數(shù)學(xué)同步優(yōu)化訓(xùn)練：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精3.1。2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類(lèi)訓(xùn)練,可用于課前）1.化簡(jiǎn)sincos-cossin的值是(）A。B。C?！猻inD。sin解析：原式=-sincos+cossin=sin（—）=sin=.答案：B2.（高考北京卷，理5)對(duì)任意的銳角α、β,下列不等關(guān)系中正確的是()A.sin(α+β）＞sinα+sinβB.sin(α+β）＞cosα+cosβC.cos(α+β）＜sinα+sinβD.cos(α+β）＜cosα+cosβ解析：當(dāng)α=β=30°時(shí),可排除A、B選項(xiàng),當(dāng)α=β=15°時(shí),代入C選項(xiàng)中,即0＜cos30°＜2sin15°，兩邊平方得＜4sin215°=4×≈0.268，矛盾。故選D.答案：D3。(高考陜西卷，理13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值為_(kāi)________________.解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°—sin43°sin77°=cos（43°+77°）=cos120°=.答案：4.計(jì)算tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_________________.解析：∵tan60°=tan（20°+40°）=，則tan20°+tan40°=（1—tan20°tan40°)=—tan20°tan40°,因此tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.答案：10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類(lèi)訓(xùn)練,可用于課中）1.要使得sinα—cosα=有意義，則m的取值范圍是（）A.(—∞，］B。[1，+∞）C.[—1,］D.（-∞，-1］∪［,+∞）解析：由已知化簡(jiǎn)，得sinα-cosα=2(sinαcosα)=2sin(α-），∴2sin（α—）=，即sin（α—)=。∵-1≤sin（α—）≤1，∴-1≤≤1。解不等式，可得到—1≤m≤.答案：C2。若在△ABC中，2cosBsinA=sinC,則△ABC的形狀一定是（）A。等腰直角三角形B。直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形解析：在△ABC中，由內(nèi)角和定理A+B+C=π，可以得到π-(A+B)=C.又由于2cosBsinA=sinC，∴2cosBsinA=sin[π—（A+B)］=sin(A+B）=sinAcosB+cosAsinB。整理可得到cosBsinA=cosAsinB,移項(xiàng)可得sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0.在△ABC中，∵—π＜A—B＜π，∴A—B=0，即得到A=B.因此三角形是等腰三角形。答案:C3。已知=，則的值等于()A.B。C。D.解析:在正切函數(shù)運(yùn)算中，經(jīng)常需要用到一個(gè)特殊的數(shù)字“1”，因?yàn)閠an=1,運(yùn)算中要能夠把1與tan靈活代換。由==tan(-α），可知，tan（—α）=。而-α與+α互為余角，則有=tan(-α)=。答案:A4。在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的兩個(gè)根，則tanC等于（）A。2B?！?C.4解析：由tanA、tanB是方程3x2+8x—1=0的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理,有tanA+tanB=,tanA·tanB=.則tanC=tan［π—（A+B）］=-tan（A+B)==2.答案:A5。在△ABC中，若sinA=，cosB=-，則sinC=____________________。解析：由△ABC中，cosB=-，可知B為鈍角,∴sinB=1-cos2B=.又由于sinA=，可知A為銳角，∴cosA=.∴sinC=sin［π-(A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB-cosAsinB=·（-)+·=。答案：6。求的值。解：把原式分子、分母同除以cos15°，有==tan（15°—45°)=tan(-30°)=-.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類(lèi)訓(xùn)練，可用于課后)1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°）—cos（θ+15°)的值等于（）A。B.C。D.0解析：sin(θ+75°)+cos(θ+45°）—cos（θ+15°)=sin（θ+15°+60°）+cos(θ+15°+30°）-cos(θ+15°）=sin（θ+15°）cos60°+cos（θ+15°）sin60°+cos（θ+15°)cos30°-sin(θ+15°)sin30°—cos(θ+15°)=sin（θ+15°)+cos（θ+15°）+cos（θ+15°)-sin（θ+15°)-cos(θ+15°）=0。答案:D2.若cosα=a，sinβ=b，｜a｜≤1，|b｜≤1，且α∈(0，）,β∈(0，π)，則cos(α+β)的值的個(gè)數(shù)是（）A。1B.2C解析：由cosα=a，α∈（0，），得sinα=.sinβ=b，β∈（0，π），得cosβ=±=±.所以cos（α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=±。答案：B3.3sinx—cosx=sin(x+φ），φ∈(-π,π),則φ的值是()A?！狟.C.-D.解析：3sinx—cosx=(sinx·cosx）=sin（x-），所以φ=—.答案:A4。若sin(α+β)cosβ-cos（α+β）sinβ=0，則sin(α+2β）+sin(α-2β)等于（)A.1B.-1C解析：由sin(α+β)cosβ-cos(α+β）sinβ=0，可得sin［(α+β)—β]=sinα=0，而sin（α+2β)+sin（α—2β）=(sinαcos2β+cosαsin2β)+（sinαcos2β—cosαsin2β）=2sinαcos2β=0。答案：C5.△ABC中，cosA=，且cosB=，則cosC等于（)A.B。C.D。解析：由△ABC中,cosA=，可知A為銳角，∴sinA=1—cos2A=.由于cosB=，可知B也為銳角?！鄐inB=.∴cosC=cos［π-（A+B）］=—cos(A+B)=sinAsinB—cosAcosB=··=。答案：B6。已知△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB,則此三角形外心位于它的(）A.內(nèi)部B.外部C.一邊上D。不同于以上結(jié)論解析：由△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB，所以cos（A+B）＞0，得到cosC＜0,因此C為鈍角。在鈍角三角形中，外心位于三角形外部.答案:B7.(2006高考重慶卷,理13)已知α、β∈（，π）,sin（α+β)=-,sin（β-）=，則cos(α+）=_________________________.解析：∵α、β∈（，π），＜α+β＜2π,∴cos(α+β）=?！撸鸡隆?∴cos（β—)=.∴cos(α+)=cos［(α+β）-(β—）］=cos(α+β）cos（β—）+sin(α+β)sin(β-)=×()+()×=。答案：8。函數(shù)y=2sin（-x）—cos（+x)(x∈R）的最小值是_________________.解析：y=2sincosx—2cossinx—coscosx+sinsinx=cosx-sinxcosx+sinx=cosxsinx=cos（x—），所以函數(shù)的最小值為-1.答案：-19。如果α、β、γ都是銳角，并且它們的正切分別為，，，求證：α+β+γ=45°。證明：由tanα=，tanβ=，可知tan(α+β）=。由題意可知tanγ=，則tan(α+β+γ)=tan［(α+β）+γ]==1.根據(jù)α、β、γ都是銳角，且0＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1,0＜tanγ=＜1，可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°.得0＜α+β+γ＜135°。所以α+β+γ=45°.10.求證:tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan20°tan40°=1.證明：由tan60°=tan（20°+40°）=，可得tan20°+tan40°=（1-tan20°tan40°)。所以原式左邊=tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan20°tan40°=（tan20°+tan40°)+tan2