河南省許平汝2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達標(biāo)檢測試題含解析

河南省許平汝2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達標(biāo)檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，且，那么（）A. B.C. D.2．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.3．關(guān)于實數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列4．下圖是一個“雙曲狹縫”模型，直桿沿著與它不平行也不相交的軸旋轉(zhuǎn)時形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線．已知該模型左、右兩側(cè)的兩段曲線(曲線AB與曲線CD)所在的雙曲線離心率為2，曲線AB與曲線CD中間最窄處間的距離為10cm，點A與點C，點B與點D均關(guān)于該雙曲線的對稱中心對稱，且|AB|＝30cm，則|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm5．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A. B.C. D.6．若等差數(shù)列的前項和為，首項，，，則滿足成立的最大正整數(shù)是（）A. B.C. D.7．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，以為直徑的圓與雙曲線的右支在第一象限交于點，直線與雙曲線的右支交于點，點恰好為線段的三等分點(靠近點)，則雙曲線的離心率等于（）A. B.C. D.8．已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y關(guān)于x的線性回歸方程為，則m＝（）x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.39．已知，若與的展開式中的常數(shù)項相等，則（）A.1 B.3C.6 D.910．設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列滿足，則（）A.168 B.210C.672 D.105012．已知拋物線的焦點恰為雙曲線的一個頂點，的另一頂點為，與在第一象限內(nèi)的交點為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)點是雙曲線上的一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，已知，且，則雙曲線的離心率為________14．若“，”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍________.15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，右頂點為，為雙曲線上一點，且，線段的垂直平分線恰好經(jīng)過點，則雙曲線的離心率為_______16．直線過點，且原點到直線l的距離為，則直線方程是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和18．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于零，求a的取值范圍19．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，若，（1）求數(shù)列的首項和公差；（2）求的最小值.20．（12分）自我國爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗有關(guān)，現(xiàn)從車間所有工人中隨機抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式為：，21．（12分）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點為，過點的直線（與軸不重合）交橢圓于兩點，直線交直線于點，若直線上存在另一點，使.求證：三點共線.22．（10分）某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如表:零件的個數(shù)x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖.（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，試預(yù)測加工10個零件需要多少小時?（注：，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由遞推公式得到，，，再結(jié)合已知即可求解.【詳解】解：由，得，，又，那么故選：D2、B【解析】運用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以不成立，故C不正確；對于D，因為，所以，所以，故D不正確.故選：B3、B【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計算等方法逐一分析各個選項并判斷即可作答.【詳解】對于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對于D，a，b，c是實數(shù)，若，顯然都可以為負(fù)數(shù)或者0，此時a，b，c無對數(shù)，D不正確.故選：B4、B【解析】由離心率求出雙曲線方程，由對稱性設(shè)出點A，B，D坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，因為離心率，所以，，故雙曲線方程為，設(shè)，則，，則，所以，則，解得：，故.故選：B5、B【解析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項驗證即可解出【詳解】對A，，當(dāng)時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤故選：B6、B【解析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項和，確定和的正負(fù)【詳解】∵，∴和異號，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，首項，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿足的最大自然數(shù)為4040故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題求滿足的最大正整數(shù)的值，關(guān)鍵就是求出，時成立的的值，解題時應(yīng)充分利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解,屬于中檔題.7、C【解析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得關(guān)于，的方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，因為點在以為直徑的圓上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以雙曲線離心率為，故選：C.第II卷（非選擇題8、A【解析】先求得樣本中心，代入回歸方程，即可得答案.【詳解】由題意得，又樣本中心在回歸方程上，所以，解得.故選：A9、B【解析】根據(jù)二項展開式的通項公式即可求出【詳解】的展開式中的常數(shù)項為，而的展開式中的常數(shù)項為，所以，又，所以故選：B10、D【解析】由拋物線的焦點可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程【詳解】由題可知，拋物線焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得故選：【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)，即可求得結(jié)果.【詳解】等比數(shù)列滿足,設(shè)等比數(shù)列的公比為q,所以,解得，故，故選：C12、D【解析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為拋物線的焦點，由題可知；又點在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時，又，故直線的斜率為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由雙曲線的定義可求得、，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，進而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.14、【解析】由于“，”是真命題，則實數(shù)m的取值集合就是函數(shù)的函數(shù)值的集合，據(jù)此即可求出結(jié)果.【詳解】由于“，”是真命題，則實數(shù)m的取值集合就是函數(shù)的函數(shù)值的集合，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了存在量詞命題的概念的理解，以及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換思想，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】在中求出，再在中求出，即可得到的齊次式，化簡即可求出離心率【詳解】設(shè)雙曲線：，，不妨設(shè)為雙曲線右支上一點因為線段的垂直平分線恰好經(jīng)過點，且，所以，在中，，所以，，在中，，所以，，因此，，化簡得，，即，而，解得故答案為：16、【解析】直線斜率不存在不滿足題意，即設(shè)直線的點斜式方程，再利用點到直線的距離公式，求出的值，即可求出直線方程.【詳解】①當(dāng)直線斜率不存在時，顯然不滿足題意.②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線為.原點到直線l的距離為，即直線方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式可求得；（2）運用錯位相減法可求得.【小問1詳解】解：因為數(shù)列的前n項積，所以，所以，兩式相除得，因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）對求導(dǎo)并求定義域，討論、分別判斷的符號，進而確定單調(diào)區(qū)間.（2）由題設(shè)，結(jié)合（1）所得的單調(diào)性，討論、、分別確定在給定區(qū)間上的最小值，根據(jù)最小值小于零求參數(shù)a的范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，且定義域為，當(dāng)，即時，在上，即在上遞增；當(dāng)，即時，在上，在上，所以在上遞減，在上遞增；【小問2詳解】由（1）知：若，即時，則在上遞增，故，可得；若，即時，則在上遞減，在上遞增，故，不合題設(shè)；若，即時，則在上遞減，故，得；綜上，a的取值范圍.19、（1）首項為-2，公差為1；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，再結(jié)合前n項和公式列式計算作答.(2)由(1)的結(jié)論，探求數(shù)列的性質(zhì)即可推理計算作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，而為其前n項和，，，于是得：，解得，，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，，，數(shù)列是遞增數(shù)列，前3項均為非正數(shù)，從第4項起為正數(shù)，而，于是得的前2項和與前3項和相等并且最小，所以當(dāng)或時，.20、（1）（2）80件/小時【解析】（1）先利用等差數(shù)列的通項公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進行預(yù)測其生產(chǎn)速度.【小問1詳解】解：設(shè)前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數(shù)為.【小問2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線方程為，則當(dāng)時，，即估計該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度為80件/小時.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據(jù)給定條件利用橢圓的定義求出軸長即可計算作答.(2)根據(jù)給定條件設(shè)出的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，求出直線PA的方程并求出點M的坐標(biāo)，求出點N的坐標(biāo)，再利用斜率推理作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的左焦點，由橢圓定義得：即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由(1)知，，直線不垂直y軸，設(shè)直線方程為，，由消去x得：，則，，直線的斜率，直線的方程：，而直線，即，直線的斜率，而，即，直線的斜率，直線的方程：，則點，直線的斜率，直線的斜率，，而，即，所以三點共線.