2025屆湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，則.故選：D.2.如圖，是水平放置的用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（）A. B. C.24 D.48〖答案〗D〖解析〗由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，，軸，且，所以.故選：D.3.的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為3，則該展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.2 B.8 C. D.-17〖答案〗D〖解析〗令，可得，，在的展開式中的系數(shù)為：．故選D．4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，兩邊同除，得到，即.，.故選：C.5.設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，在定義域上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B.6.謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出．先取一個(gè)實(shí)心正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，即圖中的白色三角形），然后在剩下的每個(gè)小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，用上面的方法可以無限操作下去．操作第1次得到圖2，操作第2次得到圖3．．．．．，若繼續(xù)這樣操作下去后得到圖2024，則從圖2024中挖去的白色三角形個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，圖2024中挖去的白色三角形個(gè)數(shù)是：.故選：C.7.已知圓的方程為，則“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由圓的方程為可得圓心，半徑，若圓與函數(shù)相交，則圓心到直線的距離，即，若函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)，則原點(diǎn)在圓的外部，即，解得，綜上函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)則，所以“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)”的必要不充分條件，故選：B.8.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?，若函?shù)在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?，令，得，所以，若函?shù)在上沒有零點(diǎn)，則需，所以，所以，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，當(dāng)k=0時(shí)，得，解得，當(dāng)k=1時(shí)，得，解得，綜上：函數(shù)在上有零點(diǎn)時(shí)，或，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，.所以的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，選錯(cuò)不得分.9.設(shè)是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，，故，正確；B選項(xiàng)，即.故，正確；C選項(xiàng)，即z為純虛數(shù)，故，不正確；D選項(xiàng)，∵，故，正確.故選：ABD.10.某商場(chǎng)為促銷組織了一次幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，袋中裝有8個(gè)大小形狀相同的小球，并標(biāo)注這八個(gè)數(shù)字，抽獎(jiǎng)?wù)邚闹腥稳∫粋€(gè)球，事件A表示“取出球的編號(hào)為奇數(shù)”，事件B表示“取出球的編號(hào)為偶數(shù)”，事件C表示“取出球的編號(hào)大于5”，事件D表示“取出球的編號(hào)小于5”，則（）A.事件A與事件C不互斥 B.事件A與事件B互為對(duì)立事件C.事件B與事件C互斥 D.事件C與事件D互為對(duì)立事件〖答案〗AB〖解析〗由題意抽獎(jiǎng)?wù)邚闹腥稳∫粋€(gè)球的樣本空間為，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A與事件C不互斥，事件A與事件B為對(duì)立事件，事件B與事件C不互斥，事件C與事件D互斥但不對(duì)立，故A，B正確，C，D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的有（）A.若，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為B.若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線C.若與平面所成的角為，則的軌跡為橢圓D.若與所成的角為，則的軌跡為雙曲線〖答案〗ABD〖解析〗A中，記MN中點(diǎn)為P，DM中點(diǎn)為Q，連接PQ，易知，且，如圖，若MN=2，則DN=，則，所以點(diǎn)P的軌跡是以Q為圓心，半徑為的圓，面積，故A正確；B中，點(diǎn)N到直線的距離為NB，所以點(diǎn)N到定點(diǎn)B和直線DC的距離相等，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故B正確；C中，易知，則，所以N的軌跡是以D為圓心，半徑為的圓，故C錯(cuò)誤；D中，過點(diǎn)N向AD作垂線，垂足為R，易知，所以，所以，在平面ABCD中，以DA、DC所在直線分別為x軸、y軸，則，整理得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，與的夾角為，所以.因?yàn)?，所以，解?13.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過作軸的垂線交橢圓于，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗令橢圓的半焦距為c，由軸，為等腰直角三角形，得，，由橢圓的定義得，即，所以橢圓的離心率.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，，則__________.〖答案〗2024〖解析〗由可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而，又因?yàn)?，令，得，所以，由，得，兩式相減可得，故的最小正周期為8，則，，因?yàn)椋?四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足（1）求角B的值；（2）若且，求的取值范圍.解：（1）在中，，，，，，，即，又，所以，解得或.（2）∵且，∴，由正弦定理得，所以，.故，∵，∴，，又易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是當(dāng)，即時(shí)的最小值為，當(dāng)，即時(shí)的最大值為.所以，即的取值范圍.16.已知雙曲線與有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.解：（1）由的焦點(diǎn)坐標(biāo)為由雙曲線與有相同的焦點(diǎn)所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故，在雙曲線中：①又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)所以②解得：所以雙曲線的方程為：.（2）由題知直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：由直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)，所以消去整理得：，所以，，所以，由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以.17.如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P，Q分別在棱、上.（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.解：（1）以A坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，x軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，，若P是的中點(diǎn)，則，，，于是，∴，即.（2）由題設(shè)知，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則取，得.又平面的一個(gè)法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時(shí).設(shè)（），而，由此得點(diǎn)，，∵平面，且平面的一個(gè)法向量是，∴，即，解得，從而.將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，（?。┣笄€在點(diǎn)處的切線方程；（ⅱ）求證：，.（2）若在上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，（ⅰ），又，所以切線方程為.（ⅱ），，因?yàn)?，所?所以，所以所以在單調(diào)遞增，所以；（2），當(dāng)時(shí)，所以，,由（1）知，，所以在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榕c在單調(diào)遞增.所以在單調(diào)遞增.所以，.所以使得.所以當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增.故函數(shù)在上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，的取值范圍是.19.中國(guó)女排是中國(guó)各體育團(tuán)隊(duì)中成績(jī)突出的體育團(tuán)隊(duì)之一，曾是世界上第一個(gè)“五連冠”得主，并十度成為世界冠軍，2023年在杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)上女排再度獲得冠軍．她們那種團(tuán)結(jié)協(xié)作、頑強(qiáng)拼搏的精神極大地激發(fā)了中國(guó)人的自豪、自尊和自信，為我們?cè)谛抡鞒躺蠆^進(jìn)提供了強(qiáng)大的精神力量．如今，女排精神廣為傳頌，家喻戶曉，各行各業(yè)的人們?cè)谂啪竦募?lì)下，為中華民族的騰飛頑強(qiáng)拼搏．某中學(xué)也因此掀起了排球運(yùn)動(dòng)的熱潮，在一次排球訓(xùn)練課上，體育老師安排4人一組進(jìn)行傳接球訓(xùn)練，其中甲、乙、丙、丁四人剛好圍成一個(gè)矩形（如圖），已知當(dāng)某人控球時(shí)，傳給其相鄰?fù)瑢W(xué)的概率為，傳給對(duì)角線上的同學(xué)的概率為，由甲開始傳球．（1）求第3次傳球是由乙傳給甲的概率；（2）求第次傳球后排球傳到丙手中的概率；（3）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，，…，，則，記前次（即從第1次到第次傳球）中排球傳到乙手中次數(shù)為，求．解：（1）設(shè)第次傳球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分別為，則．第2次傳球到乙手中的概率，所以第3次傳球是由乙傳給甲的概率為．（2）根據(jù)已知條件可得，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立則有，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故．因?yàn)?，所以，代入①②式得，將⑤代入⑥得，，則，其中，故，，，……，，由累加法可得，所以，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，故第次傳球后排球傳到丙手中的概率為．（3）隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，設(shè)第i次未傳到乙手中的概率為，則排球第i次傳到乙手中的概率為，則．由（2）知，其中，所以．湖北省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，則.故選：D.2.如圖，是水平放置的用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（）A. B. C.24 D.48〖答案〗D〖解析〗由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，，軸，且，所以.故選：D.3.的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為3，則該展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.2 B.8 C. D.-17〖答案〗D〖解析〗令，可得，，在的展開式中的系數(shù)為：．故選D．4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，兩邊同除，得到，即.，.故選：C.5.設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，在定義域上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B.6.謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出．先取一個(gè)實(shí)心正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，即圖中的白色三角形），然后在剩下的每個(gè)小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，用上面的方法可以無限操作下去．操作第1次得到圖2，操作第2次得到圖3．．．．．，若繼續(xù)這樣操作下去后得到圖2024，則從圖2024中挖去的白色三角形個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，圖2024中挖去的白色三角形個(gè)數(shù)是：.故選：C.7.已知圓的方程為，則“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由圓的方程為可得圓心，半徑，若圓與函數(shù)相交，則圓心到直線的距離，即，若函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)，則原點(diǎn)在圓的外部，即，解得，綜上函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)則，所以“”是“函數(shù)的圖象與圓有四個(gè)公共點(diǎn)”的必要不充分條件，故選：B.8.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?，若函?shù)在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫剑?，得，所以，若函?shù)在上沒有零點(diǎn)，則需，所以，所以，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，當(dāng)k=0時(shí)，得，解得，當(dāng)k=1時(shí)，得，解得，綜上：函數(shù)在上有零點(diǎn)時(shí)，或，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，.所以的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，選錯(cuò)不得分.9.設(shè)是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，，故，正確；B選項(xiàng)，即.故，正確；C選項(xiàng)，即z為純虛數(shù)，故，不正確；D選項(xiàng)，∵，故，正確.故選：ABD.10.某商場(chǎng)為促銷組織了一次幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，袋中裝有8個(gè)大小形狀相同的小球，并標(biāo)注這八個(gè)數(shù)字，抽獎(jiǎng)?wù)邚闹腥稳∫粋€(gè)球，事件A表示“取出球的編號(hào)為奇數(shù)”，事件B表示“取出球的編號(hào)為偶數(shù)”，事件C表示“取出球的編號(hào)大于5”，事件D表示“取出球的編號(hào)小于5”，則（）A.事件A與事件C不互斥 B.事件A與事件B互為對(duì)立事件C.事件B與事件C互斥 D.事件C與事件D互為對(duì)立事件〖答案〗AB〖解析〗由題意抽獎(jiǎng)?wù)邚闹腥稳∫粋€(gè)球的樣本空間為，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A與事件C不互斥，事件A與事件B為對(duì)立事件，事件B與事件C不互斥，事件C與事件D互斥但不對(duì)立，故A，B正確，C，D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的有（）A.若，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為B.若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線C.若與平面所成的角為，則的軌跡為橢圓D.若與所成的角為，則的軌跡為雙曲線〖答案〗ABD〖解析〗A中，記MN中點(diǎn)為P，DM中點(diǎn)為Q，連接PQ，易知，且，如圖，若MN=2，則DN=，則，所以點(diǎn)P的軌跡是以Q為圓心，半徑為的圓，面積，故A正確；B中，點(diǎn)N到直線的距離為NB，所以點(diǎn)N到定點(diǎn)B和直線DC的距離相等，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故B正確；C中，易知，則，所以N的軌跡是以D為圓心，半徑為的圓，故C錯(cuò)誤；D中，過點(diǎn)N向AD作垂線，垂足為R，易知，所以，所以，在平面ABCD中，以DA、DC所在直線分別為x軸、y軸，則，整理得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，與的夾角為，所以.因?yàn)?，所以，解?13.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過作軸的垂線交橢圓于，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗令橢圓的半焦距為c，由軸，為等腰直角三角形，得，，由橢圓的定義得，即，所以橢圓的離心率.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，，則__________.〖答案〗2024〖解析〗由可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而，又因?yàn)?，令，得，所以，由，得，兩式相減可得，故的最小正周期為8，則，，因?yàn)?，所?四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足（1）求角B的值；（2）若且，求的取值范圍.解：（1）在中，，，，，，，即，又，所以，解得或.（2）∵且，∴，由正弦定理得，所以，.故，∵，∴，，又易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是當(dāng)，即時(shí)的最小值為，當(dāng)，即時(shí)的最大值為.所以，即的取值范圍.16.已知雙曲線與有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.解：（1）由的焦點(diǎn)坐標(biāo)為由雙曲線與有相同的焦點(diǎn)所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故，在雙曲線中：①又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)所以②解得：所以雙曲線的方程為：.（2）由題知直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：由直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)，所以消去整理得：，所以，，所以，由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以.17.如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P，Q分別在棱、上.（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.解：（1）以A坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，x軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，，若P是的中點(diǎn)，則，，，于是，∴，即.（2）由題設(shè)知，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則取，得.又平面的一個(gè)法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時(shí).設(shè)（），而，由此得點(diǎn)，，∵平面，且平面的一個(gè)法向量是，∴，即，解得，從而.將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，（ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ⅱ）求證：，.（2）若在上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)