高中數(shù)學(xué)必修1-5知識點(diǎn) 高考數(shù)學(xué)錯(cuò)題集

高一數(shù)學(xué)必修1知識網(wǎng)絡(luò)

集合

f(l)元素與集合的關(guān)系：屬于(e)和不屬于(住)

⑵集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性

集合與元素

⑶集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集

(4)集合的表示方法：列舉法、描述法(自然語言描述、特征性質(zhì)描述)、圖示法、區(qū)間法

子集：若xwA=>XGB,則A=8即A是弼子集。

1、若集合A中有〃個(gè)元素，則集合4的子集有2”個(gè)，真子集有(2〃?1)個(gè)。

2、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A=A

注

關(guān)系3、對于集合AB,C,如果Aq8且BqC,那么AqC

4、空集是任何集合的(真)子集。

集合,真子集：若AcBJELAa8(即至少存在與e8但x()生A),則A是蹄)真子集。

集合相等：AcBI=IJ4□BQA=8

集合與集合定義：Ac8={x/xcA目XEB}

交集

性質(zhì)：AcA=A,Ac0=0,Ac8=8cAA=8QAC8=A

定義：T4UB={X/XGB\

并集

性質(zhì)：4uA=A,Au0=AAuB=BuA,AuB^A,AQB<^>AUB=B

運(yùn)算f

Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-Card(AnB)

‘定義：CL!A={x/xeUSjceA\=A

補(bǔ)集(性質(zhì)：(Cu4)cA=0,(CuA)uA=U,Cu(G/A)=A,Q(AnB)=(QA)u(QB),

CU(AD8)=(CUA)C(G，8)

41、設(shè)a、8是兩個(gè)正數(shù)，則竺^稱為正數(shù)。、〃的算術(shù)平均數(shù)，而稱為正數(shù)。、/7的幾

2

何平均數(shù).

41、設(shè)a、8是兩個(gè)正數(shù)，則土也稱為正數(shù)a、〃的算術(shù)平均數(shù)，而稱為正數(shù)。、/7的幾

2

何平均數(shù).

42均值不等式定理：若a>0,b>0,則a+b2,即“+?.

2

43、常用的基本不等式：①a?+b222adeR);②"《三產(chǎn)(age/?);

③而(a>0,b>0);④"(a,be7?).

44^極值定理：設(shè)九、y都為正數(shù)，則有(1)若x+y=s(和為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積.取

得最大值2.

4

⑵若孫=p(積為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y取得最小值2〃.

函數(shù)

映射定義：設(shè)48是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x,

在集合B中都有唯一確定的元素)，與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)/?:tB為從集合A到集合B的一個(gè)映射

傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量X,y,并且對于X在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值,

定義按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系/,y都有唯一確定的值和它對應(yīng)。那么y就是A：的函數(shù)。記作y=f(x).

I近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。

定義域

函數(shù)及其表示<函數(shù)的三要素5值域

對應(yīng)法則

解析法

函數(shù)的表示方法<列表法

圖象法

,傳統(tǒng)定義:在區(qū)間［a例上,若。斗<徹幼，如/■(同)</(間)，則/(x)在［。,可上遞增,同是

遞增區(qū)間；如〃司)>/(*2)，則/'(x)在［0］上遞減,［a⑸是的遞減區(qū)間。

導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間小句上，荀'(x)>0,貝，(x)在［a,可上遞增,［a,句是遞增區(qū)間；如/(x)<0

則f(x)在［〃,可上遞瀛［a⑸是的遞減區(qū)間。

函數(shù)〈.最大值：設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對于任意的疣/,都茍?(x)MM；

函數(shù)的基本性質(zhì)&/*］(2)存在卻e/,使得/'(X0)=M。則禰A/是函數(shù)y=f(x)的最大值

取但最小值：設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)N滿足：(1)對于任意的都有/(x)2N：

(2)存在卻e/,使得/'(卻)=此則稱N是函數(shù)y=/(x)的最小值

［⑴〃-x)=-〃xMe定義域￡>,則f(x)叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。

奇偶性(2)/(-X)=/(X),AE定義域D則/(x)叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于道山對稱。

奇偶函教的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱

周期性：在函數(shù)『(x)的定義域上恒有/'(x+rA/aXTVO的常數(shù))則/(X)叫做周期函數(shù)，7為周期；

7的最小正值叫做f(x)的最小正周期，簡稱周期

(1)描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線

向左平移a個(gè)單位：y］=y-a=x=>y=f(x+a)

平移變換.向右平不多。個(gè)單位：yi=y,x\+a=x^>y=f(x-a)

向上平移附單位：x\=x,y\+b=y^>y-b=f(x)

向下平移b個(gè)單位：x\=x,y\-h=y=>y+h=f(x)

‘橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的楨坐標(biāo)勺縮短(當(dāng)卬>1時(shí))或伸長(當(dāng)0<>31時(shí))

到原來的1/w倍(縱,坐標(biāo)不變)，即同=wxny=/(wx)

伸縮變換，

縱坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)升伸長(A>1)或縮短(O<A<1)到原來的A倍

(橫坐標(biāo)不變)，班〉］=y/A=>y=/(x)

函數(shù)圖象的畫法

(2)變換法，關(guān)于點(diǎn)(如NO)對稱《第［現(xiàn)=｛霏駕二;*)，o-y=/(2XOT)

關(guān)于直線4旬對稱：［；邙=2和4：林卻一餐產(chǎn)〃2xo-x)

對稱變換，y~yii?1—y

關(guān)于直線.片卻對稱鄧4芝丫0_產(chǎn)鄧-尸〃x)

關(guān)于直線產(chǎn)謝稱｛評］=)，=尸(x)

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對數(shù)的真數(shù)大于

零；4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中

k7T+-(keZ);余切函數(shù)＞=(\)"中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依

據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、

直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則/(幻+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增(減)

函數(shù)

2、若/(x)為增(減)函數(shù)，則-/(X)為減(增)函數(shù)

3、若/(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則y=/[g(x)]是增函數(shù);若/(x)與g(x)的單調(diào)性

不同，則y=/[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作

函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個(gè)函數(shù)y=/(x)既是奇函

數(shù)又是偶函數(shù)，則/(x)=0(反之不成立)

2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶函數(shù)。

3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)y=/(“)和"=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該

復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則/(x)可以表示為

/(x)=；"(x)+/(-x)]+；"(x)-/(-x)],該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)

偶函數(shù)的和。

零點(diǎn)：對于函數(shù))，=/(X),我們把使〃工)=0的實(shí)數(shù)］叫做函數(shù))，=/(%)的零點(diǎn)。

定理：如果函數(shù))，=/(#在區(qū)間［〃，切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且荀*(a)/。)<0,

零點(diǎn)與根的關(guān)系《那么，函數(shù)y=/(X)在區(qū)間［a,切內(nèi)有零點(diǎn)。即存在cG(a,。)，使削(c)=0,這個(gè)c也是方

程〃％)=0的根。(反之不成立)

關(guān)系：方程/Xx)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù))，=有零點(diǎn)=函數(shù)y=的圖象與x軸有交點(diǎn)

函數(shù)與方程<⑴確定區(qū)間［凡b］,驗(yàn)說(a)-f(b)<0,給定精確度￡；

(2)求區(qū)間(〃，6)的中點(diǎn)c;

函數(shù)的應(yīng)用V

⑶計(jì)算/(c)；

二分法求方程的近似解<①若/(c)=0,貝k就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若了(a)?/(c)<0,則令6=c(此時(shí)零點(diǎn)X。€(a,b))；

③茍1(c)-f(b)<0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn),e(c,b))；

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡：即若a?b<￡,則得到零點(diǎn)的近似值〃(或A);否則重復(fù)2-40

L1I

幾類不同的增長函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用《用已知函數(shù)模型解決問題

建立實(shí)際問題的函數(shù)模型

'根式：U7,〃為根指數(shù)，。為被開方數(shù)1,------??_

=a〃

分?jǐn)?shù)指數(shù)尋

(rs

指數(shù)的運(yùn)算，aa=a「+'(a>0,?,5GQ)

指數(shù)函數(shù)，性質(zhì)(ar)s=ars(a>0,r,seQ)

(ab)r=arbs(a>0,b>0,reQ)

指數(shù)函數(shù),定義：一般地把函數(shù),=ax(a>0且a*1)叫做指數(shù)函數(shù)。

1性質(zhì)：見表1

對數(shù)：X=log“N,a為底數(shù)，N為真數(shù)

loga(M-N)=10gM+logqN；

基本初等函數(shù)

,M

log,------=M-log〃N;

對數(shù)的運(yùn)算?

性質(zhì)L〃

對數(shù)函數(shù)1log〃M"=n1ogM;(a>0,aW1,M>0,N>0)

換底公A：Iogb=------------(a,c>0且a,c01,b>0)

log.a

對數(shù)函數(shù)1無義：一般地把函數(shù)y=log”x(a>0且aw1)叫做對數(shù)函數(shù)

［性質(zhì)：見表1

■y嶺f定義：一般地,函數(shù)y二”叫做事函數(shù)，X是自變量，。是常數(shù)。

品國數(shù)《,

［性質(zhì)：見表2

表：4>0,4W1)

1指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)(a>0,〃w1)對數(shù)數(shù)函數(shù)y=iog?尤

定

義xeRX€(0,+<>o)

域

值

ye(0,+~)yeR

域

0<<?<1[0<??<1:L

圖\1一一

象a>1

\1

-1

過定點(diǎn)(0,1)過定點(diǎn)(1,0)

減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

XG(-8,0)時(shí),ye。,+°°xe(-oo,0)H'f,ye(0,1)xw(0,l)時(shí)，ye(0,+oo)x￡(0,l)時(shí),ye(-oo,0)

%￡(0,+oo)時(shí),ye(0,1)xe(0,+oo)時(shí)，ye(1,-Kx>)XG(l,+8)時(shí),ye(-8,0)xe(I,—)時(shí)，ye(0,—)

性

質(zhì)

y-a

L乂-

LJ1J，=logaX—

>

r~a<h

a<ba>ba>b

表2氟函數(shù)y=x"(a￡R)

a-La<00<a<la>\<7=1

q

\(1,1)

P為奇數(shù)■/<1.1)

奇函數(shù)

Z.-l、jIZ

q為奇數(shù)-S,(--'Z

H,-n\

1

/

p為奇數(shù)\(1,1)

q為偶數(shù)

\,

為偶數(shù)

P-/偶函數(shù)

q為奇數(shù)上一(-bl)'y'/a,i)

第一象限

減函數(shù)增函數(shù)過定點(diǎn)（0,1）

性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)

一、直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行

或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°WaV180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常

用k表示。即*=12110。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)aw［（T,90"）時(shí)，k>0；當(dāng)ae（90°,180°）時(shí)，k<Q；當(dāng)a=90°時(shí)，上不存在。

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：攵=乂二

注意下面四點(diǎn)：（1）當(dāng)為=九2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

（2”與Pi、P2的順序無關(guān)；（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求

得；

（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

（3）直線方程

①點(diǎn)斜式：y-y=Z（x-X1）直線斜率A,且過點(diǎn)（芭,義）

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0,直線的方程是尸為。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因I

上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于XI,所以它的方程是X=Xi。

②斜截式：y^kx+b,直線斜率為匕直線在y軸上的截距為8

③兩點(diǎn)式：—~~—=―—―（工產(chǎn)七,丫尸力）直線兩點(diǎn)（百,y）,（x2,y2）

必一,々一西

④截矩式：-+—=1

ab

其中直線/與x軸交于點(diǎn)（a,0）,與y軸交于點(diǎn)（0⑼，即/與x軸、y軸的截距分別為a,0。

⑤一般式：Ax+By+C=Q（A,5不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于x軸的直線：y=b（。為常數(shù)）；平行于y軸的直線：x=a（a為常數(shù)）；

（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

（-）平行直線系

平行于已知直線4X+JV+G）=0（4,30是不全為o的常數(shù)）的直線系：

4%+與）+。=0（c為常數(shù)）

(二)過定點(diǎn)的直線系

(i)斜率為A的直線系：y-y()=k(x-xa),直線過定點(diǎn)(公,%)；

(ii)過兩條直線4:用y+G=0,。：4%+與y+G=。的交點(diǎn)的直線系方程為

(4X+用丁+。)+/1(4關(guān)+員＞+。2)=0(無為參數(shù))，其中直線6不在直線系中。

(6)兩直線平行與垂直

:=

當(dāng)4:y=kxx+bx,l2y42%+。2時(shí)，

Ii"'o%=k29b1b296_L4=k1k?=—1

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

(7)兩條直線的交點(diǎn)

4:A/+qy+G=012:A2x+B2y+C2=0相交

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組[Ax+qy+G=°的一組解。

[A2犬+B2y+C*2=0

方程組無解O/J〃2；方程組有無數(shù)解O/1與力重合

(8)兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(x”％),歡迎,巴)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

則IAB\=血-9+⑵一方

(9)點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線/,:4c+Bv+C=0的距離,_版+8%+)

ylA2+H2

(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的

半徑。

2、圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2=/,圓心(“,8),半徑為r;

(2)一般,方程F+J+m+￡1),+尸=0

當(dāng)。2+七2—4尸〉。時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為12半徑為一;J》+E-4F

當(dāng)。2+七2-4/=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)。2+七2-4尸＜0時(shí)，方程不表示任何圖形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,

需求出a,b,r;若利用一般方程，需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

(1)設(shè)直線/:4+6)，+C=0,圓C:(x—Q+()，-"=/,圓心C(a㈤到/的距離為

\Aa+Bb+C\,則有與。相離；＜/=廠=/與。相切；"＜「＜=＞/與C相交

\IA2+B2

(2)設(shè)直線/：Ax+By+C=0,圓C:(x-a)2+(y-幼2=/,先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一

元二次方程之后，令其中的判別式為△,則有

△＜00/與。相離；△;?！?/與C相切；△:^?/與^^目交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式"。+?0=〃去解直線與圓相切的問題，其中

(看,%)表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。

（3）過圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓了2+32=，，圓上一點(diǎn)為（Xo,yo）,則過此點(diǎn)的切線方程為n0+?0=/（課本命題）.

②圓（x-a）2+（y/）2=/,圓上一點(diǎn)為（x〃y0）,則過此點(diǎn)的切線方程為（x0-a）（x-a）+（yo1）（y-b）=/（課

本命題的推廣）.

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

設(shè)圓C1:（x-a,）2+（y-乙》=r2,C2：（x-%-％*

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑曲和（笑），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

當(dāng)4>7?+r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng)d=??+r時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)R-「<"</?+「時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；

當(dāng)d<H—r時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=0時(shí)，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

底而

（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共

邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCOE-A'B'C'D'E'或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱A。

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且

相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何

體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P-A'B'C'D'E'

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到

截面距離與高的比的平方。

（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)P-AB'C'DZ'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾

何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖

是一■個(gè)矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何

體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)；側(cè)視圖(從左向右)、

俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖----斜二測畫法

斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長，h為高，”為斜高，1為母線)

S直棱柱側(cè)面積~chS圓柱便J=s正棱錐1mB積=5，”S圓錐側(cè)面積="/

$正校臺(tái)面積=—(c1+c2)h'S圓臺(tái)側(cè)面積=(r+R)M

S圓柱表=2兀r(r+/)S|a錐我=/rr(r+/)S圓臺(tái)表=〃(廠+rl+RI+R~

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

%=Sh?柱—Sh-7rr~h曝=

2

匕=；(S'+炳+S)h/臺(tái)=1(5'+VF?+S)h=g〃(產(chǎn)+rR+R)/7

(4)球體的表面積和體積公式：V球=2萬代；S球而=4萬公

4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

(1)平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的;

②平面的表示：通常用希臘字母a、B、Y表示，如平面a（通常寫在一個(gè)銳角內(nèi)）；

也可以用兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC。

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)4在平面a內(nèi)，記作Aca;點(diǎn)A不在平面a內(nèi)，記作A任a

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)4的直線/上，記作：AE/；點(diǎn)4在直線/外，記作

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi)，記作/ua；直線/不在平面a內(nèi)，記作/aa。

（2）公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面

內(nèi)。

（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號語言表示公理1：Aea=/ua

（3）公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平

面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

（4）公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直

線

符號：平面a和B相交，交線是a,記作anB=a。

符號語言：PeAC\B^AnB=l,Pel

公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。

③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。

（5）公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行

（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

?異面直線所成角：直線。、方是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)0,分別引直線能〃叫”

//b,則把直線優(yōu)和"所成的銳角（或直角）叫做異面直線。和b所成的角。兩條異面直線

所成角的范圍是（0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線

互相垂直。

說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。

②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)

選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。

（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

直線不在平面內(nèi)照交——只有一個(gè)公共點(diǎn).

（或直線在平面外）忤行一~被有公共

三種位置關(guān)系的符號表示：auaaPIa=Aa//a

（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒有公共點(diǎn)；a〃B

相交----有一條公共直線。aClB=b

5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。

線線平行n線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行n線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個(gè)平面平行的判定定理

（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

（線面平行T面面平行），

（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。

（線線平行T面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行T線面平

行）

（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行T線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。

②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂

直。

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組

成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。

（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一

個(gè)平面。

9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線

a,bf,形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成

的角。

（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0°。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條

直線和這個(gè)平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，二計(jì)算

在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，

在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過斜線上的一

點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二

面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射

線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平

面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為

二面角的平面角竹

7、空間直角坐標(biāo)系./

(1)定義：如圖，O8CO-DA8C是單位正方體.以A為原點(diǎn)，1

分別以0D,0A',0B的方向?yàn)檎较颍⑷龡l數(shù)軸x軸.y軸.z軸。,J-A―p.??

這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.匕

1)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2)x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3)過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐

標(biāo)面。

(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向

為x軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的

相位置。

(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組

(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)(x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y

叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo))

222

(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：d=7(X2-)+()+(z2-z1)

高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

§1算破初步

?秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對于一個(gè)n次多項(xiàng)式，

只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：

anx"+%_]X"T+...+%=((((6z/tx+an_x+an_2+...)x+a2)x+a]

例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式3%6+4/+5/+6/+7/+8x+l,當(dāng)x=0.4時(shí)，

需要做幾次加法和乘法運(yùn)算？答案：6,6

即：(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1

?理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意

義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是

空調(diào)使用的算法…(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語言(本書指偽代碼).

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可

以是一個(gè)或多個(gè)。沒有輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機(jī)器在

一定時(shí)間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②控制

結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

?流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結(jié)

構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到

判斷框時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流程,

然后檢查這個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時(shí)候也就可以有幾種書寫方

法了。

3.在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定栗用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一

制轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

II.選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure):或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時(shí)主要是

注意臨界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語句，不能同

時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件

成立時(shí)，執(zhí)行某語句，至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。

此循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure)：它用來解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問題，分直到型(until)

和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知