湖南師范大學某中學2024屆高三摸底（高二期末）考試數(shù)學試卷（含答案）

湖南師范大學附屬中學2024屆高三摸底（高二期末）考試數(shù)學試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、設集合A={無EN“|2'<4},^={XGN|-1<X<2},則AJ8等于（）

A.{x|-l<x<2}B.{X|X<2}C.{O,1}D.{1}

2、若復數(shù)z滿足|z|=|z+2i|,其中i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z的虛部是（）

A.1B.-lC.iD.-i

3、函數(shù)f（x）=logqW+l（Ovavl）的圖象大致是（）

4、快遞公司計劃在某貨運樞紐附近投資配建貨物分揀中心.假定每月的土地租金成本

與分揀中心到貨運樞紐的距離成反比，每月的貨物運輸成本與分揀中心到貨運樞紐的

距離成正比.經(jīng)測算，如果在距離貨運樞紐10km處配建分揀中心，則每月的土地租金

成本和貨物運輸成本分別為2萬元和8萬元.要使得兩項成本之和最小，分揀中心和貨

運樞紐的距離應設置為（）

A.5kmB.6kmC.7kmD.8km

5、八卦是中國古老文化的深奧概念，下圖示意太極八卦圖.現(xiàn)將一副八卦簡化為正八

邊形ABCDEFGH,設其邊長為小中心為。，則下列選項中不正確的是（）

A.ABAC=ABAD

B.OAOB+OCOF=0

C.EG和HD是一對相反向量

D.\AB-BC+CD+EF-FG^=a

6、己知0后（仁一0）=￥,貝ijcos（2a-與）等于（）

A.--B.-C.-lD.1

9933

7、已知｛（｝是公差為3的等差數(shù)列，其前〃項的和為S“，設甲；｛4｝的首項為零；

乙：SZ+3是5+3和S3+3的等比中項，貝ij（）

A.甲是乙的充分不必要條件

B,甲是乙的必要不充分條件

C甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8、已知函數(shù)/（力=丁+2，+2：若不等式/（1一雙）</（2+f）對任意x￡R恒成立,

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-2石,2）B.（-2>^,2>/3）C.（-2,2>5）D.（-2,2）

二、多項選擇題

9、隨著國民經(jīng)濟的快速發(fā)展和人民生活水平的不斷提高，我國社會物流需求不斷增

加，物流行業(yè)前景廣闊.社會物流總費用與GDP的比率是反映地區(qū)物流發(fā)展水平的指

標，下面是2017-2022年我國社會物流總費用與GDP的比率統(tǒng)計，貝心）

2017-2022年我W社會物流總費用,CDP的比率統(tǒng)計

A.2018-2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，且2021年增長的最多

B.2017-2022這6年我國社會物流總費用的70%分位數(shù)為14.9萬億元

C2017-2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為0.3%

D.2022年我國的GDP超過了121萬億元

10、已知｛4｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為s“，且｛S“｝是等差數(shù)列，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.｛《+S〃｝是等差數(shù)列B.｛《.S.｝是等比數(shù)列

C｛4｝是等差數(shù)列D.1號4是等比數(shù)列

n

11、先將函數(shù)/（x）=2si似的圖象向右平移2個單位長度，再將橫坐標縮短為原來的;

（縱坐標不變），得到函數(shù)網(wǎng)力的圖象，則下列關于函數(shù)g（Q的說法中正確的是（）

A.在上單調(diào)遞增

B.當xw5兀時，函數(shù)g（x）的值域是

C其圖象關于直線1=學對稱

6

D.直線y=2百工-1為曲線y=g（x）的切線

12、如圖，在棱長為3的正方體ABC。-4與GR中，點p是平面ABG內(nèi)的一個動

點，且滿足產(chǎn)。+「g=2+屈，則下列結(jié)論正確的是（）

A.BQ工PB

B.點P的軌跡是一個半徑為g的圓

c,直線qp與平面ABC1所成角為。

D.三棱錐尸-88G體積的最大值為3+如

22

三、填空題

13、高二年級體鍛課時間提供三項體育活動，足球、籃球、乒乓球供學生選擇.甲、乙兩

名學生從這三項運動中隨機選一種，且他們的選擇情況相互獨立互不影響.在甲學生選

（1）若a=1，0=：，7=7,求甲學員恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率；

236

（2）當，=0時、若比賽最多進行5局，求比賽結(jié)束時比賽局數(shù)X的分布列及期望

E（X）的最大值.

21、已知正項數(shù)列｛〃“｝滿足：4=3,且4=川，HGN\

（1）設么=〃「?，求數(shù)列出｝的通項公式；

，1，、

（2）設％=禽+靛，求數(shù)列｛%｝的前幾項和北，并確定最小正整數(shù)〃，使得T”為整數(shù).

22、設雙曲線。:與-馬=1（〃〉0/>0）的右焦點為凡點。為坐標原點，過點尸的直

ab

線/與C的右支相交于A,8兩點.

（1）當直線/與x軸垂直時，OAVOB,求。的離心率；

（2）當。的焦距為2時，NAQB恒為銳角，求C的實軸長的取值范圍.

參考答案

1、答案：C

解析：

2、答案：B

解析：設Z=〃+加，則根據(jù)題意|々+回=|。+0+2川，有以2+從=/+S+2)2,得至|J

b=—l,所以z的虛部是-1.故選B.

3、答窠：A

解析：

4、答案：A

解析：設土地租金成本和運輸成本分別為叱萬元和％萬元，分揀中心和貨運樞紐相

距skm,則根據(jù)題意易知叱二竺叱=&，故叱+叱=竺+之乜但三=8,當

s5s5V55

且僅當s=5時取等號.故選A.

5、答案：C

解析：A項，由于288=135,明顯有A8JLC。，故

ABAC-ABAD=ABDC=O^A正確；

B項,OA-OB+OC-OF=OA-OB+OA?OD=OA-(0B+0。)=0,B正確；

C項，EG和方向相反，但長度不等，因此不是一對相反向量，C錯誤；

D項，IA8—8C+CD+E/—fUKICONa,D正確.故選C.

6、答案：A

7、答案：C

解析：由｛4｝是公差為3的等差數(shù)列，可知，+3=4+3,S2+3=2?,+6,

S3+3=3a,+12,若S?+3是S1+3和S3+3的等比中項，貝I」

(為+6)2=(q+3)(3%+12),解得4=?；?=-3(舍去,因為此時

S1+3=S2+3=0）,可見“4=0”是“S?+3是。+3和S3+3的等比中項”的充要條件.故

選C.

8、答案：D

解析：函數(shù)/（1）=丁+2'+2、的定義域為R,且/（—）=/+2-，+2'=〃力，

所以/（切為偶函數(shù),又當》“時,g（x）=V是增函數(shù)，

令咐）=2*+2-*,任?。?XjG[0,-H?）,且%＞占，

則/2Q）—力（々）=2.+2』-（2々+二）=（2*—2必）|^￡[

因為%＞/，為，電《。,4"00），

所以2曷-2日＞0,2/%—1〉0,

所以秋％）一秋々）＞0,

所以〃（元）=2、2r在[0,”）上是增函數(shù)，即y=/（力在[0,3）上是增函數(shù)，

所以不等式/。-?）＜/（2+丁）對任意xeR恒成立，

轉(zhuǎn)化為|1-時v2+f,即一2—寸＜1一如＜2+f,

所以f+公+1＞0和』_公；+3＞（）在R上恒成立，

①若“2+辦+1＞0在R上恒成立，則△|=/一4＜0,解得一2＜。＜2；

②若d一以+3＞0在R上恒成立，則△2=。2-12＜0,解得—2＞/5＜々＜2石；

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是（-2,2）.

故選；D.

9、答案：AD

解析：由圖表可知，2018?2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，2021年增長的

最多，且增長為16.7-14.9=1.8萬億元，故A正確；

因為6x70%=4.2,則70%分位數(shù)為第5個，即為16.7,所以這6年我國社會物流總

費用的70%分位數(shù)為16.7萬倫元，故B錯誤；

由圖表可知，2017-2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為

14.8%-14.6%=0.2%,故C錯誤；

由圖表可知，2022年我國的GDP為17.8+14.7%n121.1萬億元，故D正確.故選：AD.

10、答案：ACD

解析：由｛S〃｝是等差數(shù)列，可得2(4+勺)=4+4,

???｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，」.々二小夕，可得<7=1，“L"》。

+S“=(〃+l)q,「?數(shù)列｛a〃+S〃｝是等差數(shù)列，因此A正確；

?4=心「.｛d｝是常數(shù)列，為等差數(shù)列，因此C正確；

,?,2=4>o，.?J&]是等比數(shù)列，因此D正確；

???〃￡=*，..?｛。〃?邑｝不是等比數(shù)列，因此B不正確.故答案為ACD.

11、答案：BCD

/\

解析：由題可得g(x)=2sin2x~,

<6，

當xjg哥時,21-”依學，故函數(shù)g(x)在住,書上不單調(diào),故A錯誤；

Vo127o\oJ)10"/

71,一兀5兀11兀兀

當4￡5,兀時，2x--e

0666

g(x)=2sin(2x-1e[-2>1]?故B正確；

當工="時，2x-故函數(shù)g(x)的圖象關于直線X對稱，故C正確；

6626

因為g(x)=2sin(2x-，所以/(力=4cos(2x-，

若直線y=26r-l為曲線y=g(x)的切線，則由<(切=4以)5(2/一卷)=2百，可得:

x=kji^x=kn+—,

6

當x=E時，g(x)=-l,于是2、GxE-1=-1,解得：4=0,

當工=阮+：時，g(x)=l,于是28+—l=此時無解.

6I6)

綜上，直線y=2x/3x-l為曲線y=g(x)的切線.故D正確.

故答案為BCD.

12、答案：ACD

解析：對于A選項，連接耳A,??四邊形aqcQ為正方形，

I)

,?,OR_L平面A]81Goi，4。|<=平面4與￡。[,/.AG1DD\

BQ】QDR=D[,AC，平面BlDDl,

.81￡)u平面與。。[,B]O_LAC]

同理可證qOJLAB,?.,43riAC|=A，81O_L平面48C],

???P8u平面ABC1，.?.PB_L旦。，A對；

充于B選項，設4。。平面AZ?G=E,

?：AB=BC\=ACi=3立,A旦=34=與6，.?.三棱錐用-A^G為正三棱錐，

:.B,E=^BB；-BE2=73,?4。=36，；.DE=BJD-B】E=25

???8Q_L平面ABC]，「石匚平面人出,「二尸七上四。，即用七_LPE,DE上PE,

?：PD+PB[=2+屈,7PE?+12+qPE?+3=2+舊，?；PE〉0,解得PE=1,

???點尸的軌跡是半徑為1的圓，B錯；

充于C選項，平面480,「.gP與平面ABC；所成的角為NBfE,

且tan/耳尸后二皆=6,VO^Z^PE^I，故/旦PE=1,C對；

行于D選項，點E到直線BG的距離為g哈爭

.??點尸到直線陽的距離的最大值為邁+1,

2

???司七，平面A.BQ,/.三棱錐B「BPQ的高為B.E,

三棱錐1-即(體積的最大值為13(6+⑹xJ=3+6,D對.

322

故選：ACD.

13、答案：-

3

解析:

14、答案：[一1,2]

嗚當嗚心小小臺才2,當且僅岑十時

解析：由題可知,

等號成立，所以要使不等式X+2之療一加恒成立，即病—施42,解得TWmK2.

4

..小432K

15、答案：—^―

解析：如圖,

取8s的中點W,連接AE,CE,.,.8￡=￡。=；8。=&設443。的外心為6,

?：BC=CD=2,BD=2日AC=2及，.?.△88為等腰直角三角形,

.?.EC=；BO=&,?.△”￡＞是等邊三角形，.?.AE_L8O,AE=?

?[7

：.GA=GB=GD=^^,在△A￡C中，EC2+AE2=AC\AAE1EC,

3

2[Z

在/XGEC中，由￡C2+G￡：2=GC:可得GC=-^—=GA=GB=GO,

3

??.G為外接球的球心，???該三棱錐的外接球表面積為4TIXR2=亍.

故答案為：子32兀.

16、答案：4—A/?3

解析：由題可知點P的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓,

AP=AC+CP,BP=BC+CP,

APBP=^AC+CP\^BC+CP^=ACBC+CP\AC+BC^CP2,

v|c?|=l,:.APBP=^CP（AC^BC\又向量A&Bd是長度為E的一個向

量，

由此可得，點P在圓C上運動，當CP與4C+B。共線反向時，CP（AC+Bd）取最小

值，且這個最小值為-而，故ARB戶的最小值為4-

7T

17、答案：(1)A=-

(2)AD=---

2

解析：(1)2csin4cosB+2Z?sirL4cosC=\f3ci?由正弦定理得：

2sinCsiMcosB+2sinBsin4cosC=\Z3sirt4,sinA>0,

.,.sinCcosB+sin3cosC=弓，/.sinA=sin(B+C)=曰，c>a,

:.A=—.

3

(2)方法一：由已知：SAMC=；匕c*sinA=2G,得c=4.

|||Q

AD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AC+-AB

44V744

(\3A249x166x2x4143

(AD)2=-AC+-AB=—+------+---------x-=,

(4416161624

方法二：由己知：S^ABC=^hcsinA=2yf3f得c=4.

由余弦定理/=//+/—2Z?ccosA=12

——->>/33G

?:CD=3DB，:.BD=—CD=—.

2f2f

設AO=x,

、3

廠+——1ir6

在△AB。中，cos^ADB=---餐—；

27）

2+-----4

在△ADC中，cos^ADC=盅一

2x-——x

2

由cos/A￡>3+cos/4）C=0,解得工=漁

2

n｝

18、答案：（1）xn=2~

（2）（2"1）X2〃+1

2

解析：（1）因為石+三+一舒+含=袈，

用〃—1替換上式的〃，得阿+%-+軸=（心2）.

兩式作差，即得生i-今-也孚整理后有4的=2七（〃22）.

222

在原式中令〃=1,得2石=%2，故％+i=2%對任意〃EN'都成立.

而｛《｝的首項為1，故工工。，所以｛5｝是公比為2的等比數(shù)歹U.

因此｛玉｝的通項公式是z=2"）

（2）由⑴得x〃+f=2。

故。=g（〃+〃+l）（%f）=（2〃+l）x2"-2.

明以5=3x27+5x2。+…+（2〃-1）X2〃—3+（2〃+1）X2"-2.

又2s〃=3X20+5X2".,+（2〃-1）X2"-2+（2〃+1）X2”-，

作差得S〃=-3X2-'-（2,+22++2"T）+（2/?+l）xT-'

32x（1-2，i）

+（2M+1）X2/,_,

--21-2

（2H-l）x2tt+l

2

19、答案：（1）見解析

（2）

解析：（1）取8C中點P,作直線Cf即為所求.

取A8中點〃，連接A"，P”，則有P////AC,PH=^ACf

如圖，在等腰梯形AACR中，AC=2AG，所以HP//AC，HP=A￡

則四邊形A。/"為平行四邊形，

所以GP〃A”,

又4"u平面448,①平面4A8,

所以GP〃平面AA8.

（2）過點B作8。UAC于O',

在等腰梯形A4CG中，AC=2A41=2AC,=4,所以該梯形的高/?=百，

用以等腰梯形AACG的面積為S=3百，

所以四棱錐8-4ACG的體積V=gsx8O'=2百，解得8。=2,

所以點。'與。2重合，

以。2為原點，o?B，O2cf02a方向為居y，z軸正方向建立空間直角坐標系，則

C（O,2,O）,8（2,0,0）,A（0-2,0）f4僅，-1，間，G（OJ@,

M=（0,1,5/3）,AB=（2,2,0）,CC；=（O,-1,6）,BC=（-2,2,0）

設平面AA3的法向量為a=（%,%,zj,

所以卜+后=。，

2x,+2y=0.

取馬=1,貝但

同理可得平面GCB的法向量為b=（石，石,1）,

設平面AA8與平面GC8夾角為a,

ab3-3+1

則cosa=

MxHyj3+3+1x>/3+3+17

故平面AAB與平面C\CB夾角的余弦值為；.

20、答案：（1）2

13

（2）分布列見解析，期望最大值為：

4

解析：（1）用事件4B,。分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”或“平局”，則

尸（A）=a=4,P⑻=0=；,P（C）=y=!,

230

記“進行4局比賽后甲學員贏得比賽”為事件N,則事件N包括事件A844BAAA,

ACCAfCACAfCCA4共5種，所以

尸（N）=P（ABAA）+P{BAAA）+尸（ACC4）+P（C4c4）+P{CCAA）

3/,\2

=2P$）P（A）P（A）P（A）+3P（C）P（C）P（A）P（A）=2xgx（￡|"4）

（2）因為7=0,所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝''和"乙獲勝”，即夕=1,

由題意得X的所有可能取值為2,4,5,則

p（X=2）=P（A4）+P（BB）=a2+,

尸"=4）=P（鉆4/1）+0（明44）+。（4588）+尸（&38）=（口+肉）儲+（3+加）尸2

=2詡（修+夕），

P^X=5）=P[ABAB）+P{ABBA）+P（BABA）+P{BAAB^^a1p2^-a2ft2+a2/32+O1Pz

.所以X的分布列為

X245

2的（M+62）

Pa2+p24a2P2

用以X的期望七”）=2（〃+尸2）+8s伍2+，）+20儲夕2

=2（1-2a/3）+83（1—2a+20a2j32=4a2/72+4叩+2,

因為a+尸=1N2^，所以當且僅當。二/二;時等號成立，所以

（1\213

所以￡：（乂）=軌2/2+4必+2=（2必+1）2+142乂一+1+1=—,

I4J4

IQ

故E（X）的最大值為

2、答案：⑴

（2）9

解析：⑴因為4(匕「1)=2(。：-1)%,且%>0,

.?.^^=2.婦，即--’=2k,

a

。用q4+iIn)

j8

?.也中=嘰，又4=4_：=鼻/0,

v4tD

Q

,也｝是首項為：，公比為2的筆比數(shù)列，

.也=伉2"=『

?(]丫

(2)因為q,=。；+下=4---+2,

/Ian)

=?+04+削"..+聯(lián)4“-1+2"=*12"黜一1）+2〃

若空為整數(shù),因為2〃wZ,???,（4"-l）wZ,即」4"-l）wZ.

4"-1=（3+1）"-1=C：3"+C；3“T++C；333+C7232+C丁3+C；；-l

=C：3”+C：3”7++C；：-333+Cr232+C：-'3.

.?.C；2