專題4.8實(shí)數(shù)的新定義問題專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典

【講練課堂】20222023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題4.8實(shí)數(shù)的新定義問題專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）一、單選題1．（2022·江蘇·八年級單元測試）一般地，如果xn=a（n為正整數(shù)，且n>1），那么x叫做a的n次方根．下列結(jié)論中正確的是（A．81的4次方根是3 B．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-5的n次方根隨n的增大而增大C．32的5次方根是±2 D．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，5的n次方根隨n的增大而增大【答案】B【分析】利用方根的定義對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵81的4次方根是±3，∴A選項(xiàng)的結(jié)論不正確；∵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，5的n次方根隨n的增大而增大，∴B選項(xiàng)的結(jié)論正確；∵32的5次方根是2，∴C選項(xiàng)的結(jié)論不正確；∵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，5的n次方根n的增大而減小，∴D選項(xiàng)的結(jié)論不正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義的方根的意義與性質(zhì)，明確一個(gè)正數(shù)的偶次方根由兩個(gè)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）定義a*b＝3a﹣b，a⊕b＝b﹣a2，則下列結(jié)論正確的有（）個(gè)．①3*2＝7．②2⊕（﹣1）＝﹣5．③（13*25）⊕（72⊕1④若a*b＝b*a，則a＝b．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先按照定義書寫出正確的式子再進(jìn)行計(jì)算就可解決本題．【詳解】①、3*2＝3②、2⊕（③、(13④、a*b=3a-b，b*a=3b-a，∵a*b＝b*a，3a-b=3b-a，解得：a=b，故計(jì)算正確，符合題意．綜上所述，正確的有：①②④，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了按照定義運(yùn)算的知識，嚴(yán)格按照定義書寫出正確的式子，準(zhǔn)確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·八年級單元測試）對于實(shí)數(shù)x，我們規(guī)定x表示不大于x的最大整數(shù)，如4=4，3=1，-2.5=-3．現(xiàn)對82進(jìn)行如下操作：82→第一次8282=9→第二次99=3A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)程序圖一步一步計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：第一次，[625625]＝[62525]＝[25]＝第二次，[2525]＝[255]＝[5]＝第三次，[55]＝[5]＝2第四次，[22]＝[2]＝1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的運(yùn)算、算術(shù)平方根、無理數(shù)的估算等知識，熟練掌握算術(shù)平方根的求法是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇南通·八年級期中）定義關(guān)于m，n的新運(yùn)算：fm+n=fm?fn，其中m，n為正整數(shù)．例如，已知f5=2，則fA．kn+674 B．674kn C．kn+674 D．【答案】C【分析】本題為代數(shù)式的規(guī)律探究，已知f3=k(k≠0)，定義的新運(yùn)算可得f3×2=k【詳解】解：已知f3∴f3×2f3×3……f3n∴f3n∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的規(guī)律探究，根據(jù)定義的新運(yùn)算找到運(yùn)算規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期末）對于實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“?”為：a?b=2a-b2，這里等式右邊是通常的實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：1?3=2A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7【答案】B【分析】已知方程利用題中的新定義化簡，計(jì)算即可求出解．【詳解】根據(jù)題中的新定義化簡得：2x-1去分母得：2=6-x+1，解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)x=5是分式方程的解．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．6．（2020·江蘇·南通田家炳中學(xué)八年級階段練習(xí)）對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算a★b為：若a≥b，則a★b=ab；若a<b，則a★b=b①a★b=b★a；②a★bb★a=1；③aA．① B．② C．①② D．①②③【答案】A【分析】①根據(jù)新運(yùn)算a★b的運(yùn)算方法，分類討論：a≥b，a<b，判斷出a★b是否等于b★a即可；②由①，推得a★b=b★a，所以③應(yīng)用放縮法，判斷出a★b+1a★b與【詳解】解：①a≥b時(shí)，a★b=ab★a=a∴a★b=a<b時(shí)，a★b=bb★a=b∴a★b=∴①符合題意．②由①，可得：a★b=當(dāng)a≥b時(shí)，∴a★bb★a∴a★bb★a不一定等于1當(dāng)a<b時(shí)，∴a★bb★a∴a★bb★a不一定等于1∴a★bb★a∴②不符合題意．③當(dāng)a≥b時(shí)，a>0，b>0，∴ab∴a★b+1當(dāng)a<b時(shí)，∴a★b+1∴a★b+1∴③不符合題意，∴說法中正確的有1個(gè)：①．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．7．（2020·江蘇·射陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)八年級期中）定義運(yùn)算：a★b=a(1b)．若a，b是方程x2-x+14m=0(m<0)A．0 B．1 C．2 D．與m有關(guān)【答案】A【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可找出a＋b＝1，根據(jù)新運(yùn)算找出b?b?a?a＝b（1?b）?a（1?a），將其中的1替換成a＋b，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵a，b是方程x2?x＋14m＝0（m＜0∴a＋b＝1，∴b?b?a?a＝b（1?b）?a（1?a）＝b（a＋b?b）?a（a＋b?a）＝ab?ab＝0，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出a＋b＝1．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之積與兩根之和是關(guān)鍵．8．（2019·江蘇·射陽縣第二初級中學(xué)八年級期末）若2019個(gè)數(shù)a1、a2、a3、…、a2019滿足下列條件：a1=2，a2=-a1+5A．5047 B．5045 C．5040 D．5051【答案】A【分析】通過前面幾個(gè)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)數(shù)的變化可得出從第3個(gè)數(shù)開始，按2，3依次循環(huán)，按此規(guī)律即可得出a1【詳解】解：依題意，得：a1a2a3a4a5a6……由上可知，這2019個(gè)數(shù)a1，a2，故這2019個(gè)數(shù)中有1個(gè)2，1個(gè)?7，1009個(gè)?2，1008個(gè)?3，∴a1+故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.二、填空題9．（2022·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）對于正數(shù)x，規(guī)定f(x)=11+x，例如：f(4)=11+4=15，f(12)=【答案】2021【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算可得f（n）＋f（1n）=1，從而有f(n)+f(n-1)+…+f(2)+f(1)+f(12)+…+f(【詳解】尋找規(guī)律：當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=12當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=13，當(dāng)x=12時(shí)，f（12）=23，f（2）＋f（當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=14，當(dāng)x=13時(shí)，f（13）=34，f（3）＋f（······當(dāng)x=n時(shí)，f（n）=1n+1，當(dāng)x=1n時(shí)，f（1n）=nn+1，f（n）＋f（∴f(n)+f(n-1)+…+f(2)+f(1)+f(1∴當(dāng)x=2022時(shí)，f(2022)+f(2021)+…+f(2)+f(1)+f(1=2022-1=2021故答案為：20211【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式以及代數(shù)式求值，理解新定義的運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇·灌南縣新知雙語學(xué)校八年級階段練習(xí)）在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們定義一個(gè)新運(yùn)算“★”如下：x?y時(shí)，x★y=x2；x>y時(shí)，x★y=y．則當(dāng)z=-3時(shí)，代數(shù)式(-2★z)·z-(-4★z)的值為【答案】-7【分析】由新定義運(yùn)算法則可得(-2)★(-3)=(-3),(-4)★(-3)=(-4)2【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：當(dāng)z=-3時(shí)，原式=(-2)★(-3)×(-3)-(-4)★(-3)=(-3)×(-3)-(-4)=9-16=-7，故答案為：-7．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算的理解，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握“新定義的運(yùn)算法則”是解本題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇·八年級）定義一種新的運(yùn)算：a?b=3a-5ba>b3ab【答案】5【分析】根據(jù)公式求出1?8的值，再代入5?1?8【詳解】解：∵1<8，∴1?8=35?1?8=故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查了新定義公式，正確理解公式的計(jì)算方法及公式中字母對應(yīng)的數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學(xué)八年級期中）對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝11+x，例如：f（3）＝11+3=14，f（13）=131+13=1-14，計(jì)算：f（12006）+f（12005）+f（12004）+…f（13）+f（12）+f（1）+f（1）+f（2）+f（【答案】2006【分析】首先根據(jù)fx=11+x可以得到f1x=x1+x=1-1【詳解】∵f∴f原式=1-==2006故答案是：2006．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的計(jì)算以及分式的代數(shù)求值，準(zhǔn)確的根據(jù)已知條件表示出f113．（2020·江蘇連云港·八年級階段練習(xí)）我們用[m]表示不大于m的最大整數(shù)，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．若3+x=6，則x的取值范圍是【答案】9≤x＜16【分析】根據(jù)[m]表示不大于m的最大整數(shù)，可得6≤3+x＜7，解不等式即可求解．【詳解】解：∵[3+x]＝6，∴6≤3+x＜7，解得9≤x＜16．故x的取值范圍是9≤x＜16．故答案為：9≤x＜16．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合新定義考查估算無理數(shù)的大小的知識，比較新穎，注意仔細(xì)地審題理解新定義的含義．14．（2022·北京·清華附中八年級期中）定義一種新運(yùn)算a，b，若ac=b，則a，b=c，例2，8【答案】35【分析】設(shè)3m=5，3n=7，根據(jù)新定義運(yùn)算的法則可知3，【詳解】設(shè)3m=5，3n∴m+n=(3，∴3m+n∵3m+n∴x=35．故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的運(yùn)算，同底數(shù)冪乘法的逆用．理解題意，掌握新定義下的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．15．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為：am?an＝am+n（其中a≠0，m，n為正整數(shù)），類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m，n的一種新運(yùn)算：f（m+n）＝f（m）?f（n），請根據(jù)這種新運(yùn)算填空：（1）若f（1）＝23，則f（2）＝_____（2）若f（1）＝k（k≠0），那么f（n）?f（2022）＝_____（用含n和k的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）【答案】

49

【分析】（1）將f(2)變形為f(1+1)，再根據(jù)定義新運(yùn)算：f(m+n)=f(m)·f(n)計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)f(1)=k（k≠0），以及定義新運(yùn)算：f(m+n)=f(m)·f(n)將原式變形為kn【詳解】解：（1）∵f(1)=23，∴f(2)=f(1)·f(1)=2（2）∵f(1)=k，f(m+n)=f(m)·f(n)，∴f(n)·f(2022)=k故答案為：（1）49；（2）k【點(diǎn)睛】考查了同底數(shù)冪的乘法，定義新運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．16．（2020·湖南常德·八年級階段練習(xí)）對非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為（x），即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，則（x）=n．如（1.34）=1，（4.86）=5．若（14x+1）=2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是___________【答案】2≤x<6##6>x≥2【分析】根據(jù)題意可得：20.5≤14x+1＜2+0.5【詳解】解：由題意得：20.5≤14x+1＜2+0.5即：14解不等式①得：x≥2，解不等式②得：x＜6，∴原不等式組的解集為：2≤x＜6．故答案為：2≤x＜6．【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2020·江蘇·建新中學(xué)八年級階段練習(xí)）對于正數(shù)x，規(guī)定：fx=xx+1．例如：f1(1)求值：f3+f13=_______(2)猜想：fx+f(3)求f1【答案】(1)1，1(2)1(3)2020【分析】（1）分別算出f（3），f(13)，f（4（2）將1x（3）按照定義式f(x)=xx+1發(fā)現(xiàn)規(guī)律，首尾兩兩組合相加，剩下中間的（1）解：∵f（3）=33+1=∴f(3)+f(1∵f（4）=44+1=∴f(4)+f(1故答案為：1；1；（2）fx證明：∵f(1∴f(x)+f(1故答案為：1；（3）f(=[f(2021)]+f(12021)+f(2020)+f(12020)+……+f（=2020+=20201【點(diǎn)睛】本題考查了定義新運(yùn)算在有理數(shù)的混合運(yùn)算中的應(yīng)用，讀懂定義，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級期末）對實(shí)數(shù)a，b，定義：a◆b=a2b-ab+b(1)求-3◆(2)若2◆m<-6，試化簡：m+22【答案】(1)13(2)-2m-2【分析】（1）直接根據(jù)新定義運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)2◆m<-6求得m的取值范圍，進(jìn)而化簡二次根式計(jì)算即可．（1）解：原式==9=132（2）解：∵2◆m<-6，∴22得m<-2∴原式==-2m-2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算及二次根式的計(jì)算，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．19．（2022·廣東·廣州六中八年級期中）對任意一個(gè)數(shù)m，如果m等于兩個(gè)正整數(shù)的平方和，那么稱這個(gè)數(shù)m為“平方和數(shù)”，若m=a2+b2（a、b為正整數(shù)），記Am=ab．例如：29=22(1)判斷45是否是“平方和數(shù)”，若是，請計(jì)算A45(2)若k是一個(gè)不超過50的“平方和數(shù)”，且Ak=k-9(3)對任意一個(gè)數(shù)m，如果m等于兩個(gè)整數(shù)的平方和，那么稱這個(gè)數(shù)m為“廣義平方和數(shù)”，若m和n都是“廣義平方和數(shù)”，請說明它們的乘積mn也是“廣義平方和數(shù)”．【答案】(1)45是“平方和數(shù)”，A(2)k的值為：17或29或45(3)證明見解析【分析】（1）把45寫成兩個(gè)正整數(shù)的平方和，再根據(jù)Am=ab求出（2）設(shè)k=a2+b2，則Ak=ab，根據(jù)Ak=k-92，得a、b的方程，求得a（3）根據(jù)題意設(shè)m=a2+b2【詳解】（1）45是“平方和數(shù)”，∵45=3∴A45（2）設(shè)k=a2+∵Ak∴ab=2ab=aa-b∴a-b=±3，即a=b+3或b=a+3，∵a、b為正整數(shù)且k是一個(gè)不超過50的“平方和數(shù)”，∴當(dāng)a=1，b=4或a=4，當(dāng)a=2，b=5或a=5，當(dāng)a=3，b=6或a=6，當(dāng)a=4，b=7或a=7，綜上所述，k的值為：17或29或45；（3）設(shè)m=a∴mn=====∵ac+bd，∴mn也是“廣義平方和數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式、完全平方公式和新定義運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出相關(guān)的式子．20．（2022·四川·安岳縣興隆初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）閱讀材料：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1，記為i2=-1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么形如a+bi(a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b①它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：(2+i)+(3-4i)=(2+3)+(1-4)i=5-3i；(3+i)i=3i+i②若他們的實(shí)部和虛部分別相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等；若它們的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)共軛，如1+2i的共軛復(fù)數(shù)為1-2i．根據(jù)材料回答：(1)填空：i3=______，i(2)求(2+i)(2+i)的共軛復(fù)數(shù)；(3)已知(a+i)(b+i)=1+3i，求a2【答案】(1)-i，1(2)3-4i(3)4-i或1-4i【分析】（1）根據(jù)i2=-1，則i3（2）根據(jù)完全平方公式計(jì)算，出現(xiàn)i2，化簡為-1（3）把原式化簡后，根據(jù)實(shí)部對應(yīng)實(shí)部，虛部對應(yīng)虛部列出方程，求得a，b的值，再代入計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵i∴ii4故答案為：-i，1．（2）(2+i)2故(2+i)2的共軛復(fù)數(shù)是3-4i（3）∵(a+i)(b+i)=ab-1+(a+b)i=1+3i，∴ab-1=1，a+b=3，解得a=1，b=2或a=2，b=1，當(dāng)a=1，b=2時(shí)，a2當(dāng)a=2，b=1時(shí)，a2故a2+b2(【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算、完全平方公式，是信息給予題，解題步驟為：（1）閱讀理解，發(fā)現(xiàn)信息；（2）提煉信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（3）運(yùn)用規(guī)律，聯(lián)想遷移．21．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作a,b：如果ac=b，那么例如：因?yàn)?3=8，所以(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：3,9=_________，-12,1(2)令2,6=x，2,7=y，2,42=z【答案】(1)2，4，5(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及新定義計(jì)算；（2）根據(jù)題意得：2x=6，2y=7，【詳解】（1）解：∵32=9，-1∴3,9=2，-12故答案為2，4，5．（2）證明：∵2,6=x，2,7=y，∴2x=6，2y∵6×7=42，∴2x即2x+y∴x+y=z，∴2,6+【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，有理數(shù)的乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，能夠正確運(yùn)算新定義是解題的關(guān)鍵．22．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如果xn=y，那么我們規(guī)定x,y(1)-2,16=________；若2,(2)已知4,12=a，4,5=(3)若5,10=a，

①求25

②求t的值．【答案】(1)4；32(2)y(3)①110；【分析】（1）根據(jù)新定義即可得到；（2）根據(jù)新定義得到4a=12，4b（3）根據(jù)新定義得到5a=10，2【詳解】（1）解：∵-2∴-2∵2∴y故答案為：4，32；（2）解：∵4,12=a∴4a=12，4∴4∵a+∴4∴y（3）解：∵5,10∴5a=10①25②∵5ab=5ab∴5∴ab=∴t【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、冪的乘方以及新定義的實(shí)數(shù)運(yùn)算，掌握同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方是解題的關(guān)鍵．23．（2022·吉林·長春市赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2=-1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，例如計(jì)算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；（1+i）×（2﹣i）=1×2-i+2×i-i根據(jù)以上伯息，完成下列問題：(1)填空；i3=；2i4(2)計(jì)算：①（3+i）（3﹣i）；②(3+i)2(3)若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x+3y）+3i=（1﹣x）﹣yi．（x，y為實(shí)數(shù)），求x，y的值；(4)試一試：請你參照i2=-1這一知識點(diǎn)，將m2【答案】(1)-