江蘇省如東一中、徐州中學(xué)、宿遷一中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期階段性檢測（一）（3月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年高二階段性檢測（一）2024.3一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A.有2個(gè)極值點(diǎn) B.在處取得極小值C.有極大值，沒有極小值 D.在上單調(diào)遞減【答案】C【解析】【分析】通過導(dǎo)函數(shù)圖象分析函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.由題意及圖得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有一個(gè)極大值，沒有極小值，故ABD錯(cuò)誤，C正確，故選：C.2.某質(zhì)點(diǎn)的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系式，其中為常數(shù)．若當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為，則當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度即為該函數(shù)在該時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值，先將代入導(dǎo)函數(shù)，求出的值，再將代入導(dǎo)函數(shù)求值即可.由函數(shù)關(guān)系式，得其導(dǎo)函數(shù)為：，由于當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為，將代入導(dǎo)函數(shù)，得，所以，則由函數(shù)關(guān)系式，其導(dǎo)函數(shù)為：，將代入導(dǎo)函數(shù)，得，所以當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為，故選：C.3.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.0,1 C. D.1,+∞【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0可得答案.函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

0,+∞

，

，由

得，解得

，所以

的單調(diào)增區(qū)間為

0,1

.故選：B.4.展開式中的項(xiàng)數(shù)為（）A.11 B.12 C.22 D.【答案】B【解析】【分析】，再利用二項(xiàng)展開式定理展開即可求解．因?yàn)樗詣t共有12項(xiàng)，故選：B．5.最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達(dá)到事先規(guī)定的最優(yōu)目標(biāo)的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題，我們常常需要在數(shù)學(xué)模型中求最大值或者最小值.下面是一個(gè)有關(guān)曲線與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)來解答：若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得平行于直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.由函數(shù)，可得，令，可得，因?yàn)椋傻?，則，即平行于直線且與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)到直線的距離為.故選：B6.習(xí)近平總書記在“十九大”報(bào)告中指出：堅(jiān)定文化自信，推動(dòng)社會(huì)主義文化繁榮興盛．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《九章算法》一書中出現(xiàn)．歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晩近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望．如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（）A.B.第2023行中從左往右第1013個(gè)數(shù)與第1014個(gè)數(shù)相等C.記第n行的第個(gè)數(shù)為，則D.第20行中第8個(gè)數(shù)與第9個(gè)數(shù)之比為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，歸納可得：第行的第個(gè)數(shù)為，由組合數(shù)的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．根據(jù)題意，由數(shù)表可得：第行的第個(gè)數(shù)為，由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，第2023行中從左往右第1013個(gè)數(shù)為，第1014個(gè)數(shù)為，兩者不相等，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，記第行的第個(gè)數(shù)為，則，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，第20行中第8個(gè)數(shù)為，第9個(gè)數(shù)為，則兩個(gè)數(shù)的比為，D正確．故選：D．7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，有，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分又不必要條件 D.充要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解得，由充分性必要性的定義，即可得到結(jié)果.因?yàn)?，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增.，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.8.若關(guān)于x的方程存在三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】不是方程的根，當(dāng)時(shí)，變形為，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.當(dāng)時(shí)，，，兩者不等式，故不是方程的根，當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，gx<0，當(dāng)時(shí)，gx畫出的圖象如下：令，，則，當(dāng)，時(shí)，h'x>0，hx當(dāng)時(shí)，h'x<0，且當(dāng)時(shí)，hx<0，當(dāng)時(shí)，hx畫出，的函數(shù)圖象，如下：令，，則，由于在上恒成立，故當(dāng)，時(shí)，f'x<0，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f'x>0，其中，從的函數(shù)圖象，可以看出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫出函數(shù)圖象如下，要想有三個(gè)不同的根，則.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題或函數(shù)零點(diǎn)，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的有（）A.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則B.C.已知函數(shù)，若，則D.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可判斷A的正誤，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算可判斷BD的正誤，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則可判斷C的正誤.對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，若，則即，故C正確.對(duì)于D，，故，故，故D正確.故選：CD.10.中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，m（m＞0）為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為（modm）．若，（mod10），則b的值可以是（）A.2011 B.2012 C.2020 D.2021【答案】AD【解析】【分析】對(duì)變形為，得到其被10除得的余數(shù)為1，即可得到答案.，∴被10除得的余數(shù)為1，而2011與2021被10除得的余數(shù)是1，故選：AD．11.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且，則下列說法正確的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合圖象確定的范圍，判斷A，要證明只需證明，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性只需證明，故構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論，判斷B，利用比差法比較，判斷C，利用的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)證明，判斷D.方程，可化為，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不等的實(shí)根，所以與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長，故，當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)以上信息，可得函數(shù)的大致圖象如下：，且，故A正確．因?yàn)?，?gòu)造，，在上單調(diào)遞增，，，即，由在單調(diào)遞增所以，故B正確．對(duì)于C，由，，所以，又，所以，則，所以，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，由，可得，所以，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】函數(shù)求導(dǎo)后，在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為f'x≥0在區(qū)間上恒成立，然后利用函數(shù)單調(diào)性求最值即得.由函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，得在區(qū)間上恒成立，又在區(qū)間上恒正，只需滿足在區(qū)間上恒成立即可，令，若，則，則一次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，不可能恒正；若，則，則一次函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以只需，即，解得，故答案：.13.若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為384，則展開式中的系數(shù)為__________．【答案】91【解析】【分析】利用系數(shù)和求出參數(shù)，用二項(xiàng)式定理展開求系數(shù)即可.由題意得的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為384，令，故，解得，故求中的系數(shù)即可而，的通項(xiàng)為，令，解得，此時(shí)的系數(shù)為，令，解得，此時(shí)的系數(shù)為，綜上展開式中的系數(shù)為.故答案為：91【點(diǎn)睛】.14.若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)定義可知為的兩根，由可求得，并得到韋達(dá)定理的形式；結(jié)合韋達(dá)定理將化簡為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可得的范圍，即為所求范圍.由題意知：的定義域?yàn)椋?，有兩個(gè)極值點(diǎn)，為的兩根，，又，解得：；，，；令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，，則的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知.求：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）256（2）32896（3）65536【解析】【分析】（1）令即可得結(jié)果；（2）令，結(jié)合（1）中結(jié)果運(yùn)算求解；（3）根據(jù)二項(xiàng)展開式分析可知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；結(jié)合（2）中結(jié)果分析求解.【小問1】令，可得.小問2】令，可得，則，所以.【小問3】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，即，可知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；所以.16.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間、最值．（3）設(shè)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的范圍.【答案】（1）；（2）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；最大值為，最小值為；（3）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由求出增區(qū)間，由求出減區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性求出最值即可；（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即可求出的范圍.【小問1】由題意知，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問2】由得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.所以，又，，所以.【小問3】在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等根，由（2）知.17.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，．（1）求的值；（2）求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用換元法結(jié)合二項(xiàng)式定理可求.（2）記，求出的解后可得系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).【小問1】由二項(xiàng)展開式的系數(shù)和為，于是，解得，設(shè)，于是，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，則.【小問2】展開式中第項(xiàng)的絕對(duì)值為，記，則，令，解得，即時(shí)；令，解得，即時(shí)，.于是，且，即最大，故原式中最大，最大項(xiàng)18.已知函數(shù)，若有極大值，且極大值為2．（1）求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）判斷的極大值即可求解的值；（2）分離參數(shù)，得到，然后令，所以，則在上恒成立，求出對(duì)應(yīng)的最大值，即為的最小值，然后得到范圍.【小問1】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，根?jù)題意可得，令f'(x)=0當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；所以，解得【小問2】由（1）知，因?yàn)?，所以可化為，設(shè)，所以，則在上恒成立，即可得在上單調(diào)遞減，，因此的取值范圍是【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則：（1）恒成立：（2）能成立：若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：（2）能成立：19.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題.（1）證明：；（2）設(shè)，證明：；（3）設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；（3）分和兩種情況討論，求出在附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.小問1】設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，，即【小問2】由泰勒公式知，①于是，②由①②