浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級中學2025屆高二上數學期末教學質量檢測試題含解析

浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級中學2025屆高二上數學期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓柱的表面積為定值，當圓柱的容積最大時，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.22．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1，若過原點傾斜角為的直線與雙曲線C左右兩支交于M、N兩點，且MF1NF1，則雙曲線C的離心率是（）A.2 B.C. D.4．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.5．雙曲線的左頂點為，右焦點，若直線與該雙曲線交于、兩點，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.6．如圖所示，某空間幾何體的三視圖是3個全等的等腰直角三角形，且直角邊長為2，則該空間幾何體的體積為（）A. B.C. D.7．已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（）A.2 B.3C.6 D.98．下列關于拋物線的圖象描述正確的是（）A.開口向上，焦點為 B.開口向右，焦點為C.開口向上，焦點為 D.開口向右，焦點為9．函數在上的最小值為（）A. B.C.-1 D.10．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D11．《九章算術》是我國古代的數學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數成等差數列，問這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數為（）A.14 B.20C.18 D.1612．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將某校全體高一年級學生期末數學成績分為6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)需要隨機抽取60名學生進行問卷調查，采用按成績分層隨機抽樣，則應抽取成績不少于60分的學生人數為_______________.14．函數的導函數___________.15．已知直線l：和圓C：，過直線l上一點P作圓C的一條切線，切點為A，則的最小值為______16．設橢圓的左，右焦點分別為，，過的直線l與C交于A，B兩點（點A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列的前項和為，，且.（1）求數列的通項公式；（2）證明：數列的前項和.18．（12分）已知數列的前n項和為，，，其中.（1）記，求證：是等比數列；（2）設，數列的前n項和為，求證：.19．（12分）如圖，多面體中，平面平面，，四邊形為平行四邊形.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）2020年10月，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)了《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，某地積極開展中小學健康促進行動，發(fā)揮以體育智、以體育心功能，決定在2021年體育中考中再增加一定的分數，規(guī)定：考生須參加立定跳遠、擲實心球、一分鐘跳繩三項測試，其中一分鐘跳繩滿分20分，某校為掌握九年級學生一分鐘跳繩情況，隨機抽取了100名學生測試，其一分一分鐘跳繩個數成績(分)1617181920頻率（1）若每分鐘跳繩成績不足18分，則認為該學生跳繩成績不及格，求在進行測試的100名學生中跳繩成績不及格的人數為多少？（2）該學校決定由這次跳繩測試一分鐘跳繩個數在205以上(包括205)的學生組成“小小教練員"團隊，小明和小華是該團隊的成員，現(xiàn)學校要從該團隊中選派2名同學參加某跳繩比賽，求小明和小華至少有一人被選派的概率21．（12分）已知函數，求函數在上的最大值與最小值.22．（10分）已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與軸的正半軸重合，直線的極坐標方程為，曲線的參數方程是（是參數）（1）求直線的直角坐標方程及曲線的普通方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，則可得，則圓柱的體積為，利用導數求出最大值，確定值.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當時，取極大值，也是最大值，即故選：B【點睛】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計算，考查了導數的實際應用，考查了學生的應用意識.2、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因為雙曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.3、C【解析】根據雙曲線和直線的對稱性，結合矩形的性質、雙曲線的定義、離心率公式、余弦定理進行求解即可.【詳解】設雙曲線的右焦點為F2，過原點傾斜角為的直線為，設M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線和直線的對稱性可知：M、N兩點關于原點對稱，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因為，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質可知：，由雙曲線的定義可知：，故選：C【點睛】關鍵點睛：利用矩形的性質、雙曲線的定義是解題的關鍵.4、D【解析】由題設可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.5、A【解析】求出，分析可得，可得出關于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯(lián)立，可得，則，易知點、關于軸對稱，且為線段的中點，則，又因為為等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.6、A【解析】在該空間幾何體的直觀圖中去求其體積即可.【詳解】依托棱長為2的正方體得到該空間幾何體的直觀圖為三棱錐則故選：A7、C【解析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學生轉化與化歸思想，是一道容易題.8、A【解析】把化成拋物線標準方程，依據拋物線幾何性質看開口方向，求其焦點坐標即可解決.【詳解】，即.則，即故此拋物線開口向上，焦點為故選：A9、D【解析】求出函數的導函數，根據導數的符號求出函數的單調區(qū)間，再根據函數的單調性即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故.故選：D.10、A【解析】由已知，分別表示出選項對應的向量，然后利用平面向量共線定理進行判斷即可完成求解.【詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.11、D【解析】根據題意，建立等差數列模型，結合等差數列公式求解即可.【詳解】解：根據題意，設每人所出錢數成等差數列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數為.故選：D.12、B【解析】運用不等式的性質及舉反例的方法可求解.詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以不成立，故C不正確；對于D，因為，所以，所以，故D不正確.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、48【解析】根據頻率分布直方圖，求出成績不少于分的頻率，然后根據頻數頻率總數，即可求出結果【詳解】根據頻率分布直方圖，成績不低于（分）的頻率為，由于需要隨機抽取名學生進行問卷調查，利用樣本估計總體的思想，則應抽取成績不少于60分的學生人數為人故答案為：14、【解析】利用導函數的乘法公式和復合函數求導法則進行求解【詳解】故答案為：15、1【解析】求出圓C的圓心坐標、半徑，再借助圓的切線性質及勾股定理列式計算作答.【詳解】圓C：，圓心為，半徑，點C到直線l的距離，由圓的切線性質知：，當且僅當，即點P是過點C作直線l的垂線的垂足時取“=”，所以的最小值為1故答案為：116、【解析】設出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結合根與系數關系以及求得直線的斜率.【詳解】橢圓，由于在軸上方且直線的斜率存在，所以直線的斜率不為，設直線的方程為，且，由，消去并化簡得，設，，則①，②，由于，所以③，由①②③解得所以直線的方程為，斜率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，則，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，.故原不等式得證.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）應用的關系，結合構造法可得，根據已知條件及等比數列的定義即可證結論.（2）由（1）得，再應用錯位相減法求，即可證結論.【小問1詳解】證明：對任意的，，，時，，解得，時，因為，，兩式相減可得：，即有，∴，又，則，因為，，所以，對任意的，，所以，因此，是首項和公比均為3的等比數列【小問2詳解】由（1）得：，則，，，兩式相減得：，化簡可得：，又，∴.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先通過平面平面得到，再結合，可得平面，進而可得結論；（2）取的中點，的中點，連接，，以點為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，求這兩個法向量的夾角即可得結果.【詳解】解：（1）因為平面平面，交線為，又，所以平面，，又，，則平面，平面，所以，；（2）取的中點，的中點，連接，，則平面，平面；以點坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，已知，則，，，，，，則，，設平面的一個法向量，由得令，則，，即；平面的一個法向量為；.所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明以及空間向量發(fā)求面面角，考查學生計算能力以及空間想象能力，是中檔題.20、（1）14人；（2）.【解析】（1）根據頻率直方表區(qū)間成績及其對應的頻率，即可求每分鐘跳繩成績不足18分的人數.（2）由表格數據求出一分鐘跳繩個數在205以上(包括205)的學生共6人，列舉出六人中選兩人參加比賽的所有情況、小明和小華至少有一個被選派的情況，由古典概型的概率求法即可得小明和小華至少有一人被選派的概率.【詳解】（1）由表可知，每分鐘跳繩成績不足18分，即為成績是16分或17分，在進行測試的100名學生中跳繩成績不及格人數為：人)（2）一分鐘跳繩個數在205以上(包括205)的學生頻率為，其人數為：(人)，記小明為，小華為，其余四人為，則在這六人中選兩人參加比賽的所有情況為：，共15種，其中小明和小華至少有一個被選派的情況有：，共9種，小明和小華至少有一人被選派的概率為：.21、最大值為，最小值為【解析】利用導數可求得的單調性