2021年高考數(shù)學(xué)（理）模擬考場仿真演練卷（課標(biāo)全國Ⅱ卷）（解析版） (二)

絕密★啟用前

2021年高考數(shù)學(xué)(理)模擬考場仿真演練卷

第三模擬

本試卷共23題(含選考題)。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題

卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={削2犬—7x—4<0},B={^ln(x-l)>0},則408=()

A.(1,4)B.[1,4)C.(2,4)D.[2,4)

【答案】D

解不等式2/一71-4<0得—g<x<4,則A=1—g,4)；

解不等式ln(x-1)20得122，則6=[2,+a)).

所以，=41n[2,+8)=[2,4).

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z=-l+Gi，I為z的共輾復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)卬=三，則下列結(jié)論錯誤的是

Z

A.卬在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

B.|w|=1

C.W的實(shí)部為-工

2

D.w的虛部為6

【答案】D

【分析】

，:z=-l+6i，I為z的共軌復(fù)數(shù)，則彳=一1一后，

.七-羽「一z_-1-A/3Z_(-1—>/3z)(-1—>/3z)_-2+2>/3z_1百.

z-1+V3z(-1+V3z)(-1-V3z)422

卬在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(―3，今)，位于第二象限,|用=1[=1,卬的實(shí)部是一；，

虛部是43,所以A,B,C正確，。錯誤.

2

故選：D.

3.設(shè)向量2=(1,2),=且(a+/;)_La,則實(shí)數(shù)加=()

33

A.—3B.—C.—2D.----

22

【答案】A

【分析】由題意，向量4=(1,2),可得〃+/?=(加+1,1),

因?yàn)?a+b)_LQ,可得(〃+/?)_La=根+1+2=0,

解得：m=—3.

故選：A.

4.如圖所示，“嫦娥四號”衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)

入以月球球心尸為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入

仍以尸為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，若用2G和2c2分別表示橢圓軌道I和H的

焦距，用24和2a2分別表示橢圓軌道I和H的長軸長，給出下列式子：①

4一。=a,-C2；②4+q=4+。2；③qa,>3；④2.其中正確的是()

qa2

2

A.②③B.①④C.①@D.②④

【答案】C

【分析】由q=|P「|，/一。?=|P「|，得q-9=4-C2,故①符合題意；

由圖可知％>/，。>。2，6+。>。2+。2，故②不符合題意；

q-G=a,-Q,q1——[=4]—~

IaJI%

1--<1--^-,

axa2

,故④不符合題意，③符合題意.

故選:C.

5.下列命題正確的是（）

A.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量K?的觀測值越大，“認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)”這種判斷

犯錯誤的概率越小

B.己知X~N（〃,b2）,當(dāng)M不變時，。越大，X的正態(tài)密度曲線越高瘦

C.若在平面a內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到平面，的距離相等，則平面。〃平面￡

D.若平面a_L平面夕，直線相，&,nllm,則〃〃/

【答案】A

【分析】對選項(xiàng)A,因?yàn)殡S機(jī)變量長2的觀測值越大，說明兩個變量有關(guān)系的可能性越

大，即犯錯誤的概率越小，故A正確;

對選項(xiàng)B,當(dāng)M不變時,b越大,X的正態(tài)密度曲線越矮胖，故B錯誤；

對選項(xiàng)C,當(dāng)平面a與平面夕相交時，在平面a內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到平面夕的距離

相等（在平面尸的兩側(cè)，一側(cè)兩個點(diǎn)，一側(cè)一個點(diǎn)），故C錯誤；

對選項(xiàng)D,若平面C平面尸，直線〃〃機(jī)，則直線〃有可能在平面月內(nèi)，

故D錯誤.

故選：A

6.設(shè)aeR,則“a?2”是“。2一3。+2勺0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】解：解不等式。2一3。+240得lWaW2,

因?yàn)榭?2]（-00,2],所以“aW2”是“a2_3a+2W0”的必要不充分條件.

故選：B.

7.劉徽注《九章算術(shù)?商功》“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉腌.

陽馬居二，鱉腌居一，不易之率也?合兩鱉腌三而一，驗(yàn)之以茶，其形露矣."如圖一解釋

了由一個長方體得到“塹堵”、“陽馬”、"鱉麝”的過程.塹堵是底面為直角三角形的直棱柱;

陽馬是一條側(cè)棱垂直于底面且底面為矩形的四棱錐；鱉席是四個面都為直角三角形的四

面體.

圖一

4

圖二

在如圖二所示由正方體得到的塹堵ABC-中，當(dāng)點(diǎn)P在下列三個位置:4A中點(diǎn)、

4B中點(diǎn)、4c中點(diǎn)時，分別形成的四面體P-ABC中，鱉腌有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析I設(shè)正方體的棱長為。，則由題意知，4G=AC=J5a,AB=Oa，

4c=上a'

當(dāng)P為4A的中點(diǎn)時，因?yàn)镽4上面ABC,則ZPAC^APAB=90°，NABC=90°，

2222

則PB=VPA+AB=+=$a，PC=yjPA+AC=信+2〃=|a,

又BC=。，則BC~+PB1=PC2.則口//。是直角三角形，即此時P-ABC是整懦；

當(dāng)P為48的中點(diǎn)時，因?yàn)?c_1面4844,所以8CJ,PB,BC，A8,

所以△PBC,ZXA6C為直角三角形，因?yàn)槭钦叫?，所以APL3P，

則△PAB是直角三角形，則PA=與a,PC=\1BC2+PB2==等。，

又BC=a，由勾股定理可知，口依。不是直角三角形，則此時尸—A5c不是鱉席；

當(dāng)月為的中點(diǎn)時，此時PA=PC=‘AC=?，又AC=缶，由勾股定理可

22

知，

△R4c不是直角三角形，則此時尸一ABC不是鱉嚅；

故選:B.

8.拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為F,直線/過點(diǎn)F,斜率攵＞0,且交拋物線C于A,8（點(diǎn)

A在x軸的下方）兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為如AA.1m于4，841機(jī)于瓦，下列結(jié)論

錯誤的是（）

uuuuuur-11V

A-右BF=3FA,則％=6B.—+—=1

C.若％=1,則|AB|=12D.=90°

【答案】C

【分析】延長8A,交準(zhǔn)線用于0,如圖,

設(shè)|FAR尸⑷=1BBJ=3t,\AQ\=x,

\QA\_\AA.\_xtc

[）ii]AA|//BB]=>=—=>x=21,

\QB\~\BB.rx+4f3f

故N4AQ=60。，k=6,A正確;

x=^y+1

設(shè)A（Xj,必）,B（X2,y2）,聯(lián)立直線與拋物線〈21，得產(chǎn)的：4=0,yi+v2=4Z:,yiy2=-4,

y=4x

y2y2J_111X]+工2+2

1,故8正確;

中2=十亍=L而+畫—不j+f

X|X2+X]+%2+1

若仁1,玉+々=（0|+1）+（。2+1）=（乂+%）+2=6,|48|=玉+々+2=8,故C

錯誤；

NOFB]=NBBF=NB〔FB,NOR=ZAA,F^Z^FA,

：.幺FByNOFB]+NOE4,=；（NOFB+NOE4）=90°,故O正確.

故選：C.

9.筒車是我們古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用

圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖所示，已知筒車的半徑為4m,筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到

水面的距離為2m，筒車沿逆時針方向以角速度研0＞。）轉(zhuǎn)動，規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)

6

的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（即4時的位置）時開始計(jì)算時間，且以水輪的圓心。為坐標(biāo)原點(diǎn),

過點(diǎn)0的水平直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)盛水筒M從點(diǎn)外運(yùn)動到點(diǎn)P

時經(jīng)過的時間為f（單位：s）,且此時點(diǎn)p距離水面的高度為〃（單位：米），筒車經(jīng)

A.當(dāng)r=16s時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合

B.當(dāng)re[51,65]時，力一直在增大

C.當(dāng)fe（O,5O）時，盛水筒有5次經(jīng)過水平面

D.當(dāng)r=50時，點(diǎn)P在最低點(diǎn)

【答案】c

【分析】設(shè)/43=9（_]＜夕＜0）,依題意sinc=_g.又所以

JT7T（7C\

（P=--.又4。2=加一一，圓。的半徑為4,所以尸點(diǎn)滿足"4sin加一”，

66v67

JTTT7T（717T\

當(dāng)f=6時，6（y--=y,解得0=所以y=4sin[§n-wJ，故

（兀萬、2%—1g

/i=4sin+2.該函數(shù)最小正周期為n一,所以當(dāng)r=18s時，點(diǎn)尸與點(diǎn)

196J~

4重合,選項(xiàng)A錯誤;

7777TTTT

令---《—,t<24乃H—(keZ),解得18Z—3W/W18攵+6(%￡Z),當(dāng)

2962

攵=3時，51</<60,又因?yàn)閇51,65]U[51,60],所以選項(xiàng)B錯誤；

A.人.(兀乃八.(九兀\1~

令〃=4sin[§?/-%J+2=0,即sin[§kj=一]，所以

T[7T7T7TTC17T

—t---=2k冗------(kGZ)或—t---=2kjiH-----(k￡Z),解得，=18k或

966966

f=18Z+12(ZeZ).又/e(O,5O),所以f可以取的值為12,18,30,36，48,

此時盛水筒有5次經(jīng)過水平面，選項(xiàng)C正確；

(Jr974

當(dāng)，=50時，%=4sin—x50—?—+2=4sin———+2w—2,所以選項(xiàng)D錯誤,

\96)18

故選：C.

10.在等差數(shù)列｛m｝中，。3+防=融+7,aio=19,則數(shù)列｛mcos〃江｝的前2020項(xiàng)的和為

()

A.1009B.1010C.2019D.2020

【答案】D

,.(24+6d=4+3d+7

【分析】設(shè)｛a,,｝的公差為d，則有二，，二,

<+9J=19

解得4.，

d=2

：.=2〃-1,

設(shè)bn=ancos〃兀，

則向+仇=4cos兀+a2cos2兀=2,4+仇=a3cos3兀+a4cos4兀=2,

:.數(shù)列｛aJcoSWF的前2020項(xiàng)的和

$2020=(偽+偽)+(4+力4)+…+(%19+%2O)=2X1()1O=2()2O-

故選：D

22

11.已知雙曲線G=-』7=l(a>0,?！?)的左、右焦點(diǎn)分別為月，工，過點(diǎn)F2作

ab

傾斜角為。的直線/交雙曲線C的右支于A3兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且

cos6=；,若|4?|=|世|,則雙曲線C的離心率為()

A.4B.V15C.1D.2

【答案】D

【分析】由雙曲線的定義知，|44|一|4巴|=2。，

因?yàn)閨明=|^\AF｝\-\AF2\=\BF2\=2a,

8

所以忸制=怛聞+2a=4a,

在45耳居中,由余弦定理知,

2

所以L4a+府-16/

42?2。?2c

所以2c2—。。一6。2=0，

c3

因?yàn)閑=—>l,所以2/—e—6=0,解得6=2或6=—二（舍去）

a2

所以雙曲線的離心率為2,

故選：D.

12.已知直線x+y-2=0分別與y=；e*和y=ln2x的圖象交于A（玉,yj,

8（々，%）兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.^-+x2lnx2>0B.玉>?

x\

Xl

C.4>+2xjD.e+In2x2>2

【答案】D

【分析】在函數(shù)y=的圖像上任取一點(diǎn)（a,。），則b=ge",即4=e"

由28=e"，兩邊取以e為底的對數(shù)，得到ln?=a即點(diǎn)0,以）滿足函數(shù)y=ln2x表

達(dá)式.

所以在函數(shù)y=g/的圖像上任取一點(diǎn)（a,與，都有點(diǎn)（8,a）在函數(shù)y=In2x的圖像上.

故函數(shù)y=ln2x及函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

又直線y=-x+2與直線y=x垂直，且相交于點(diǎn)（1,1）.

從而直線y=-％+2與函數(shù)y=ln2x及函數(shù)y=-ex的圖象的交點(diǎn)A（x.,y）,

3（々,%）也關(guān)于直線丁=%對稱，

.?.毛=)1，^=y2,又A(x,,yJ在y=-x+2|二,

即有X1+X=2,故為+%2=222J%%，

則玉工241，由于X聲/，所以占％2<1?

對于A,令g(x)=3^,xe(O,l),g<x)=1>0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?<西々<1，所以0<西<」-<1,

In-

所以

g(xj<g—=-7^~=一々Jnx2,

\X2)

所以皿<一々m々，所以皿+x21nx2<0，故A錯誤.

王玉

由圖象易知玉<1<元2，故8錯誤.

2y=e"|,

又?.?2%+2y=4,2玉+eX|=4,C錯誤.

由％+%=2,可得乂+必=2,即;e*+1112々=2,

又由e*>,e*,可得e*+ln2x,>2,故。正確.

2-

故選：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

已知角a滿足sin[a-V,則sin12a+2

13.

10

7

【答案】-

所以有:

22

sinf2?+-l=cos7V一2a+看=cosf26z--j=l-2sin|6Z--j=l-2x(-),

I6JI3jI6)39

7

故答案為：一.

9

14.若函數(shù)/（幻=-爐+4以在［1.3］內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

13

【答案】（5，萬）

【分析】先求出函數(shù)的對稱軸x=2a,由于函數(shù)在［L3］內(nèi)不單調(diào)，所以對稱軸在此區(qū)

間，即1<2。<3,從而可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍

15.如圖，在四棱錐P-A38中，24,底面ABC。，底面ABC。是矩形，PB=5,

PA=3,點(diǎn)M在棱8C上，且AA/J_r）M，則當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，

cosZ.CMD=.

【分析】設(shè)AD=BC=x,BM=y,則CA/=x-y,其中x>y>0.

：底面ABC￡>，PA上AB又PB=5,PA=3,：.AB=4.

由勾股定理知A"2=AB?+3A/2=16+J,￡>A/2=C￡)2+CM2=16+(x-y)2.

AMYDM,AM2+DM2AD2

即16+y2+i6+(x-y)2=f,整理得j?一孫+]6=0,即彳=，'-+16.

過點(diǎn)M作丁點(diǎn)N,再過點(diǎn)N作NQJ.PDF點(diǎn)。，連接

：Q4_L底面ABC。，Q4u平面尸AO，二平面24￡>，底面A8CD，

乂平面P4E>n底面438=4。，MNu平面ABC。，

A/N_L平面P4O，則M/VJ_P￡).

又NQ工PD,MNCNQ=N,：.PDL平面MNQ,

：.PDLMQ,即MQ為公PDM的邊PD上的高.

在△PAD中，sinZPDA=,

DNPD

.9（x-yV

MQ?=MN2+N^1=16+二~~%

~9+f

22XX例

S1PMD=［^MQ-PD\=^MQPD=^16+9R）.（9+2）=；［16（9+1）+9（—

把x=2工笆代入上式，化簡得：

y

c21「，/225X1621(Io25xl62“，］”，

^"PMD~~16>2+------+656>—2-J16y----j—+656=324,

44

LKJl\yJ

當(dāng)且僅當(dāng)y=2逐，了="譽(yù)=生叵時，等號成立，此時的面積取得最小

2V55

值，

CD_4__________4_________x/5

加36+（X7）2小+［哈2可3

又NCMOe（0,5）,所以cosNCAW=g.

16.在學(xué)習(xí)推理和證明的課堂上，老師給出兩個曲線方程G:6+4=1；

12

44

C2:x+y=1,老師問同學(xué)們：你想到了什么?能得到哪些結(jié)論?下面是四位同學(xué)的回

答：

甲：曲線G關(guān)于y=x對稱；

乙：曲線G關(guān)于原點(diǎn)對稱；

丙：曲線G與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積，＜；：

n

T：曲線G與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積S2＜］；

四位同學(xué)回答正確的有（選填“甲、乙、丙、丁“）.

【答案】甲、乙、丙

【分析】對于甲的回答，在曲線G上任取一點(diǎn)（。功），則&+揚(yáng)=1,

點(diǎn)（a,。）關(guān)于直線y=X的對稱點(diǎn)為（仇a）,且6+&=1,

所以，曲線G關(guān)于y=x對稱，甲的回答正確；

對于乙的回答，在曲線G上任取一點(diǎn)（a，》），則。4+。4=1，

點(diǎn)（凡。）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（一名一匕），則（―4+（—力=/+/=1,

所以，曲線。2關(guān)于原點(diǎn)對稱，乙的回答正確；

對于丙的回答，對于等式五+4=1,0W拒41,可得04y＜i,同理可得O＜XW1,

當(dāng)0＜a＜l時，a＜4a當(dāng)0＜匕＜1時，b＜加，

在曲線6+拒=1（0＜%＜1,0＜?。?）上任取一點(diǎn)（4,/?）,則1=夜+正＞“+6，

即點(diǎn)（。乃）在直線x+y=l的下方，如下圖所示：

2

直線x+y=1交x軸于點(diǎn)A（l,0），交y軸于點(diǎn)3（0,1）,所以，百＜5AOAB=1X1=1,

丙的回答正確；

對于「的回答，在曲線/+丁4=1（。＜》＜1,0＜卜＜1）上任取一點(diǎn)（“/）,

因?yàn)?<a<l，0</?<1，貝,

W\i=a4+b4<a2+b2,即點(diǎn)（。,匕）在圓f+y2=i夕卜，如下圖所示:

jrjr

圓V+y2=1在第一象限內(nèi)與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域的面積為x『=—,所以，

44

S,>?冗,丁的回答錯誤.

故答案為：甲、乙、丙.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必

考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）如圖，四棱錐P-ABCQ中，ABCD,AD//BC,XBAD=120°,

A8=A￡>=2,點(diǎn)M在線段尸。上，且。M=2MP,尸8〃平面MAC.

（1）求證：平面M4C_L平面以Q；

⑵若PA=3,求平面PAB和平面MAC所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析?；

⑶3而

20

【分析】（1）連接8。交AC于點(diǎn)E,連接ME,如圖所示:

14

M

'：P8〃平面MAC,PBu平面PBD,平面PBD[\平面MAC=ME,

DEDMAD,,,一

：.PB//ME,——=——=——=2,貝而AB=2,ZABC=6Q°>

BEPMBC

：.AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSZABC=4+1-2-21--=3,

2

.'.AC^+BC^^AB2,ZACB=90°,ZCAD=90°,即CALAD,

乂以_L平面A8C7),C4u平面A8C。，：.PA±CA,又％慶4，二。_1_平面出￡>,

而C4u平面AMC,平面AMC_L平面外力.

(2)如圖所示：

以A為原點(diǎn)，射線AC,AD,AP分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,3),A(0,0,0),B電,-1,0),C(V3,0,0),M(0,|,2),

...PA=(0,0,-3),AB=(V3,-1,0),MA=(0,――2),配=(百,0,0),

uuu

設(shè)平面陽B和平面MAC的一個法向量分別為勺=(%,y,Z]),嗎=(孫％，Z2)，

平面PAB和平面MAC所成銳二面角為。,

nPA=Q_-3z,=0

}=>4=(1,百,0),

4-AB-06不-X=0

%.MA=0——y-2z,=0一

___=>〈3-2-n%=(0,3,-1),

n-AC=0

2瓜廣0

3733730

/.cos0-

|加|?|石I2>/10-20

18.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,4=4,5?=^??+,+2.

（1）證明：數(shù)列｛5,,—2｝為等比數(shù)列，并求出S.；

（2）求數(shù)列，」的前〃項(xiàng)和7；.

【答案】（1）證明見解析；S?=2x3"-'+2;（2）T“=》——二.

'88x3"<

【分析】（1）由已知Sn=；（S,+1—S“）+2,整理得，S“+|=3s“—4.

所以S,用-2=3（S,一2）,當(dāng)〃=1時，￥=34+2=4,

所以｛S“一2｝是以$—2=2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)歹,

所以S“一2=2x3”一1,所以S“=2x+2；

(2)由(1)知，S“=2x3'i+2,

當(dāng)〃=1時，q=S]=4,

4,n=l

所以4=<

4x3,,-2,n>2,

當(dāng)〃=1時，工=；

—二，對〃=1也滿足.

當(dāng)時，T=—+—+

8X3"2

"qa2

故——二.

88x3n-2

19.（12分）我國探月工程嫦娥五號探測器于2020年12月1日23時11分降落在月球

表面預(yù)選著陸區(qū)，在順利完成月面自動采樣之后，成功將攜帶樣品的上升器送入到預(yù)定

環(huán)月軌道，這是我國首次實(shí)現(xiàn)月球無人采樣和地外天體起飛，對我國航天事業(yè)具有重大

而深遠(yuǎn)的影響.某校為了解高中生的航空航天知識情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問卷，從該校

高中生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生參加測試，記錄了他們的分?jǐn)?shù)，將收集到的學(xué)生測試的評分

16

數(shù)據(jù)按照[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分組，繪制成評

分頻率分布直方圖，如下:

(1)從該校高中生中隨機(jī)抽取的學(xué)生的測試評分不低于80分的學(xué)生有9人，求此次抽

取的學(xué)生人數(shù)；

(2)在測試評分不低于80分的9名學(xué)生中隨機(jī)選取3人作為航空航天知識宣傳大使,

記這3名學(xué)生中測試評分不低于90分的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)觀察頻率分布直方圖，判斷該校高中生測試評分的均值。和評分的中位數(shù)人的大

小關(guān)系.(直接寫出結(jié)論)

【答案】(I)20：(2)分布列見解析：期望為1；(3)a<b.

【分析】解：⑴由圖知，學(xué)生的測試評分不低于80分的頻率Q030+0015)x10=0.45.

設(shè)抽取的學(xué)生人數(shù)為〃，

所以0.45/?=9.解得n-20.

所以此次抽取的學(xué)生人數(shù)為20.

(2)由圖知,學(xué)生的測試評分在［80,90)的頻率0.030x10=0.30,在［90,100］的頻率

0.015x10=0.15

所以20x0.30=6,20x0.15=3.

所以學(xué)生的測試評分不低于80分的9名學(xué)生中，評分在［80,90)的有6人，在［90,100］

的有3人,

所以X的可能取值為0，1,2,3.

C35C2C'15

P(X=O)=W=2；尸(x=i)=工

C；21C；28

23

P(X=2)=9C'c=工3%*=3)=c2」1

1484

所以X的分布列為

X0123

51531

P

21281484

所以X的數(shù)學(xué)期望如。吟+1X畀24+3$"

(3)a<h.

20.（12分）已知拋物線。：/=2W的焦點(diǎn)為尸（1,0）,斜率為攵的直線4過點(diǎn)

尸（0,加）（加>0）,直線4與拋物線C相交于A,8兩點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程：

⑵直線，2過點(diǎn)P（0,，〃）W>0），且傾斜角與4互補(bǔ)，直線4與拋物線c交于M，N

兩點(diǎn)，且口￡48與口尸MN的面積相等，求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

【答案】（1）/=?；（2）（O,l）U（l,V2）.

【分析】（1）由題意，拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為尸（1,0）,可得■|=1,解得p=2,

所以拋物線的方程為y2=4x.

（2）根據(jù)題意，令4：x=f（y-加），l2:x^-t（y-m）,

聯(lián)立方程組〈2:，整理得y—4"+4行7=0，

y=4x

可得力+%=今,以+%=4碗，

2

所以|A81=\/l+t\yA-%|=4，1+產(chǎn),

18

22

S^ABC=-x4＞/l+ry/t-mtx=2＞Jt-mt|1+mt\,

2J1+產(chǎn)

用T代f，可得S"MN=2j產(chǎn)+/加|/用-1|，

所以2飛F-mt|m/+11=2\Jt2+mt|加/一11,化簡得產(chǎn)=-----Y＞。，

z—m~

產(chǎn)+加，＞0,1,廣

又由〈2，可得產(chǎn)＞m2,所以/=——^＞，后,解得0＜加＜0,

t2-mt＞02-m-

又由AE48、AFMN構(gòu)成直線4、4不過。，0）點(diǎn)，即加。1，

所以實(shí)數(shù)用的取值范圍（0,1）U（L夜）.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=aln（x-1）+*+（。-2.+1-。，aeR.

⑴若函數(shù)/（x）在（2,42））處的切線恰好與直線x+4y-l=0垂直,求實(shí)數(shù)。的值;

（2）討論“X）的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)/（x）存在極值，〃x）20在（1,內(nèi)）上恒成立時，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴1；（2）答案見解析；（3）[-1,0）.

【分析】：（1）由題意可知，函數(shù)/（%）的定義域?yàn)椋?,+8），

.1（x）=\+2x+（a-2）.

/'⑵=a+4+（a—2）=2+2a,因?yàn)?（x）在（2,/（2））處的切線與直線

x+4y-l=0垂直，則（2+2a）x（-；）=_l,解得a=i.

,.,,,、2x~+(a—4)x+2

(2)由(1)可知，f(x)=-----~J-----，

令g(x)=2x?+(a-4)x+2,對稱軸為犬=一^―-=1--,

2x24

當(dāng)1—即a?()時，g(x)>0在(l,xo)匕恒成立，所以函數(shù)/(X)在(1,內(nèi))上單

調(diào)遞增；

當(dāng)1一微>1,即a<0時，令g(x)=0,得△=(a-4)2—16=4一8〃>0恒成立，

er-,,14—a—a~-8a,4—a+Jcr—8a,

階以X=--------------<1>x,=-------------->1-

所以g(x)<0在二a*/二陽上恒成立，即函數(shù)在

I)

,4一4-8a)“

1,-------；------上單調(diào)遞減；

4

g(x)>0在44+丁2^￡,+00上恒成立，即函數(shù)/(x)在

/

、

，4-Q+da2-8a

,+8上單調(diào)遞增.

4

7

綜上所述，當(dāng)〃20時.，函數(shù)4人)在(1，+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<0時，，函數(shù)了(同在1,--"+姆上單調(diào)遞減，在

2

'4-Q+\!a-Sa、

--------------------,4-00上單調(diào)遞增.

4

\7

(3)由(2)可知,函數(shù)/(x)存在極值，則”0.

對于Vxe(l,+8),不等式〃x)Z0恒成立，等價于一(:一l)+x—l?__L恒成立

x-2x+la

令f=x-l">0,則電詈<一：恒成立.令硝)=曲詈，小(0,小)，則

=321nt令