC=-^-2^,

且A,B,。三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)上=

【答案】1

UUU1UUU

【分析】先根據(jù)點(diǎn)共線得到向量共線AD=；LA5,再利用向量的線性運(yùn)算列方程求解即得結(jié)果.

【詳解】依題意，麗=1+2耳\

故AD-AB+BC+CD=(q+ZeJ+(5q+4e,)+(q+2e,)=7q+(%+6)e2，

A,8,D三點(diǎn)共線，可設(shè)明=九淺，則7q+儀+6應(yīng)=幾（弓+加2），

[7=2

所以《"6=放解得E故答案為」

知識(shí)點(diǎn)04向量共面問題

共面向量：

（1）定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量.

（2）共面向量定理：若兩個(gè)向量a,b不共線，則向量P與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)?/p>

數(shù)對（x,y）,使p=xa+vb.

（3）空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對（x,y）,使Q=x而+），/或?qū)臻g任意

一點(diǎn)O，^OP=OA+xAB+yAC.

【微點(diǎn)撥】證明空間三點(diǎn)共線的三種思路：

對于空間三點(diǎn)P,A,B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線.

（1）存在實(shí)數(shù)2,使西=2而成立.

（2）對空間任一點(diǎn)O,有而=礪+/而QGR）.

（3）對空間任一點(diǎn)O,有而=x35+y麗（x+y=l）.

解決向量共面的策略：

（1）若已知點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)，則有/=》而+），/或而=x35+y而+z反，x+y+z=l,

然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù).

（2）證明三個(gè)向量共面或四點(diǎn)共面，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將

其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來表示.

【即學(xué)即練7】下列條件中，使點(diǎn)尸與A,8,C三點(diǎn)一定共面的是()

—■1―-2—■—■1--1—.1—.

A.PC=-PA+-PBB.OP=-OA+-OB+-OC

33333

________________UllUUULUlllUUIU1

c.OP=OA+OB+OCD.OP+OA+OB+OC=0

【答案】AB

【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件，若A,B,C,P四點(diǎn)共面

UUUULIUHUUUUU1UUUUUIU

oPC=xPA+yPB(x+y=1)。OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),對選項(xiàng)逐一分析，即可

得到答案.

［詳解］對于A：VOC-OP^^(OA-OP)+^OB-OP),

_____i__i__2_?2_.2_?i____i__2_.__.

OC-OP=-OA——OP+-OB——OP,；.-OP+-OP-OP=-OA+-OB-OC=0,

33333333

--1一2—

故0C=-Q4+—QB,故A、B、C共線，故P、A、8、C共面；

33

—.1—.?—■—.

或由=+得：PA，PB，而為共面向量，故P、A、B、。共面；

對于B：—I1—=1,故尸、A、B、C共面；

333

對于C：由而=礪+礪+反，1+1+1=3。1,所以點(diǎn)PhiA、B、C三點(diǎn)不共面.

UUUUUULUUUtl1UUUULUUllUUUU

對于D：由OP+QA+OB+OC=0，得0P=—QA—06—OC，而一1—1—1=—3。1，所以點(diǎn)尸與A、

B、。三點(diǎn)不共面.故選：AB.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查四點(diǎn)共面的條件，解題的關(guān)鍵是熟悉四點(diǎn)A,B,C,P共面的充要條件

ULBlUUUliUUUUU1UUUUUIU

PC=xPA+yPB(x+y=1)=OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)，考查學(xué)生的推理能力與

轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

知識(shí)點(diǎn)05空間向量數(shù)量積的運(yùn)算

空間向量的數(shù)量積：

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量〃，b,則|a||b|cos〈a,b)叫做力的數(shù)量積，記作〃也即。心=同網(wǎng)醒(a,

b}.

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為。.

（2）常用結(jié)論（a,b為非零向量）

①aJ_b.

@a-a=|a||a|cos〈a,a〉二城.

a*h

=

③cos〈a,b}\一a\1\1b.\1.

（3）數(shù)量積的運(yùn)算律

數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律Ua)b=X(ab)=a(Xb)

交換律ab—ba

分配律a(b+c)=ab+ac

【微點(diǎn)撥】在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟：

（1）首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.

（2）利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.

（3）根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.

（4）代入公式ab=|a||例cos〈a,b）求解.

【即學(xué)即練8】三棱錐A-BCD中，AB=AC=AD=2,ZBAD=90°,NBAC=60。，則血.而等于（）

A.-2B.2C.-273D.2G

【答案】A

【詳解】試題分析：

CD=AD-ACABCD==ABAD-ABAC=0-2x2xcos60。=-2

知識(shí)點(diǎn)06垂直問題、夾角問題、距離問題

當(dāng)）J.）時(shí)，:$=（）.夾角公式：cos^=jfll^l

a=（x,y），向量的模：向=4一=舊+y'

【微點(diǎn)撥】用向量法證明垂直關(guān)系的步驟

（1）把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

（2）用已知向量表示所證向量；

（3）結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0：

（4）將向量問題回歸到幾何問題.

利用向量數(shù)量積求夾角問題的思路

（1）求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向

a*b

量夾角的范圍；②先求。彷，再利用公式cos{a,b）=?求出cos〈a,b）的值，最后確定〈a,b）的

值.

（2）求兩條異面直線所成的角，步驟如下：

①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量（即直線的方向向量）：

②將異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題；

③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大??；

④異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值時(shí)應(yīng)將余弦值加上絕對值，從而

求出異面直線所成的角的大小.

求兩點(diǎn)間的距離或線段長的方法

（1）將相應(yīng)線段用向量表示，通過向量運(yùn)算來求對應(yīng)向量的模.

（2）因?yàn)閍a=|a|2,所以|q|=d，這是利用向量解決距離問題的基本公式.另外，該公式還可以推廣

為|a±b|=±=yla2±2a-h+h2.

（3）可用"e|=|a||cosq（e為單位向量，。為a,e的夾角）來求一個(gè)向量在另一個(gè)向量所在直線上的投影.

【即學(xué)即練9】如圖所示，已知P是AABC所在平面外一點(diǎn)，PA_LPC,P8_LPC,P4_LPB,求證：在

平面ABC上的射影〃是A4BC的垂心.

p

B

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得數(shù)量積為0,進(jìn)而得麗,平面P8C,可得加.前=0,得AH_L5C,同理

可證8"，AC,CHLAB從而得證.

【詳解】

???PA1PC,PB1PC,PA±PB,

uuuuu________

?,?PAPC=0，PBPC=0,PAPB=0，PA_L平面PBC，

PABC=Q-

由題意可知，PH_L平面ABC,

???PHBC=Q^PHAB=Q>P/7AC=0-

AHBC=（PH-PA）BC=PHBC-PABC=Q,

：.AH±BC.

同理可證5"，AC,CH±AB.

，”是AABC的垂心.

【即學(xué)即練10】如圖，在空間四邊形O4BC中，0A=8,AB=6,4c=4,BC=5,N。4c=45。，NOAB

=60°,求異面直線OA與8c的夾角的余弦值.

_3-2\/2

【r答案］±__2_

5

【解析】

【分析】由前^一而求出次.配，再由cos(OA,BC)=

RFI求解即可.

【詳解】,BC=AC-AB

.?.礪?=礪./一礪.而=囪.“際(弧叼_1叫網(wǎng)cos(兩硝

=8x4xcosl350-8x6xcosl20°=24-16\/2

OABC24-16a3-2>/2

cos(OA,Bc'j

網(wǎng)園8x55

???異面直線0A4BC的夾角的余弦值為3-2夜

5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用向量的減法運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算得出礪.耳心，進(jìn)而求出異面

直線0A與8C的夾角的余弦值.

【即學(xué)即練11】

如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=4C=l,N4CD=90。,將△ACO沿對角線AC折起，使AB與CO成60。角，

求B,。間的距離.

【答案】2或五

【分析】由題意先得到詼=麗+就+麗，然后兩邊平方根據(jù)數(shù)量積可得|麗F,進(jìn)而可得|麗|,即為

所求的兩點(diǎn)間的距離.

【詳解】；NACD=90。，

ACCD=Q同理而?麗=()?

,/在三棱錐A-BCD中，48與CO成60。角，

：.<BA,CD>=60°或<BA,CD>=\20°.

又麗=麗+/+彷

I2?J2IJ2IJ2----------------------/—\

?［叫=B￡）B￡）=|BA|+|AC|+|C￡＞|+23A.AC+2BA.CO+2AC.C3=3+2X1X1X（8A?C￡）＞.

當(dāng)＜麗,而＞=60。時(shí)，|麗『=4；

當(dāng)＜麗,而＞=120°時(shí)，|麗（=2.

二|而|=2或|而|份|,即B,D間的距離為2或應(yīng).

【點(diǎn)睛】在空間中，求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長度時(shí)，一般用向量的模來解決，通過向量數(shù)量積的運(yùn)算

可得所求結(jié)果.在本題中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是誤認(rèn)為麗，麗的夾角為60°，而忽視另?種情形，解題時(shí)一定

要分清兩直線的夾角和向量夾角的關(guān)系.

考法01

【典例1】

給出下列命題：

①零向量沒有確定的方向；

②在正方體ABOAiBCQi中，/=京；

③若向量￡與向量坂的模相等，則￡，坂的方向相同或相反；

④在四邊形4BCC中，必有而+而=/.

其中正確命題的序號(hào)是.

【答案】①②

【分析】根據(jù)零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判斷.

【詳解】

①正確；②正確，因?yàn)槎c葩■的大小和方向均相同：③w=w，不能確定其方向，所以￡與坂的方向

不能確定；④只有當(dāng)四邊形ABCO是平行四邊形時(shí)，才有通+而=/.綜上可知，正確命題為①②.

故答案為:①②

考法02

【典例2】如圖所示，在三棱柱ABC-AUG中，M是3g的中點(diǎn)，化簡下列各式:

c

(1)AB+B\；

(2)AB+ByCy+C|C；

(3)AM-BM-CBi

(4)-AA^+AB-AM.

【答案】(1)AB+BA,=A4j*；(2)+QC=4C：(3)AM-BM-CB=AC'(4)

g麗+麗—麗=o.

【分析】

(1)利用向量加法的三角形法則即可求解.

(2)由通=4瓦，利用向量加法的三角形法則即可求解.

(3)利用向量減法的運(yùn)算法則即可求解.

(4)利用向量加法、減法的運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】

(1)AB+BAi=A4,.

(2)AB+BtC}+C,C=^4,5,+B,C]+CIC=A^C-

(3)AM-BM-CB^AM+MB+BC^AC-

(4)^A4^+AB-AM=BA7+AB+M4=AB+W+M4=6.

考法03

【典例3】已知忖=13,忖=19,卜+囚=24,則,一0=.

【答案】22

【分析】先由歸+1的平方求出￡石，再求1一8的平方.

rr2r2rrr2,r|2rr,r|2rr,

【詳解】因?yàn)閍+Z?=a+2a-h+h=4+2a-b+\b\=132+2?-Z?+192=242,

iirr2r2rrr2rr

所以2a力=46,4一人=a—2a-b+b=13?—46+19?=484,故a-b=22?

故答案為：22

【典例4】（多選題）在四面體P—ABC中，以上說法正確的有（）

----1-------2—

A.若A￡）=§AC+§A5,則可知臺(tái)心=38萬

B.若。為AABC的重心，則所=g而+；麗+；無

c.若P4?BC=O，PC-A月=0，則p與必6=0

D.若四面體P-A3C各棱長都為2,M,N分別為PABC的中點(diǎn)，則|麗|=1

【答案】ABC

【分析】作出四面體P-A5C直觀圖，在每個(gè)三角形中利用向量的線性運(yùn)算可得.

【詳解】

―,1__2—._._._k_._.______,___

對于A,?：AD^-AC+-AB,.-.3AD^AC+2AB<:.2AD-2AB^AC-AD，:.2BD=DC，

，3麗=麗+反=而即..3麗=元，故A正確；

對于B，?.?。為AABC的重心，則逾+/+0心=6,

:.3PQ+QA+QB+QC=3PQ:.(PQ+QA)+(PQ+QB)+(PQ+QC)=3PQ,

:.PA+PB+PC=3PQ

即故8正確；

333

對于C，若麗?比=0，PC.AB=0>W'JPA.BC+PC.AB=0-

PA?BC+PC^AC+CB)=0..-,P/i.BC+PC?AC+PC?CB=0

PA?BC+PC?AC-PC?BC=0-A(PA-PC)>BC+PC.AC=0

CA.BC+PC?AC=0，AC-CB+PC?AC=0

AC?(PC+CB)=0,AC*PB=Q'故C正確；

對于O，：.MN=PN-PM=-(PB+PC)--PA=-(PB+PC-PA)

222

.-.\MN\=^\PB+PC-P^=^\PA-PB-PC\

■.■^PA-PB-PC^yJP^+PB'+PC2-2PA^PB-2PA.PC+2PC.PB

J22+22+22-2x2x2x--2x2x2x-+2x2x2x-^2y[2

V222

?J麗|=拒，故。錯(cuò)誤.故選：ABC

【點(diǎn)睛】

用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始

點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

考法04

【典例5】如圖，己知E,F,G,”分別是空間四邊形ABC。的邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，用向量方法

證明:

A

（DE,F,G,"四點(diǎn)共面；

（2）B￡>//平面EFG”.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】

（1）由共面向量定理得證.

（2）用線面平行的判定定理證明.

【詳解】

證明：（1）如圖所示，連接BG,

uuu____._.1___._.__.___.___

則nlEG=EB+BG=EB+—（BC+BD）=EB+BF+EH=EF+EH'

由共面向量定理知，E,F,G,H四點(diǎn)共面.

11-.1____1——

（2）因?yàn)椤?/-AHAE--^D-AB=—（AD-AB）--BD,

乙乙乙乙

且E,H,B,￡>四點(diǎn)不共線，所以EH〃BD.

又EHu平面EFGH,8OC平面EFGH,所以80〃平面EFG”.

如圖所示，已知斜三棱柱—點(diǎn)M，N分別在AG和BC匕且滿足?=%相,

BN=kBC（0^1）,判斷向量麗是否與向量而，共面.

【答案】向量麗與向量而，福共面.

【分析】

由麗=麗一次，再分別將麗，㈤/表示為麗=(1-%)通+%配，AM=k(A^+AC),最后用共

面向量定理可判斷.

【詳解】

■.■AN=AB+BN=AB+kW-AB+k(AC-AB)=O-k)AB+kAC.

AM=kAC[=k(A\+AC),

~MN=AN-AM=(\-k)AB-kAA^,

，由共面向量定理知向量麗與向量而，羽共面.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.在下列結(jié)論中：

①若向量?共線，則向量￡出所在的直線平行；

②若向量￡4所在的直線為異面直線，則向量￡出一定不共面；

③若三個(gè)向量c兩兩共面，則向量a,c共面；

④已知空間的三個(gè)向量),力[,則對于空間的任意一個(gè)向量方總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得

UIVVI

p-xa+yb+zc-其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)向量共線的概念、異面直線的概念及空間向量的基本定理逐一判斷.

【詳解】平行向量就是共線向量，它們的方向相同或相反，未必在同一條直線上，故①錯(cuò).

兩條異面直線的方向向量可通過平移使得它們在同一平面內(nèi)，故②錯(cuò).

三個(gè)向量兩兩共面，這三個(gè)向量未必共面，如三棱錐P-ABC中，兩，方,定兩兩共面，但它們不是共

面向量，故③錯(cuò).

根據(jù)空間向量基本定理，忑需不共面才成立，故④錯(cuò).

故選:A.

—3—1—1—

2.已知。為空間任意一點(diǎn)，若。P==04+-08+-OC,則ARC,P四點(diǎn)（）

488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷

【答案】B

【分析】由空間向量共面定理的推論可得，若麗=。礪+心而+。反，滿足a+b+c=l,則

四點(diǎn)共面可判斷.

【詳解】由空間向量共面定理的推論若麗礪+人而+c反，滿足。+匕+。=1，則A,8,C,P四點(diǎn)共

—3—1—1—31I

面，VOP=-OA+-OB+-OC,而己+—+—=1,故A,B,C,P四點(diǎn)共面.故選：B.

488488

3.已知:與］不共線，則存在兩個(gè)非零常數(shù)加，n,使%是7，）,［共面的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理及充分條件、必要條件的概念判斷.

【詳解】若i與］不共線，根據(jù)平面向量的基本定理，則存在兩個(gè)非零常數(shù)機(jī)、〃，使/=/+〃），所

以1與；，7共面；

若存在兩個(gè)常數(shù)“2,"，使％=加+，"2,〃不--定非零.故選:A.

4.如圖所示，在平行六面體ABCD-AiBiGDi中,E,F,G,H,P,0分別是4A,AB,BC,CCi,C\D\,

A-EF+GH+PQ=OB-EF-GH-PQ=O

c-EF+GH-PQ=QD-EF-GH+PQ=Q

【答案】A

【分析】通過相等向量進(jìn)行平移，將游，國，歷平移后可以首尾相接，最后得出結(jié)果即可.

【詳解】由題圖觀察，￡工質(zhì),%平移后可以首尾相接，故有￡>+國+%=人

故選：A.

5..如圖，在平行六面體A8C￡>-AbC77中，設(shè)A?=Z，AD~b<AA=c>則下列與向量H忑相等的

A.—a+b+cB.—a—b+cC.a-b-cD.a+b—c

【答案】D

【分析】利用空間向量的運(yùn)算求解即可.

【詳解】在平行六面體ABCQ-AbCTT中，Xc-XA+AB+^C-a+b-cD.

rr

6.己知非零向量￡石不平行，且。=匕，則￡+5與￡-5之間的關(guān)系是()

A.垂直B.同向共線C.反向共線D.以上都可能

【答案】A

【分析】作￡+5與方-6的數(shù)量積即可.

【詳解】因?yàn)?Z+B)?伍一耳=7-7=停用2=0,所以￡+」與力垂直.故選:A

7.已知向量3，B是平面a內(nèi)兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量￡在直線/上，則￡."=()，且=2=0是

11a的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)定理，若L平面a,則有7"=0,bc=O>若。〃力，則反之不對.

【詳解】若/_1_平面a,則c_La，c_LZ?，所以a-c=O，be=0<

反之，若74,則"J_Z，clb'并不能保證/J■平面a.

故選：B

8.若向量而垂直于向量￡和坂，向量〃=+eR,辦wO）,則（）

A.m//nB.mlnC.加i既不平行也不垂直D.以上三種情況都可能

【答案】B

【分析】由條件可以得到而工=0，即可選出答案.

【詳解】因?yàn)闄C(jī)?〃=機(jī)?（幾”+悶=強(qiáng)/+〃，"=0,所以而J.3.故選：B

題組B能力提升練

i.（多選）設(shè)2瓦）是任意的非零向量，且它們相互不共線，下列命題正確的是（）

—?—?—?——?-?I—*I/—?—?

A.（a-b）c-（c-a）b=0B.\a\=\ja-a

c.ab=i"aD.函+2分（312W=9p1-4同

【答案】BD

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷.

【詳解】因?yàn)閿?shù)量積不滿足結(jié)合律，故A不正確；由數(shù)量積的性質(zhì)可知B正確，C中結(jié)論不一定成立，D

運(yùn)算正確.故選：BD.

UUU

2.在平行六面體ABC。-AgGA中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為4G的是（）

A.麗-淚+南，B.AB+BC+CQ

C.AB-QC+B^D.羽+加+瓦，

【答案】BCD

【分析】利用向量加法、減法以及向量的可平移性逐項(xiàng)進(jìn)行化簡計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】如圖所示:

A.隨一^■+南=涵+礪+南=防+宿=*工離，故錯(cuò)誤;

B.AB+BC+CCt=AC+CCt=ACX,故正確；

c.AB-qc+^q=A8+cq+^q=Aq.故正確:

D.麗+方+航=羽+犧+瓦C=西"，故正確.

故選：BCD.

3.若工友工是空間任意三個(gè)向量，A&R,下列關(guān)系中，不想妥的是（）

A.\a+b\=\b-a\B.(a+b)-c-a-(b+c)

C.A(a+b)=Aa+AbD.b-Aa

【答案】ABD

【分析】根據(jù)空間向量加法法則、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量數(shù)乘法則和共線向量定理分別判斷各選項(xiàng).

【詳解】由向量加法的平行四邊形法則，只有即GZ=o時(shí)，都有|￡+刈=Z-￡|,A不成立;

由數(shù)量積的運(yùn)算律有（a+l>c=a-c+9c,a（b+c）=a-b+ac,與石i不一定相等，B不成立;

向量數(shù)乘法則，C一定成立;

只有￡石共線且時(shí)，才存在2,使得5=義￡，D這成立.

故選：ABD.

4.（多選）若4,4C不共面，則（)

A.B+c,B-c,a共面B.B+c,B-c,2B共面

C.B+CMM+B+C共面D.a+c,a-2c,c共面

【答案】BCD

【分析】根據(jù)空間向量基本定理逐-判斷是否共面即可.

【詳解】

；=(B+c)+(B-c)，,5+c,5-。,2石共面，故B正確;

a+B+c=(B+c)+a,二B+c,a,a+B+c'共面，故C正確;

?；a+c=(a-2c)+3c，，a+c,a-2c,c共面，故D正確.

A=1

對于A選項(xiàng)，若設(shè)B+c=X(B—c)+〃a,則B+—4c+〃a得"-%=1,故無解，因此B+c,B-c,a不

〃二0

共面.故選：BCD.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的基本定理.

5.給出下列命題：

①若|初=|5|,則〃=方或萬=—5；

②若向量G是向量5的相反向量，則|磯=|5|；

③在正方體ABCD-ALBICQI中，；

④若空間向量疣,“，萬滿足應(yīng)=五，萬="，則成=萬.

其中正確命題的序號(hào)是.

【答案】②③④

【分析】根據(jù)向量模長、相反向量、相等向量的定義判斷即可.

【詳解】對于①，向量M與5的方向不一定相同或相反，故①錯(cuò)；

對于②，根據(jù)相反向量的定義知|團(tuán)=出|，故②正確；

對于③，根據(jù)相等向量的定義知，*=而|,故③正確；

對于④，根據(jù)相等向量的定義知④正確.

故答案為：②③④

6.如圖所示，在平行六面體ABC。-44GA中，4Gnqa=/，若赤=》通+）；亞+Z麗，則

x+y+z=.

【答案】2

【分析】題中兒何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

存=血+甌+即=題+甌+g麗，再將麗轉(zhuǎn)化為而，以及將麗轉(zhuǎn)化為通，甌=甌,總

—1

之等式右邊為入分，AD-AA,從而得出x=y=5，z=l

【詳解】

因?yàn)槎?礪+函+所=通+西

=通+甌+g（硒一曬）

一一1一1一

=AB+BB+-AD——AB

t122

1一1一一

=-AB+-AD+AA.,

22"

又通=1通+通+zR，

所以x=y=2，z=l，

則x+y+z=2.故答案為：2.

【點(diǎn)睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將麗=x通+而+zZ4i作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得解.

7.已知耳，耳,用是空間單位向量，e,-e2=e2-e3=e3-et=,若空間向量萬滿足不=工4+y&(x,ye7?),

同=2,貝麗閭的最大值是.

【答案】空

3

【分析】由區(qū)『=4可構(gòu)造出符合基本不等式的形式，求得(x+y)2的范圍；根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得

展&=；(x+y),利用(x+y)2的范圍可求得所求最大值.

222222

［詳解］..?同=|喝+,司=2，.二同2=x?1+2xye1-e2+ye^=x+y=(x+y)-xy=4,

顯然，當(dāng)孫>0時(shí)，(％+y)2最大；

z、2］6

當(dāng)x>0,y>0時(shí)，個(gè)=(x+y)2—4￡立工(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào))，.?.(x+y)2

k2Ji

當(dāng)X<0，,<0時(shí)，肛=(_x)(_y)=(x+y)2_4〈(z^l2)=("；)')(當(dāng)且僅當(dāng)T=一"，即X=。

時(shí)取等號(hào))，4可；

)1A

綜上所述：(X+>)一<不;

a-e3=(x?+ye2)-e3=xet-e3+ye2-e3=—(x+y),

；.|萬閭=gk+y|=gJ(x+?455，閭的最大值為2,，

2百

故答案為:

亍

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量模長的相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用平方運(yùn)算將模長轉(zhuǎn)化為

數(shù)量積運(yùn)算的形式，結(jié)合基本不等式求得最值.

uum2uuur

8.如圖，四面體ABC。中，M、N分別是線段3C、的中點(diǎn)，已知AG=—AM,

3

(1)NM=-(NB+NC)；

2

(2)NM=DB+-AC；

2

(3)NG=^NA+NB+NC)；

(4)存在實(shí)數(shù)x,y,使得布=》而+丁反.

則其中正確的結(jié)論是.（把你認(rèn)為是正確的所有結(jié)論的序號(hào)都填上）.

【答案】（1）（3）

【分析】

（1）由于M是線段3C的中點(diǎn)，可得利=!（而+近）；

2

（2）取的中點(diǎn)E，連接EN,EM.而府=庵+百/=!恁+,麗，即可判斷出；

22

（3）利用初=+而4=g祝5=（（福一兩），及（1）即可得出；

UUU2UULT

（4）由于〃、N分別是線段3C、AO的中點(diǎn)，AG=-AM,可得NG與平面OBC不平行，得出不

存在實(shí)數(shù)x,使得標(biāo)=x而+y反.

【詳解】

解：（1）是線段BC的中點(diǎn)，，麗=工麗+祝）,正確:

2

（2）取CD的中點(diǎn)E，連接EN,EM.則兩=詬+兩=’部+!而，因此不正確;

22

（3）

=W+MG=W+1M4=W'+|（M4-W）

=|xg（循+配）+；麗=；（而+配+福），因此正確；

UUH7uum-

（4）?.?M、N分別是線段8C、A。的中點(diǎn)，AG^-AM,

.?.NG與平面D8C不平行，

二不存在實(shí)數(shù)%,丫，使得而=*麗+丫反.

綜上可得：只有（1）（3）正確.

故答案為：（1）（3）.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.已知空間四邊形0ABe中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且0A=0B=0C,M,N分別是04,BC的中點(diǎn),