廣西2025屆高三第一次教學質量監(jiān)測（一模） 數學試卷（含答案解析）

廣西2025屆高三第一次教學質量監(jiān)測數學 (本試卷滿分150分，考試時間120分鐘) 2024.10注意事項：1.答題前，務必將自己的姓名、班級、.準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數2i-1A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i2.已知集合A=0,2,4,6,B=x|0<3?≤81,則A∩B=A.{0,2,4}B.{2,4}C.{2}D.{2,3,4}3.已知平面向量a,b滿足|a|=1,|bA.3B.3c.7D.14.某校舉行數學競賽，現將100名參賽學生的成績(單位：分)整理如下：成績[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數52530201010根據表中數據，下列結論正確的是A.100名學生成績的極差為60分B.100名學生成績的中位數大于70分C.100名學生成績的平均數大于60分D.100名學生中成績大于60分的人數所占比例超過80%5.一動圓與圓x2+y2+4x=0外切，同時與圓.x2+y2-4x-60=0內切，則動圓圓心的軌跡方程為A.x29+y25=16.圓錐的頂點為S，AB為底面直徑，若AB=2,∠ASB=πA.4π3B.16π37.設函數fx=ae?+e??2,gx=4x2+2a-1,A.-2B.-1C.1D.2高三數學第1頁共4頁8.黃金不僅可以制成精美的首飾佩戴，還因其價值高，并且是一種稀少的資源，長久以來也是一種投資工具。小李計劃投資黃金，根據自身實際情況，他決定分兩次進行購買，并且制定了兩種不同的方案：方案一是每次購入一定數量的黃金；方案二是每次購入一定金額的黃金。已知黃金價格并不穩(wěn)定，所以他預設兩次購入的單價不同?，F假設他兩次購入的單價分別為a?，a?，且a?≠a?，則下列說法正確的是A.當且僅當a?>a?時，方案一的平均購買成本比方案二更低B.當且僅當a?>a?時，方案二的平均購買成本比方案一更低C.無論a?，a?的大小關系如何，方案一的平均購買成本比方案二更低D.無論a?，a?的大小關系如何，方案二的平均購買成本比方案一更低二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.下列函數中，對稱中心為(1，0)的有A.y=sinπxB.y=cos(x-1)C.y=12x-10.已知拋物線(C:y2=2pxp0),過C的焦點F作直線l:x=ty+1,若C與l交于A,B兩點,A.p=2B.|AF|=3C.t=22或-22D.線段AB中點的橫坐標11.下列關于函數f(x)=x-xlnx的說法,正確的有A.x=1是f(x)的極大值點B.函數f(x)有兩個零點C.若方程f(x)=m有兩根x?,x?,則x?+x?>eD.若方程f(x)=m有兩根x?,x?,則x?+x?<e三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.甲、乙、丙三名工人加工同一型號的零件，甲加工的正品率為90%，乙加工的正品率為80%，丙加工的正品率為85%，加工出來的零件混放在一起。已知甲、乙加工的零件數相同，丙加工的零件數占總數的40%?，F任取一個零件，則它是正品的概率為.13.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a0,b>0)的左、右焦點分別為F?、F?，若雙曲線的左支上一點P滿足sin∠PF1F14.已知a>0,函數fx=|x-ax|x0).若曲線y=f(x)與直線y=2交于A,B兩點,設A,B的橫坐標分別為x?，x?，寫出x?，x?與a的一個關系式：；分別過點A，B作x軸的垂線段AA?,BB?,垂足分別為A?,B?,則四邊形AA高三數學第2頁共4頁四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知1+(1)求∠A;(2)若c=3,且△ABC的面積為33,求△ABC16.(15分)中國共產黨第二十屆中央委員會第三次全體會議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會提出，中國式現代化是物質文明和精神文明相協(xié)調的現代化.必須增強文化自信，發(fā)展社會主義先進文化，弘揚革命文化，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加快適應信息技術迅猛發(fā)展新形勢，培育形成規(guī)模宏大的優(yōu)秀文化人才隊伍，激發(fā)全民族文化創(chuàng)新創(chuàng)造活力.為此，某學校舉辦了“傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”宣傳活動，學校從全體學生中抽取了100人對該宣傳活動的了解情況進行問卷調查，統(tǒng)計結果如下：男女合計了解20不了解2040合計(1)將列聯(lián)表補充完整；(2)根據α=0.05的獨立性檢驗，能否認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別有關聯(lián)?(3)若把上表中的頻率視作概率，現從了解該活動的學生中隨機抽取3人參加傳統(tǒng)文化知識競賽.記抽取的3人中女生人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望.附：χ2=nP(x2≥k?)0.1000.0500.0100.001ko2.7063.8416.63510.82817.(15分)如圖,在三棱柱.ABC-A?B?C?中，△AB?C為正三角形，四邊形.AA?B?B為菱形.(1)求證:AB?⊥(2)若AC=BC=4,且AC⊥BC,E為(CC?的中點，求平面.AB?E與平面ABC的夾角的余弦值.高三數學第3頁共4頁18.(17分)已知數列{an}滿足a?=1,點a?a???在直線(1)設bn=a(2)求數列a?的前n項和(3)設1an的前n項和為Tn，證明：19.(17分)已知:①定積分的定義:設y=f(x)為定義在[a，b]上的連續(xù)非負函數，為求.y=fx、將區(qū)間[a，b]分為n個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為b-an,每個區(qū)間即可表示為a+b-ani-1a+b-a當n→+∞時，每個小曲邊梯形可近似看作矩形，矩形的寬即為每個小區(qū)間的長度，長可由每個小區(qū)間內的任一點的函數值近似代替(一般用區(qū)間端點的函數值)，將這樣無窮多個小矩形的面積相加，所得之和即為所求的由.y=fx、x=a、x=b、x軸圍成的曲邊梯形的面積，即S=limn→∞∑t=1n②定積分的計算：abf根據以上信息，回答以下問題：(1)已知0<α<π2,(2)將x=1、x=2(3)試證明:1高三數學第4頁共4頁原卷掃描版原卷掃描版2025屆高三第一次教學質量監(jiān)測數學參考答案一、單選題1.選B.解析:2i-1=2i+12.選A.解析:A={0,2,4,6},B={x|x≤4},所以A∩B={0,2,4},故選A.3.選C.解析:由b-a?∴|a+b4.選C.解析:對于A,極差最大為:100-40=60,最小為:90-50=40,故A錯誤;對于B,根據頻數分布表可知:5+25+30=60>50,所以中位數不超過70分,故B錯誤;對于C，由頻數分布表可得，平均值為：11005×45+25×55+30×65+20×75+10×85+10×95=68.5,對于D，成績大于60分的頻數為：30+20+10+10=70，所以大于60分的人數所占比例為：70100=70%,所以D錯誤；5.選C.解析：兩圓的標準方程為：C?:C?:設動圓圓心為C，半徑為r，由外切：|CC?|=2+r;由內切：|CC?|=8-r,所以|CC?|+|CC?|=10,即動圓C是以C?，C?為焦點，10為長軸長的橢圓，且c=2,a=5,b=52-22=216.選B.解析:設圓錐底面圓心為O?,外接球球心為O,半徑為R,則Rt△SO?A在中,AO1=1,∠ASO1=30°,∴SO1=37.選B.解析：由題意得：方程：ae?+e??2=4x2+2a-1有一根，化簡得：ae2?+e?2?=4x2-2有一根.設hx=e2?+e?2?,則hx=2e2?-2e?2?.令h1x=0.得x=0.易得當a>0時,ah(x)與φ(x)有交點;當a<0時，ah(x)開口向下，若只有一個公共點，則ah(0)=φ(0),即2a=-2,解得a=-1.故選B.數學答案第1頁共7頁8.選D.解析：方案一：設每次購買數為x，則總量為2x，總價為a?x+a?x,∴平均購買成本為W方案二：設每次購買的金額為y，則總量為ya1+∴平均購買成本為W因為a1+a2≥2∴即W?>W?.所以無論a?，a?的大小關系如何，方案二的平均購買成本比方案一更低.故選D.二、多選題9.選ACD.解析:對于A:令πx=kπ,k∈Z.則x=k,當k=1時,(1,0)為對稱中心,故A正確;對于B:令x-1=π2+kπ,k∈Z.則x=1+π2+kπ,沒有整數k能使對于C：直線上任意一點皆為直線的對稱中心，而y=12x-12對于D：因為2-x)3-32-x+2-x+1=-x3+3x2-x-1=-y∴故D10.選ABD.解析:對于A：因為C:y2=2pxp0),∴F在x軸正半軸上，又因為直線l恒過點(1，0)，∴F(1,0),∴p=2,故對于B：由1|AF|+1|BF|=2p,對于C:設A(x?,y?),則由|AF|=3得A到準線:x=-1的距離為3.∴x?=2.代入C的方程得y1=±22.∴對于D:設.B(x?,y?).由yx1+x2=ty1+y數學答案第2頁共7頁11.選AD.解析：對于A:由f(x)=x-xlnx得.f'x=-lnx,當f'x>0時,0<x<1;當f'x<0時,x>1,即f(x)在(0,1)上遞增,在(l,+∞)上遞減,所以對于B:令x-xlnx=0,方程在(0,+∞)上只有一根x=e,故B錯誤;對于CD:由于x=1是f(x)的極大值點,不妨設x?<1<x?<e,則lnx1<0,ex2≠1.因為x?,x?是方程f(x)=mx1<x11-lnx1=x21-lnx2=x2lnex2,故選AD.三、填空題12.答案:0.85解析：由全概率公式得正品率為：P=0.9×0.3+0.8×0.3+0.85×0.4=0.8513.答案:14解析：因為sin∠PF1F又|PF?|-|PF?|=2a,∴|PF?|=3a,|PF?|=a.由于以F?為圓心的圓與F?P的延長線相切與點M，.∴F?M⊥F?M因為F1M=3F1P,∴|F1M|=3a,|PM|=2a..在又在Rt△MF?F?中|M14.答案:x?x?=a(或此式的合理變形也可)；4解析：不妨設x?<x?,貝-兩式相減得：-由于x代入②式得：x?-x?=2,即|AB|=2,又||A數學答案第3頁共7頁四、解答題15.解析:(1)由題意得:1+tan所以3+3?tan所以A=π(2)由S=12bcsin由余弦定理得：a………………12∴周長為：3+4316.解析:(1)將列聯(lián)表補充如下：男女合計了解402060不了解202040合計60401()()………………………2(2)零假設為H?：該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別無關聯(lián)…………3根據列聯(lián)表中的數據，經計算得：χ2根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H?不成立，因此可以認為H?成立，即認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別無關聯(lián).………………………9(3)由題意得:X～B所以，X的分布列為x0l23P8屮丨2一9127………………………12X的期望為EX數學答案第4頁共7頁17.解析:(1)證明：設AB?∩A?B=F,連接CF.因為四邊形.AA?B?B為菱形，所以.AB?⊥A?B,……………………2又因為△AB?C為正三角形，F為AB?的中點，所以(CF⊥AB?,……………4又CF∩A?B=F,所以AB?⊥平面A?BC………5(2)設O,G分別為AC,AB的中點,則OG∥BC,B?O⊥AC.由(1)得:AB?⊥平面A?BC,所以AB?⊥BC,………………6又AC⊥BC,AB?∩AC=A,所以BC⊥平面AB?C,………7所以BC⊥B?O,,又B?O⊥AC,BC∩AC=C,所以B?O⊥平面ABC……8所以OG,OC,OB?兩兩垂直,以O為原點,OG,OC,OB1的方向分別為x則A(0,-2,0),C(0,2,0),B?(0,0,3?),B(4,2,0)由BB1=CC所以E-2則A設平面AB?E的法向量為u=x