2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 第一講 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理配套課件

第一講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第九章

計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布1.分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n

種不同的方法.項(xiàng)目分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事，且互不重復(fù)每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)【常見結(jié)論】兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1.(2023年太原市期中)現(xiàn)有1元、5元、10元、20元和50元的人民幣各1張，用它們可以組成的不同幣值的種數(shù)為()A.31B.32C.63D.64故共有5＋10＋10＋5＋1＝31(種)不同的幣值.故選A.答案：A

2.如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為“凸數(shù)”(如120，343，275等)，那么所有“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為(

) A.240 C.729

B.204D.920

解析：若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個(gè).若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個(gè)).若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個(gè))，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個(gè)).所以所有“凸數(shù)”有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè)).故選A.答案：A

3.如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個(gè).

解析：當(dāng)有三個(gè)1時(shí)有2111，3111,4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141九種情況，當(dāng)有三個(gè)2，3或4時(shí)有2221，3331，4441三種情況，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有12種情況.答案：12

考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

[例1](1)某學(xué)校的3個(gè)班級(jí)將要去甲、乙、丙、丁4個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí)，要求每個(gè)班只能去1個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí)，且甲工廠必須有班級(jí)參觀學(xué)習(xí)，則不同的參觀方案有()A.16種B.25種C.37種D.48種

解析：每個(gè)班級(jí)都可以從這4個(gè)工廠中選1個(gè)參觀學(xué)習(xí)，各有4種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有43＝64(種)參觀方案，若甲工廠沒有班級(jí)參觀學(xué)習(xí)，此時(shí)每個(gè)班級(jí)都可以從其余3個(gè)工廠中選1個(gè)參觀學(xué)習(xí)，各有3種選擇，共有33＝27(種)參觀方案，所以甲工廠必須有班級(jí)參觀學(xué)習(xí)，不同的參觀方案有64－27＝37(種).答案：C(2)(多選題)有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是()A.每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34

種B.每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43種C.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有33

種

解析：對(duì)于A，第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個(gè)同學(xué)也均有3種報(bào)法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有34種報(bào)法，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×3×2＝24(種)結(jié)果，C正確，D錯(cuò)誤.答案：AC【題后反思】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的.(2)將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成.【變式訓(xùn)練】

1.甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________(用數(shù)字作答).

解析：甲有7種站法，乙有7種站法，丙有7種站法，故不考慮限制共有7×7×7＝343(種)站法，其中三個(gè)人站在同一級(jí)臺(tái)階上有7種站法，故符合本題要求的不同站法有343－7＝336(種).答案：336

2.某次活動(dòng)中，有30個(gè)人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為________(用數(shù)字作答).

解析：最先選出的1個(gè)人有30種選法，則這個(gè)人所在的行和列不能再選人，還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形，可知選第2個(gè)人有20種選法，則該人所在的行和列也不能再選人，還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形，可知選第3個(gè)人有12種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30×20×12＝7200(種).答案：7200

考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

[例2](1)現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對(duì)如圖9-1-1所示的四個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是(

)圖9-1-1A.120B.140C.240D.260

解析：由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，然后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種).故選D.答案：D

(2)甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是0，0，2，1，5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為()A.5B.24C.32D.64

解析：5日至9日，即5，6，7，8，9，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)；第二步安排偶數(shù)日出行，分兩類：第一類，先選1天安排甲的車，另外一天安排其他車，有2×2＝4(種)；第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有22＝4(種)，共計(jì)4＋4＝8(種).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)為8×8＝64(種).答案：D【題后反思】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類.(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么.(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.【變式訓(xùn)練】1.從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中成60°角的面對(duì)角線共有()A.24對(duì)B.30對(duì)C.48對(duì)D.60對(duì)

解析：如圖D85，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與面對(duì)角線AC成60°角的面對(duì)角線有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8條，同理與DB成60°角的面對(duì)角線也有8條.圖D85又因?yàn)槊繉?duì)被計(jì)算了2次，因此成60°角的面對(duì)角線有

×96＝

因此一個(gè)面上的2條面對(duì)角線與其相鄰的4個(gè)面上的8條對(duì)角線共組成16對(duì).又正方體共有6個(gè)面，所以共有16×6＝96(對(duì)).48(對(duì)).故選C.答案：C

2.在例2(2)中，若甲的車牌尾數(shù)為9，他的四位同事的車牌尾數(shù)分別為0，2，1，5，其他條件不變，則不同的用車方案有多少種？解：由題意，從5日至9日，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4(種)不同的選擇；

第二步，安排奇數(shù)日出行，可分為兩類：(1)選1天安排甲的車，共有3×2×2＝12(種)不同的選擇；(2)不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有2×2×2＝8(種)不同的選擇，綜上可得，不同的用車方案種數(shù)為4×(12＋8)＝80(種).

3.甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué).若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4名同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有()A.150種C.300種

B.180種D.345種解析：這名女同學(xué)可以在甲組選出也可以在乙組選出，故分兩類計(jì)算.答案：D⊙兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的創(chuàng)新應(yīng)用

[例3]若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m＋n的加法時(shí)各位均不進(jìn)位(例如：134＋3802＝3936)，則稱(m，n)為“簡單的有序?qū)Α?，稱m＋n為有序?qū)?m，n)的值，那么值為1942的“簡單的有序?qū)Α钡膫€(gè)數(shù)是________.解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2種組合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10種組合方式；第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5種組合方式；第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3種組合方式.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，值為1942的“簡單的有序?qū)Α钡膫€(gè)數(shù)為2×10×5×3＝300.答案：300【反思感悟】解決兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的創(chuàng)新應(yīng)用問題的關(guān)鍵是要抓住題中給的新定義信息分步或分類進(jìn)行推理.

【高分訓(xùn)練】

1.定義集合A與B的運(yùn)算A*B為A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，則集合A*B的元素個(gè)數(shù)為()A.4B.8C.12D.16

解析：根據(jù)新定義，從集合A中，任選一個(gè)數(shù)，再從集合B中任選一個(gè)數(shù)，組成一個(gè)有序數(shù)對(duì)，即有3×4＝12(個(gè))，故集合A*B的元素個(gè)數(shù)為12個(gè).故選C.答案：C

2.埃及金字塔充滿了各種未解之謎，在埃及金字塔內(nèi)有組神秘的數(shù)字142857，因?yàn)?42857×2＝285714，142857×3＝428571，142857×4＝571428，…，所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”.該組數(shù)字還有如下發(fā)現(xiàn)：142＋857＝999，428＋571＝999，285＋714＝999，…，若從這組神秘?cái)?shù)字中任選3個(gè)數(shù)