拔高點(diǎn)突破01 定比點(diǎn)差法、齊次化、極點(diǎn)極線問(wèn)題、蝴蝶問(wèn)題、坎迪定理（五大題型）

拔高點(diǎn)突破01定比點(diǎn)差法、齊次化、極點(diǎn)極線問(wèn)題、蝴蝶問(wèn)題、坎迪定理目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：定比點(diǎn)差法 2題型二：齊次化 4題型三：極點(diǎn)極線問(wèn)題 5題型四：蝴蝶問(wèn)題 7題型五：坎迪定理 1003過(guò)關(guān)測(cè)試 131、定比點(diǎn)差法是一種在解析幾何有應(yīng)用的方法。在解析幾何中，它主要用于處理非中點(diǎn)弦問(wèn)題，通過(guò)設(shè)定線段上的定比分點(diǎn)，利用圓錐曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系與差異，通過(guò)代點(diǎn)、擴(kuò)乘、作差等步驟，解決相應(yīng)的圓錐曲線問(wèn)題。定比點(diǎn)差法的核心思想是“設(shè)而不求”，即設(shè)定未知數(shù)但不直接求解，而是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算消去未知數(shù)，得到所需的結(jié)果。這種方法在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高解題效率。2、齊次化是一種數(shù)學(xué)處理方法，它通過(guò)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次形式（即各項(xiàng)次數(shù)相等）來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算和提高求解效率。在解析幾何中，齊次化常用于處理與斜率相關(guān)的問(wèn)題，如過(guò)某定點(diǎn)的兩條直線的斜率關(guān)系。通過(guò)齊次化聯(lián)立，可以將復(fù)雜的二次曲線方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程，從而更容易地求解斜率之和或斜率之積等問(wèn)題。3、極點(diǎn)極線是數(shù)學(xué)中的重要概念，尤其在圓錐曲線研究中占據(jù)關(guān)鍵地位。極點(diǎn)通常指圓錐曲線上的特殊點(diǎn)，其切線方程與曲線方程相同；對(duì)于不在曲線上的點(diǎn)，其關(guān)于曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)軌跡形成的直線也被稱為極線。極線則是與極點(diǎn)緊密相關(guān)的一條直線，對(duì)于曲線上的極點(diǎn)，其極線即為該點(diǎn)處的切線；對(duì)于曲線外的點(diǎn)，其極線則是通過(guò)該點(diǎn)作曲線的兩條切線所得的切點(diǎn)弦.4、坎迪定理是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要定理，也被稱為蝴蝶定理的一般形式。該定理描述了在圓內(nèi)的一段弦上任意一點(diǎn)與圓上任意兩點(diǎn)相連并延長(zhǎng)交圓于另外兩點(diǎn)，連接這兩延長(zhǎng)交點(diǎn)與弦上另外兩點(diǎn)相交，所得線段長(zhǎng)度的倒數(shù)之差為常數(shù)。題型一：定比點(diǎn)差法【典例1-1】（2024·高三·江西吉安·期末）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，證明：點(diǎn)Q總在定直線上．【典例1-2】已知橢圓，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方），若有，求橢圓的離心率．【變式1-1】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知，直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點(diǎn)．(1)若，且當(dāng)軸時(shí)，△MON的面積為，求雙曲線的方程；(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實(shí)數(shù)的值．【變式1-2】已知橢圓（）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為（）的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，求【變式1-3】已知，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．【變式1-4】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，，是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，求的值．題型二：齊次化【典例2-1】已知橢圓的中心為，長(zhǎng)軸、短軸分別為，，，分別在橢圓上，且，求證：為定值.【典例2-2】如圖，過(guò)橢圓上的定點(diǎn)Px0,y0作傾斜角互補(bǔ)的兩直線，設(shè)其分別交橢圓于兩點(diǎn)，求證：直線的斜率是定值.【變式2-1】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式2-2】已知橢圓C：.過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為和.設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn)；(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn).題型三：極點(diǎn)極線問(wèn)題【典例3-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為上頂點(diǎn)，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)橢圓方程，平面上有一點(diǎn).定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線;②若過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，割線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn).證明:三點(diǎn)共線.【典例3-2】閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線：，則稱點(diǎn)和直線：是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理：①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；②當(dāng)在外時(shí)，其極線是從點(diǎn)向曲線所引兩條切線的切點(diǎn)所在的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)在內(nèi)時(shí)，其極線是曲線過(guò)點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：已知橢圓：.(1)點(diǎn)是直線：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，，是否存在定點(diǎn)恒在直線上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最大值.【變式3-1】閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過(guò)點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型四：蝴蝶問(wèn)題【典例4-1】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)設(shè)，延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為，求證：為定值．【典例4-2】（2024·高三·江蘇泰州·期末）如圖，已知橢圓，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，C，D在橢圓上，點(diǎn)D在第一象限.CB的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)E，直線AE與橢圓?y軸分別交于點(diǎn)F?G，直線CG交橢圓于點(diǎn)H，DA的延長(zhǎng)線交FH于點(diǎn)M.（1）設(shè)直線AE?CG的斜率分別為?，求證：為定值；（2）求直線FH的斜率k的最小值；（3）證明：動(dòng)點(diǎn)M在一個(gè)定曲線上運(yùn)動(dòng).【變式4-1】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為，直線與橢圓相切．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為的直線過(guò)，與橢圓交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)，分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證為定值．【變式4-2】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．

(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．【變式4-3】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)且______，從下列條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答：注：如果選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)計(jì)分．條件①：橢圓C的離心率，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是3．條件②：橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．(1)求橢圓C的方程．(2)已知A，B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長(zhǎng)交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，證明：直線DE過(guò)定點(diǎn)．題型五：坎迪定理【典例5-1】橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)且斜率存在的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與交于，求證：在定直線上.【典例5-2】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，點(diǎn)C在橢圓E上且異于兩點(diǎn)，分別為直線上的點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)求的值；(3)設(shè)直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．(1)求直線的斜率；(2)設(shè)，直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，（均異于橢圓頂點(diǎn)），證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【變式5-2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知的左、右頂點(diǎn)為、，右焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線、與橢圓分別交于點(diǎn)、，其中，，．（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡；（2）設(shè)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)，求證：直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）．【變式5-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)M（1，0）作直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，若直線AD，BC的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．【變式5-4】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A和B，離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，探求點(diǎn)N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式5-5】（2024·上海楊浦·一模）設(shè)分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在軸上，求的面積.（3）設(shè)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，分別在直線和上，求證：直線恒過(guò)一定點(diǎn).1．已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于軸的直線交橢圓于，（點(diǎn)位于軸上方）兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線交橢圓于，（，異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，求點(diǎn)到直線距離的最大值.2．（2024·全國(guó)·一模）如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)Px0,y0（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過(guò)點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）橢圓方程，平面上有一點(diǎn)．定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點(diǎn)處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線；(3)若過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，，割線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn)．證明：，，三點(diǎn)共線．4．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限內(nèi)，射線，與橢圓的交點(diǎn)分別為，.（1）若，，求橢圓的方程；（2）若直線的斜率是直線的斜率的2倍，求橢圓的方程.5．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若，橢圓C上四點(diǎn)M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.6．已知橢圓C：，，為其左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)A，直線橢圓交于點(diǎn)B，設(shè)，，求證：為定值．7．（2024·河北滄州·一模）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，在線段上取點(diǎn)，使，求證：點(diǎn)在定直線上.8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的離心率為．為橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)滿足．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的一條直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，直線的斜率之積，求實(shí)數(shù)的值．9．在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)點(diǎn)A，B，C，D在上，A，B是關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)位于第三象限，直線AC與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且B，H，D