數(shù)學同步測控：函數(shù)的奇偶性用計算機作函數(shù)的圖象

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基，我達標1。已知y=f(x)是偶函數(shù),且圖象與x軸有四個交點，則方程f(x)=0的所有實根之和是（）A.4B。2C.1解析：因為f（x）是偶函數(shù)且圖象與x軸有四個交點，這四個交點每兩個關于原點一定是對稱的，故x1+x2+x3+x4=0。答案：D2。已知函數(shù)f（x）(x∈R），滿足f(-x）=f(x),則下列各點中必在函數(shù)y=f(x)圖象上的是()A。（-a,f（a）)B.(—a,—f（a))C。(—a，-f(-a))D。(a，-f(a）)解析：∵f（—x）=f(x）,∴f（—a)=f（a),即(-a，f(a))在函數(shù)f(x)的圖象上.答案：A3.函數(shù)y=的奇偶性為（）A。非奇非偶函數(shù)B.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)C.奇函數(shù),不是偶函數(shù)D.偶函數(shù)，不是奇函數(shù)解析:先求函數(shù)的定義域得∴定義域為{x|—2≤x<0或0〈x≤2}?！鄁（x)=,即f（x）=。所以f(—x）==—f（x）。答案：C4。設f（x）是（-∞,+∞）上的奇函數(shù),f（x+2)=—f(x），當0≤x≤1時,f（x)=x，則f（7.5)等于…（)A.0。5B。-0。5C.1。5解析：由已知,可得f（7。5)=f（5。5+2）=-f（5。5）=-f(2+3。5）=-[-f（3。5）］=f（3。5)=f（2+1.5）=-f(1.5)=-f(2-0。5)=—［-f(-0.5)]=f（—0。5)=-f(0。5）=-0。5.答案:B5.若函數(shù)y=f（x）的定義域是［0，1],則下列函數(shù)中，可能是偶函數(shù)的是（）A.y=［f(x)]2B.y=f(2x）C。y=f(|x｜)D。y=f(-x）解析:y=［f（x）]2的定義域為［0，1］,y=f（2x)的定義域為[0，］,y=f（｜x｜）的定義域為［-1，1],y=f（—x)的定義域為［-1，0］。只有y=f（｜x|)可能是偶函數(shù).答案：C6.設f(x）是定義在R上的偶函數(shù),且在（0,+∞）上是減函數(shù),若a〈0且a+b>0，則(）A.f(a）〉f（b）B。f（a）=f(b）C.f(a）<f(b）D。f（a)與f（b）的大小不確定解析:∵a〈0且a+b〉0，∴b〉—a〉0。又函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù),∴f(b）<f（-a）.又f（x)是定義在R上的偶函數(shù),∴f（b)〈f（a).答案:A7。已知函數(shù)f(x）=x5+ax3+bx-8,且f(—2）=10,則f（2)=__________.解析:思路一:設g(x)=x5+ax3+bx,x∈R,∵g(—x)=—g（x),∴g（x）為奇函數(shù).而f（x)=g(x)-8，又f(-2)=g（-2）—8=10,∴g（2)=-g（-2)=-18?！鄁（2）=g（2)-8=—26.思路二：由題設有f（x）+f（—x）=—16,∴f(2)+f(—2)=—16.又∵f(—2)=10，∴f(2)=—16—10=-26.答案：-268.已知f(x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈（0,+∞）時，f(x)=x(1+）,求f(x)的解析式.分析：已知給定區(qū)域的解析式,求對稱區(qū)域的解析式的問題,通常做法如下：（1)設所求的區(qū)域上的自變量x;(2)由自變量x的相反數(shù)為給定區(qū)域,可得f(—x）的解析式；(3)借助于函數(shù)的奇偶性，得到f（-x）與f（x）的關系，進而求得f（x)的解析式。解：∵f（x)是奇函數(shù)，∴f（x)=—f（—x）.當x=0時,f(0)=-f（0），∴f（0)=0.當x<0時，—x〉0,∴f（—x）=—x(1+）.∴f(x）=—f(—x）=x（1).∴f(x)=我綜合,我發(fā)展9。奇函數(shù)y=f(x）在（0,+∞）上單調遞增，則f（—2）,f(-3）和f（-4)由小到大的順序是________.解析：奇函數(shù)在（0,+∞）上單調遞增,在（—∞,0)上也單調遞增,∵-3〈-4<—2,∴f(—3）<f（-4）〈f（-2).答案:f（—3）〈f（-4）<f(—2)10。若函數(shù)f（x)是定義在R上的偶函數(shù),在(—∞，0］上是減函數(shù)，且f(2）=0，則使得f（x）〈0的x的取值范圍是_____________。解析：因為函數(shù)f(x）是定義在R上的偶函數(shù),在(—∞，0］上是減函數(shù)，故函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù),又由于f(2）=0,所以當x〉0時,f（x)<0即f（x)〈f(2）,可解得0<x<2，利用偶函數(shù)圖象的對稱性可知當x〈0時，滿足f(x)〈0的x的取值范圍為-2〈x〈0,因此在整個定義域內，使得f（x）〈0的x的取值范圍是(—2，2).答案:(—2,2)11.已知奇函數(shù)f(x)=圖2-1-18(1）求實數(shù)m的值，并在給出圖2-1—18的直角坐標系中畫出y=f(x）的圖象;(2)若函數(shù)f(x）在區(qū)間［—1,｜a｜-2]上單調遞增，試確定a的取值范圍。分析:(1）利用奇函數(shù)的性質f（-x）=-f（x）得m的值，畫函數(shù)y=f(x）的圖象時要注意各段解析式的區(qū)別。(2)根據(jù)圖象得函數(shù)的單調遞增區(qū)間，則區(qū)間[—1，|a|-2］是函數(shù)單調遞增區(qū)間的子集.解：（1）當x〈0時，—x〉0,f(—x）=-（—x)2+2（-x）=-x2—2x.又f（x)為奇函數(shù),∴f（-x)=—f(x)=-x2-2x.∴f(x)=x2+2x.∴m=2。函數(shù)y=f（x)的圖象如圖所示。(2）由(1）知f（x)=由圖象,可知f（x）在[—1,1］上單調遞增，要使f(x)在［—1，｜a|-2]上單調遞增,則有[-1,|a｜—2］［—1，1],所以有|a|-2>-1，｜a|—2≤1。解之，得-3≤a〈—1或1<a≤3。12.判斷f（x)=的奇偶性。分析:分段函數(shù)的奇偶性的判斷一定要注意全面考查定義域，要緊扣奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義:對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x,若都有f(-x）=f（x）,那么f（x）就叫做偶函數(shù),若都有f（—x）=—f(x),那么f（x)就叫做奇函數(shù).解：函數(shù)的定義域為R,關于原點對稱.當x<—1時，f（x)=x+2，則-x>1，f（—x）=x+2，這就是說對于任意的x<—1，均有f(-x)=f（x)成立；當x〉1時，f(x)=—x+2，則—x<-1，f(-x）=—x+2,這就是說對于任意的x>1,均有f（—x)=f（x)成立;當—1≤x≤1時,f(x)=0，f(-x）=f（x)成立,綜上可知，函數(shù)f（x）是偶函數(shù).13.已知函數(shù)f(x）=x+,且f(1）=2。（1)求m；(2)判斷f(x)的奇偶性;(3)判斷函數(shù)f(x）在［1，2］上的單調性,并求函數(shù)f(x)在［1，2]上的最值.分析：判斷函數(shù)的奇偶性,首先觀察函數(shù)的定義域是否關于原點對稱,然后判斷f(-x)與f（x)的關系；而證明在某一區(qū)間上的單調性，常用定義進行證明，由于單調函數(shù)在閉區(qū)間內肯定有最值，可根據(jù)單調性求出最值。解：（1）f(1）=1+m=2,解得m=1。(2）f（x）=x+，f(—x)=—x=—f（x），∴f（x）是奇函數(shù).(3）設x1、x2是［1，2]上的任意兩個實數(shù),且x1〈x2,則f(x1）—f(x2)=x1+—（x2+）=x1—x2+（)=x1-x2=(x1—x2）。當1≤x1〈x2≤2時,x1x2>1,x1x2—1〉0，從而f(x1）-f（x2）<0，即f（x1)<f(x2)?！嗪瘮?shù)f（x)=+x在［1，2］上為增函數(shù)，其最小值為f(1）=2,最大值為f(2)=。我創(chuàng)新，我超越14.定義=x（x+1)(x+2)…（x+n—1)，其中x∈R，n∈N*,試判斷函數(shù)f（x）=的奇偶性。分析：以新定義為信息的題目，審題時一定要理解題目所給出的新的數(shù)學定義,并與已有相關知識融合在一起來解決.解:由題目所給的定義，可知f(x）==(x-1003)（x-1002）（x—1001)…(x—1)x(x+1)…（x+1001）（x+1002）（x+1003)=x（x2-12）（x2—22）…（x2-10012）（x2—10022)（x2-10032）.f(-x）=(—x）［(—x）2-12]［（-x）2—22]…［（—x)2—10012]［(—x)2—10022］［（—x)2-10032]=—x(x2—12)(x2—22)…(x2—10012)(x2-10022）(x2-10032）=—f（x）,所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù).又f(x）不恒等于零，所以f（x)是奇函數(shù)不是偶函數(shù)。15.已知y=f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)，且在［0，+∞）上為增函數(shù),如果f（）=1，解不等式—1〈f（2x