數(shù)學(xué)同步測(cè)控：對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測(cè)控我夯基,我達(dá)標(biāo)1。當(dāng)a＞1時(shí),在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=a-x與y=logax的圖象是()圖3-2-3解析:首先把y=a—x化為y=（）x，∵a＞1,∴0＜＜1。因此y=（）x，即y=a—x的圖象是下降的，y=logax的圖象是上升的。答案:A2.已知0＜x＜y＜a＜1，則有()A.loga（xy）＜0B。0＜loga（xy)＜1C.1＜loga（xy）＜2D.loga（xy）＞2解析：∵0＜x＜a＜1,∴l(xiāng)ogax＞logaa=1。又0＜y＜a＜1，∴l(xiāng)ogay＞logaa=1?！鄉(xiāng)ogax+logay=loga（xy)＞2。答案:D3。若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋郏?]，則函數(shù)y=f（log2x）的定義域?yàn)?)A.［-1，1]B.［，2］C.［1,2］D.［，4］解析:由題意得≤log2x≤2，即log2≤log2x≤log24.解得≤x≤4。答案：D4.若定義在（—1，0）上的函數(shù)f（x)=log2aA。(0，)B.(0,］C.(，+∞)D。（0，+∞）解析:當(dāng)x∈(—1,0）時(shí)，有x+1∈(0,1），此時(shí)要滿足f（x）〉0，只要0<2a〈1即可.由此解得0〈a<.答案：A5。函數(shù)y=loga（x—2)+1（a＞0且a≠1）恒過(guò)定點(diǎn)________。解析:若x—2=1，則不論a為何值，只要a＞0且a≠1,都有y=1.答案：（3，1)6.函數(shù)f（x）=log(a—1）x是減函數(shù)，則a的取值范圍是_________。解析：注意到a—1既受a-1＞0且a—1≠1的制約，又受減函數(shù)的約束，由此可列關(guān)于a的不等式求a.由題意知0＜a-1＜1，∴1＜a＜2.答案:1＜a＜27。求下列函數(shù)的定義域：(1）y=;(2)y=；（3）y=（a〉0，a≠1)。分析:解決有關(guān)函數(shù)求定義域的問(wèn)題時(shí)可以從以下幾個(gè)方面考慮，列出相應(yīng)不等式或不等式組，解之即可。（1)若函數(shù)解析式中含有分母,則分母不等于0；(2)若函數(shù)解析式中含有根號(hào),要注意偶次根號(hào)下非負(fù)；（3）0的0次冪沒(méi)有意義;（4）若函數(shù)解析式中含有對(duì)數(shù)式,要注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0。求函數(shù)的定義域的本質(zhì)是解不等式或不等式組.解:（1)由32x—1≥0,得32x-1≥3-3.∴2x—1≥-3.∴x≥—1?！嗪瘮?shù)的定義域?yàn)閇-1，+∞）.（2)由0≤x〈1.∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?,1)。(3）由得①當(dāng)a>1時(shí)，—a<-1，由①，得x+a〈a.∴x<0.∴定義域?yàn)椋?a,0).當(dāng)0<a<1時(shí),-1〈—a〈0.由①，得x+a〉a.∴x〉0.∴定義域?yàn)?0,+∞）.故所求定義域是:當(dāng)0<a<1時(shí)，x∈(0，+∞)；當(dāng)a〉1時(shí),x∈(—a，0).8.已知f(x）=1+logx3，g（x）=2logx2，試比較f（x）與g（x)的大小。分析:要比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，通常采取作差法或作商法,作差時(shí)，所得差同零比較，作商時(shí)，應(yīng)先分清代數(shù)式的正負(fù),再將商同“1"比較大小。因?yàn)楸绢}中的f（x)與g（x)的正負(fù)不確定，所以采取作差比較法。解：f（x)和g(x）的定義域都是（0，1）∪（1，+∞）.f（x）-g(x）=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx.（1）當(dāng)0＜x＜1時(shí),0＜x＜<1.此時(shí)logxx＞0，即0＜x＜1時(shí)，f(x）＞g（x).（2)當(dāng)x＞1時(shí),若x＞1，即x＞,此時(shí)logxx＞0，即x＞時(shí)，f（x)＞g（x）;若x=1,即x=,此時(shí)logxx=0,即x=時(shí)，f（x）=g（x）;若0＜x＜1，即0＜x＜，此時(shí)logxx＜0，即1＜x＜時(shí)，f（x）＜g（x）.綜上所述，當(dāng)x∈(0，1）∪(，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x）；當(dāng)x=時(shí)，f（x）=g(x）；當(dāng)x∈（1，）時(shí)，f（x）＜g（x）。我綜合,我發(fā)展9。已知函數(shù)f（x）=log2（x2—ax+3a）在［2，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(）A.（—∞,4）B。（-4，4］C。(-∞，—4）∪［2，+∞)D.[—4，4)解析：解決復(fù)合函數(shù)問(wèn)題的通法是把復(fù)合函數(shù)化歸為基本初等函數(shù).令u（x)=x2—ax+3a，其對(duì)稱軸為x=。由題意有解得-4〈a≤4。答案：B10.函數(shù)y=lg的圖象大致是(）圖3—2—4解析：本題通法有兩種：①圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的，點(diǎn)構(gòu)成函數(shù)的圖象,所以可取特殊點(diǎn)（2，0）、（，1）;②利用函數(shù)解析式判斷函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），在定義域上函數(shù)為減函數(shù)。答案：A11。若函數(shù)f(x）=logax（0<a〈1）在區(qū)間［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，則a等于（)A。B。C.D.解析：本題關(guān)鍵是利用f(x)的單調(diào)性確定f（x）在[a,2a］上的最大值與最小值。f（x）=logax（0〈a<1）在(0，+∞)上是減函數(shù)，當(dāng)x∈[a,2a］時(shí)，f(x)max=f（a）=1，f(x)min=f(2a）=loga2a.根據(jù)題意,得3loga2a=1，即loga2a=,所以loga2+1=，即loga2=。故由a=2，得a=2=。答案:A12.（2006福建高考，理8）函數(shù)y=log2（x>1）的反函數(shù)是（)A.y=(x>0）B.y=（x<0）C.y=（x〉0)D。y=(x<0）解析：將對(duì)數(shù)式換成指數(shù)式,得2y=(x>1)x=〉12y>1y〉0，故所求的反函數(shù)為y=（x>0）。答案:A13.loga〈1，則a的取值范圍是________。解析：當(dāng)a>1時(shí)，loga〈1=logaa.∴a〉。又a>1，∴a>1。當(dāng)0〈a〈1時(shí)，loga<1=logaa?！郺〈。又0<a<1，∴0〈a<.答案：（0，）∪（1，+∞)14。函數(shù)f（x）=loga(a>0且a≠1)，f(2)=3，則f（—2）的值為__________.解析：∵f（—x）=loga=—loga=—f（x).∴函數(shù)為奇函數(shù).∴f（-2）=—f（2）=-3。答案：-315.求函數(shù)f(x）=log2+log2（x—1）+log2（p—x）的值域.分析:求函數(shù)值域，必須先求定義域，求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化為解不等式組。解：f(x）的定義域?yàn)椤唷唷吆瘮?shù)定義域不能是空集，∴p＞1，定義域?yàn)椋?，p）.而x∈(1，p）時(shí)，f（x）=log2（x+1）（p-x）=log2[—x2+（p—1)x+p］=log2［—(x)2+（）2］。（1）當(dāng)0＜≤1，即1＜p≤3時(shí)，0＜（x+1）(p-x）＜2（p—1）。∴f（x)的值域?yàn)椋ā?，log22（p-1）)。（2）當(dāng)1＜＜p,即p＞3時(shí)，0＜（x+1）(p—x）≤（)2?！嗪瘮?shù)f(x）的值域?yàn)椋?∞,2log2(p+1)—2］。16.已知f(x）=lg（ax-bx）（a>1〉b〉0）.（1）求y=f（x）的定義域；(2)在函數(shù)圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使過(guò)兩點(diǎn)的直線平行于x軸。分析:對(duì)于（2)的判斷可借助函數(shù)圖象，思維難點(diǎn)是把問(wèn)題化歸為研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題。解：(1）由ax—bx>0,得（）x〉1=（）0.∵〉1,∴x〉0?！嗪瘮?shù)的定義域?yàn)?0，+∞）.（2）先證明f（x)是增函數(shù)。對(duì)于任意x1〉x2>0，∵a〉1>b>0，∴a〉a，b<b.∴a-b〉a—b.∴l(xiāng)g（a—b）〉lg（a-b）.∴f（x1）>f（x2）。∴f(x)在（0，+∞）上為增函數(shù)。假設(shè)y=f（x）的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2)，使直線AB平行于x軸，則x1≠x2，y1=y2,這與f（x）是增函數(shù)矛盾?！鄖=f(x）的圖象上不存在兩點(diǎn)，使過(guò)這兩點(diǎn)的直線平行于x軸.我創(chuàng)新，我超越17。已知函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=ax(a〉0且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,記g(x)=f（x）［f（x)+f（2）-1］。若y=g（x)在區(qū)間［,2］上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(）A。［2,+∞)B。（0，1）∪(1，2）C。［，1）D。(0，］解析:∵y=f（x)的圖象與y=ax的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,∴f（x）=logax（x>0）.g(x)=f（x）［f（x)+f（2)-1］=f2(x)+f（x）loga。令f（x）=t.因?yàn)間(x)在［，2］上單調(diào)遞增,①當(dāng)a〉1時(shí),f（x）單調(diào)遞增,t∈［loga,loga2］，g（t)=t2+loga·t，則loga≥loga滿足題意。解得a∈.②當(dāng)0〈a<1時(shí),f（x）單調(diào)遞減，t∈［loga2,loga］，g（t)=t2+loga·t,則loga≤loga滿足題意.解得a∈（0，］.綜合①②可得a∈（0,]。答案：D18。已知函數(shù)f（x）=（)x的圖象與函數(shù)g（x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，令h（x）=g(1—|x|），則關(guān)于h（x）有下列命題：（1）h（x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;（2）h(x)為偶函數(shù)；(3）h(x)的最小值為0；（4）h(x)在(0,1）上為減函數(shù).其中正確命題的序號(hào)為_______.（將你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）解析：根據(jù)題意,得g(x）=logx,∴h（x)=g(1—|x|)=log（1-｜x｜)（—1<x<1）.∴h(x）是偶函數(shù)，h（x）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∴（1）不正確；(2）正確。∵h(yuǎn)（x）=log（1—｜x|)≥log1=0，∴（3）正確.∵u=1—|x|在(0,1）上為減函數(shù),h(x）=logu為減函數(shù),∴f（x)為增函數(shù)?！啵?)不正確.答案：(2)(3）19.已知函數(shù)f(x)=ln（ax-kbx)(k>0，a〉1>b〉0)的定義域?yàn)?0，+∞），是否存在這樣的a、b，使得f(x）恰在（1,+∞）上取正值，且f（3）=ln4？若存在,試求出a、b的值，若不存在，試說(shuō)明理由。分析：對(duì)于探索性問(wèn)題中的存在性問(wèn)題，往往是先假設(shè)存在符合題設(shè)的條件，然后綜合運(yùn)用已知條件和數(shù)學(xué)思想方法步步推導(dǎo)，直到找出與題中的條件、定理、公理相符或矛盾的結(jié)果,從而得出上述假設(shè)肯定或否定的結(jié)論。解:∵f(x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴不等式ax-kbx〉0的解集為（0，+∞），該不等式化為（）x〉k?！卟坏仁降慕饧癁?0，+∞），∴k=1.從而f(x）=ln（ax-bx)。若存在滿足題設(shè)的a、b，則f（3)=ln（a3-b3)=ln4。ln（ax-bx)>0對(duì)一切x＞1恒成立,易證得f（x）在（1，+∞)上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＞1時(shí)，f(x）＞f（1），又f(x）＞0恰在（1，+∞）上成立，即ln（a—b）=0,∴a-b=1.①又f（3）=ln（a3-b3)=ln4，∴a3—b3=4。②由①②組成方程組，并注意到a〉1>b>0，解得a=，b=。故存在滿足題設(shè)中的a、b。20.已知函數(shù)f（x)=loga［（—2）x+1]在區(qū)間[1,2］上恒為正，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析:f（x)是對(duì)數(shù)函數(shù),g（x）為一次函數(shù)，影響對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的參數(shù)是底數(shù)a，影響一次