浙江省杭州市拱墅區(qū)北苑教育集團2024-2025學年九年級上學期10月月考數(shù)學試卷（解析版）

北苑教育集團2024年10月初三階段性測試數(shù)學題卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列事件中，屬于必然事件的是（）A.擲一枚骰子，朝上一面的點數(shù)為5 B.一個三角形三個內(nèi)角的和大于180°C.任意寫一個數(shù)，這個數(shù)大于 D.兩直線平行，同位角相等【答案】D【解析】【分析】必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．A．擲一枚骰子，朝上一面的點數(shù)為5是隨機事件，故不符合題意；B．一個三角形三個內(nèi)角的和大于180°是不可能事件，故不符合題意；C．任意寫一個數(shù)，這個數(shù)大于是隨機事件，故不符合題意；D．兩直線平行，同位角相等是必然事件，故符合題意；故選D．【點睛】本題考查了必然事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．2.關(guān)于二次函數(shù)，下列敘述正確的是（）A.當時，有最小值4 B.當時，有最大值4C.當時，有最小值4 D.當時，有最大值4【答案】B【解析】【分析】y=a(x-h)2+k是拋物線的頂點式，a決定拋物線的形狀和開口方向，其頂點是（h，k），對稱軸是x=h．∵-2＜0，∴拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，∴當時，有最大值4．故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)y=a(x-h)2+k（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3.由拋物線向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移法則：左加右減，上加下減，即可得出答案，熟練掌握二次函數(shù)的平移法則是解此題的關(guān)鍵．解：由拋物線向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線是，即，故選：D．4.向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y公尺，且時間x（秒）與高度y（公尺）的關(guān)系為．若此炮彈在第6秒與第11秒時的高度相等，則下列哪一個時間的高度是最高的?（）A.第7秒 B.第8秒 C.第10秒 D.第12秒【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得拋物線的對稱軸是，根據(jù)8最接近即可得．解：∵炮彈在第6秒與第11秒時的高度相等，∴拋物線的對稱軸是：，即炮彈在第秒時高度最高，∵8最接近，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．5.設(shè)，，是拋物線上的三點，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求出，，的值，再比較即可得解，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．解：∵，，是拋物線上的三點，∴，，，∵，∴，故選：C．6.某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的實驗是（）A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”B.一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C.暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球D.擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖可知，隨著次數(shù)的增多，頻率穩(wěn)定在之間，由此即可求解．解：．“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出“剪刀”的概率為，不符合該實驗結(jié)果；．一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為，不符合該實驗結(jié)果；．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率為，不符合該實驗結(jié)果；．擲一個質(zhì)地均勻正六面體骰子，向上的面點數(shù)是4的概率為：，符合該實驗結(jié)果；故答案為：D．【點睛】本題主要考查事件的頻率（概率）的計算，掌握頻率的計算方法是解題的關(guān)鍵．7.某暢銷書的售價為每本20元，每星期可賣出300本，書城準備開展“讀書節(jié)活動”，決定降價促銷．經(jīng)調(diào)研，如果調(diào)整書籍的售價，每降價2元，每星期可多賣出20本．設(shè)每本降價元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為元，則與之間的函數(shù)表達式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查由實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)降價元，則售價為元，銷售量為本，由題意可得等量關(guān)系：總銷售額為銷量售價，根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)解析式即可．解：設(shè)每本降價元，則售價為元，銷售量為本，根據(jù)題意得，，故選：A．8.已知，則函數(shù)的最大值是（）A. B. C.2 D.不能確定【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求二次函數(shù)的最值，由得出二次函數(shù)的對稱軸為直線，開口向下，即當時，隨著的增大而增大，結(jié)合計算即可得解，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．解：∵，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，開口向下，∴當時，隨著的增大而增大，∵，∴當時，最大，為，故選：B．9.對于方程（為常數(shù)）有兩個不相等且小于1的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與一元二次方程，由題意得出，令，由方程的兩根均小于1，得出在中，當時，，計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．解：∵方程（為常數(shù)）有兩個不相等實數(shù)根，∴，解得：，令，∵方程的兩根均小于1，∴在中，當時，，∴，∴，故選：C．10.拋物線y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n與x軸只有一個交點(x1，0)．下列式子中正確的是（）A.x1﹣x2＝m B.x2﹣x1＝m C.m(x1﹣x2)＝n D.m(x1+x2)＝n【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得拋物線的定點坐標即為（x1，0），代入解析式即可求解．解：∵拋物線經(jīng)過（x1，0），且拋物線與x軸只有一個交點，∴拋物線頂點坐標為（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與坐標軸交點問題，頂點式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共18分）11.拋物線的圖象的頂點坐標為________．【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，把拋物線解析式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．解：，∴拋物線的頂點．故答案為：．12.小觀在數(shù)學節(jié)中參與知識搶答活動，現(xiàn)有幾何題6個，概率題5個，代數(shù)題9個，她從中隨機抽取1個，抽中代數(shù)題的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，先求出總個數(shù)，再利用概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比計算即可得解．解：∵小觀在數(shù)學節(jié)中參與知識搶答活動，現(xiàn)有幾何題6個，概率題5個，代數(shù)題9個，一共有個，∴她從中隨機抽取1個，抽中代數(shù)題的概率是，故答案為：．13.如圖拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝﹣1，與x軸的一個交點為（﹣5，0），則不等式ax2+bx+c＞0的解集為_____．【答案】﹣5＜x＜3【解析】【分析】先根據(jù)拋物線的對稱性得到A點坐標（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函數(shù)值為正數(shù)，即拋物線在x軸上方，然后找出對應的自變量的取值范圍即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．解：根據(jù)圖示知，拋物線y＝ax2+bx+c圖象的對稱軸是x＝﹣1，與x軸的一個交點坐標為（﹣5，0），根據(jù)拋物線的對稱性知，拋物線y＝ax2+bx+c圖象與x軸的兩個交點關(guān)于直線x＝﹣1對稱，即拋物線y＝ax2+bx+c圖象與x軸的另一個交點與（﹣5，0）關(guān)于直線x＝﹣1對稱，∴另一個交點的坐標為（3，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴拋物線y＝ax2+bx+c的圖形在x軸上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．故答案為﹣5＜x＜3．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)與不等式，解答此題的關(guān)鍵是求出圖象與x軸的交點，然后由圖象找出當y＞0時，自變量x的范圍，本題鍛煉了學生數(shù)形結(jié)合的思想方法．14.若二次函數(shù)：的與的部分對應值如表，則當時，的值為______．353【答案】【解析】【分析】根據(jù)表格可知，二次函數(shù)圖象的對稱軸為，進而求出橫坐標為1的點關(guān)于x=-3的對稱點，進而得到答案．解：∵x=-4時y=3，x=-2時y=3，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∵，∴橫坐標為1的點與橫坐標為-7的點關(guān)于x=-3對稱，∴當x=1時，y=-27，故答案為：-27．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)表格數(shù)據(jù)得到二次函數(shù)圖象的對稱軸．15.拋物線的圖象經(jīng)過、，且對稱軸到軸的距離為2，則拋物線的函數(shù)表達式是________．【答案】或【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，由拋物線對稱軸到軸的距離為2得出拋物線的對稱軸為直線或，進而得出拋物線與軸的另一個交點為或，再利用待定系數(shù)法求解即可．解：∵拋物線對稱軸到軸的距離為2，∴拋物線的對稱軸為直線或，∵拋物線與軸的一個交點為，∴拋物線與軸的另一個交點為或，設(shè)拋物線解析式為或，把代入得，解得：，此時拋物線的解析式為，即；把代入得，解得：，此時拋物線的解析式為，即；綜上所述，拋物線的解析式為或，故答案為：或．16.如圖，水平地面點處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，在地面上落點為，小武在直線上點（靠點一側(cè)）豎直向上擺放若干個無蓋的圓柱形桶，已知米，米，網(wǎng)球飛行最大高度米，圓柱形桶的直徑為米，高為米（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計）．（1）當豎直擺放8個圓柱形桶時，網(wǎng)球________（填“能”或“不能”）落入桶內(nèi)．（2）當豎直擺放圓柱形桶至少________個時，網(wǎng)球能落入桶內(nèi)．【答案】①.不能②.【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，求能否落入桶內(nèi)時高度的比較關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）建立直角坐標系，根據(jù)題意頂點、點，利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式；當桶的左側(cè)最高點位于拋物線以下，右側(cè)最高點位于拋物線以上時，球才能落入桶內(nèi)，據(jù)此可分別計算和時的值，與桶高比較可知；（2）可設(shè)桶個數(shù)為，根據(jù)（1）中關(guān)系列出不等式，即可求出的范圍，從而求出的最小值．解：（1）以點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系（如圖），∴頂點、點，設(shè)拋物線的解析式為，拋物線過點，，解得，拋物線解析式為：，，且，，，即點的橫坐標是1.5，點的橫坐標是1，當時，；當時，；若豎直擺放8個圓柱形桶，則桶高為，，網(wǎng)球不能落在桶內(nèi)，故答案為：不能；（2）設(shè)豎直擺放的圓柱形桶有個時，網(wǎng)球能落入桶內(nèi)，則，解得：，為整數(shù)，值為或，當豎直擺放圓柱形桶至少個時，網(wǎng)球能落入桶內(nèi)．故答案為：．三、解答題（17-21每題8分，22、23每題10分，24題12分）17.在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖像經(jīng)過點求的值；求該函數(shù)圖像的頂點坐標和對稱軸；自變量在什么范圍內(nèi)時，隨著的增大而增大？【答案】；頂點坐標（1，4），對稱軸為；【解析】【分析】(1)函數(shù)的圖像經(jīng)過點代入求解即可；(2)把代入配方為頂點式，利用頂點坐標定義，和對稱軸公式即可求出；(3)由，開口向下，在對稱軸左側(cè)隨著的增大而增大，自變量時，隨著的增大而增大．解:(1)函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則，；(2)，該函數(shù)圖像的頂點坐標(1,4),對稱軸x=1；(3)∵，開口向下，在對稱軸左側(cè)隨著的增大而增大，∴自變量時，隨著的增大而增大．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線的頂點與對稱軸，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線的頂點與對稱軸，二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18.甲、乙兩個不透明的盒子里分別裝有3張卡片，其中甲盒里3張卡片分別標有數(shù)字1、2、3；乙盒里3張卡片分別標有數(shù)字4、5、6．這些卡片除數(shù)字外其余都相同，將卡片充分搖勻．（1）從甲盒里隨機抽取一張卡片，求抽到的卡片上標有數(shù)字為偶數(shù)的概率；（2）從甲盒、乙盆里各隨機描取一張卡片，請用列表或樹狀圖的方法，求抽到的兩張卡片上標有數(shù)字之和不大于7的概率．【答案】（1）抽到的卡片上標有數(shù)字為偶數(shù)的概率為（2）抽到的兩張卡片上標有數(shù)字之和不大于7的概率為【解析】【分析】（1）由概率公式即可得出結(jié)果；（2）用列表法列出所有等可能的情況，即可得出概率．【小問1詳解】甲盒里隨機抽取一張卡，抽到的卡片上標有數(shù)字為偶數(shù)的概率是；【小問2詳解】根據(jù)題意可列表格如下：乙甲456123總共有9種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中兩張卡片數(shù)字之和不大于7的有六種：，，，，，，∴．【點睛】本題考查了概率的計算和用列表法或樹狀圖法求概率，掌握計算方法是解題關(guān)鍵．19.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點，且過B0,3．（1）求出此二次函數(shù)的解析式和與軸的交點坐標；（2）請在坐標系內(nèi)畫出這個函數(shù)圖象，若經(jīng)過點且與軸平行的直線與的圖象有公共點，求的取值范圍．【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為，與軸的交點坐標為，（2）【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、畫二次函數(shù)圖象、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）由題意得出二次函數(shù)的對稱軸為直線，再利用待定系數(shù)法即可得出二次函數(shù)解析式，令，求解即可得出與軸的交點坐標；（2）利用描點法畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合函數(shù)圖象即可得解．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點，且過B0,3，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為，令，則，解得：，，∴與軸的交點坐標為，；【小問2詳解】解：畫出函數(shù)圖象如圖：，∵若經(jīng)過點且與軸平行的直線與的圖象有公共點，∴由函數(shù)圖象可得，．20.在直角坐標系中，設(shè)函數(shù)（，是常數(shù)，）．（1）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，求函數(shù)的表達式．（2）若函數(shù)圖象的頂點在函數(shù)的圖象上，求證：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用．理解點在函數(shù)圖象上的含義是求解本題的關(guān)鍵．（1）將和代入函數(shù)表達式，解方程組即可；（2）先得出函數(shù)頂點坐標，代入化簡，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】∵函數(shù)圖象經(jīng)過點和，∴，解得，∴；【小問2詳解】∵，∴頂點，∵圖象的頂點在函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，∴．21.對一批襯衣進行抽檢，統(tǒng)計合格襯衣的件數(shù)，得到合格襯衣的頻數(shù)表如下：抽取件數(shù)（件）501001502005008001000合格數(shù)4288141176445724901合格率0.840.880.940.880.890.910.90（1）估計任抽一件襯衣是合格品概率是多少？（2）估計出售900件襯衣，其中次品大約有多少件？（3）為確保出售900件合格襯衣，商家至少需要進貨多少件襯衣？【答案】（1）（2）估計出售900件襯衣，其中次品大約有件（3）為確保出售900件合格襯衣，商家至少需要進貨件襯衣【解析】【分析】本題考查了由頻率估計概率，由樣本估計總體，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)頻率估計概率，大量反復試驗線頻率穩(wěn)定值即概率；（2）根據(jù)總件數(shù)乘以次品所占的百分比即可得解；（3）根據(jù)總件數(shù)初一合格品所占的百分比即可得解．【小問1詳解】解：估計任抽一件襯衣是合格品的概率是；【小問2詳解】解：（件），故估計出售900件襯衣，其中次品大約有件；【小問3詳解】解：（件），故為確保出售900件合格襯衣，商家至少需要進貨件襯衣．22.施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度為12米，現(xiàn)在點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系（如圖所示）．（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”，使、點在拋物線上，、點在地面上，設(shè)的橫坐標為，求________，________．（用含的代數(shù)式表示）（3）為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿、、的長度之和的最大值是多少？【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用、矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由題意得，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由題意得出，即可得出，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得出的長；（3）由矩形的性質(zhì)可得，表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【小問1詳解】解：由題意得，，∵頂點坐標，∴設(shè)拋物線的解析式為，將代入解析式得出，解得：，∴拋物線的解析式為，即；【小問2詳解】解：設(shè)的橫坐標為，則，∵四邊形為矩形，∴，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∴點的橫坐標為，即，∴；【小問3詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴當時，的值最大，為．23.根據(jù)背景素材，探索解決問題．測算拉索橋立柱的高素材1一條橋身形狀和拋物線相同的拉索橋，橋的跨徑的水平距離為22米，點和點處于同一水平線．素材2（1）橋的兩根主立柱和拉出鐵索固定橋身，兩個立柱中間共有10根拉索（如圖）；（2）立柱和鐵索與橋身的邊境點水平等距分布（即相鄰的兩個連接點的水平距離相等）；問題解決任務1建立模型以點為原點，水平線為軸，以1米為一個單位長度，建立直角坐標系，根據(jù)素材1求橋身模型的函數(shù)解析