巧用模型解中考數(shù)學(xué)題例析-國際應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展

【摘要】數(shù)學(xué)模型是學(xué)生解題思維的起點，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想有助于拓寬思維，提高分析、解決問題的能力。熟悉并掌握模型的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生直擊問題的關(guān)鍵，跨越解題障礙，縮短解題時間。通過幾個典型數(shù)學(xué)模型及例題解析，幫助學(xué)生理解并應(yīng)用模型，滲透思想，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型；一線三等角；將軍飲馬；胡不歸【收稿日期】2023年7月21日【出刊日期】2023年9月15日【DOI】10.12208/j.aam.20230017【Abstract】Mathematicalmodelisthestartingpointofstudents'problem-solvingthinking,andcstudents'modelthinkingishelpfultobroadentheirthinkingandimprovetheproblems.Familiarwithandmastertheapplicationofthemodel,whichcanhelpstudentsdirectlygraspthekeyoftheproblem,overcometheobstaclesofproblemsolving,andanalysisofseveraltypicalmathematicalmodelsandexampleproblems,helpstudentsunderstandandapplymodels,penetrateideas,anddevelopcoremathematicalliteracy.【Keywords】Mathematicalmodel;Alineofthreeequalangles;GeneralFeedingwatertohishorses;Whynotreturn《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下簡稱新課標(biāo)）在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗），進(jìn)一步強調(diào)發(fā)展學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、），象出數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)模型快速解決問題的思想。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)做好數(shù)學(xué)模型的歸納，引導(dǎo)學(xué)生把握模型的本質(zhì)，以不變應(yīng)萬變。本文從三個典型數(shù)學(xué)模型出發(fā)，幫助學(xué)生理解并應(yīng)用模型，助推核心素養(yǎng)1“一線三等角”角或鈍角[2]，但究其根本，圖形都構(gòu)成了一個“K”字。有些試題中，模型比較直觀，學(xué)例1（高郵市2023年中考一模）如圖1，在矩形ABCD中，點M是BC邊上的一個動點（點M與點C不重合），連接AM，過點M作MNAM，垂足為點M，MN交CD或CD的延長線于點N。（1）若AB6,BC8。。①當(dāng)BM6時，CN=；②己知點E是BC邊的中點，當(dāng)點M在BC邊上運動時，MN能不能經(jīng)過點E?若能，求出BM的長度；若③若點F在BC邊上，且CF1，當(dāng)點M從點（2）若AB6,BCb。當(dāng)點M在BC邊上運動時，求使得下列兩個條件都成立的b的取值范圍；點N始終在CD邊上；點M在某一位置時，點N恰好與點D重合。角形求出CN=2，在此不過多贅述，主要關(guān)注以下解②ABCD為矩形，BC90.又MNAM, BAMAMBNMCCNMAMBNMC,BAMNMC,AMBCNM,.".ΔABMΔMCN,6x不妨設(shè)BMx,則CM8x.若MN經(jīng)過點E，且E是BC邊的中點，則CNCE3，則有6x整理得x28x180,Δ<0,所以MN不能經(jīng)過點E。ABBM③點M從點B開始運動到點F停止，始終滿足ΔABMΔMCN,則=.MCABBM同樣設(shè)BMx,則當(dāng)M在點B時，N在點C處，當(dāng)M在點F時，N在CD邊上。在此運動過程中，CN存在最大值，當(dāng)當(dāng)M運動到點F時，x.'.N最開始在點C處，逐漸遠(yuǎn)離點C，最大在距點C處，最后到達(dá)距C處，點N運動的路徑為.ABBM（2）點N始終在CD邊上，始終滿足ΔABMΔMCN,則,CNCD.同樣設(shè)BMx,則ABBMMCCNCM8x，CN1xb2b2.6224且點M在某一位置時，點N恰好與點D重合，此時ΔABM、ΔCDM、ΔMDA均為直角三角形，由此有BM2MC2MN2AM2,i.e,62MN2,i.e,62AN2,i.eBM2MC2MN2AM2,i.e,62MN2,i.e,62AN2,i.e,62x2AM2,bx2MN2,2x262bxb2,整理得x2bx360,利用Δ0,求出b2≥144.所以b2=144,又b>0,所以b12.評注：我們將以90為等角的“一線三等角”模型稱為“一線三直的，也是學(xué)生最能直觀感受到題目中存在“一線三等角”模型的，是“一線三直角”模型應(yīng)用的第一個境例2（武漢市2023年新動力預(yù)測卷）如圖3，在RtΔABC中，ABAC4,點E、F分別在邊AB,AC上，D是BC中點，且EDF45,連接EF,設(shè)EFx,SΔDEFy,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是。分析：此題中等角為45,相較于前一題90,學(xué)生難以立刻抽象出“K”，但仔細(xì)觀察圖形，學(xué)生能夠在圖中標(biāo)注出角度為45的三個角，從而意識到“一線”指直線BC，刻畫出“K”型，如圖4所示。 BEDFDC.'.'BC,.'.ΔDEBΔFDC（兩角相等），DEBE.DFDCBDDC,DEBE,DFBD'.'BEDF45,ΔDEBΔFED（兩邊成比例且夾角相等DEBE2 ,i.e,DEBEEF.EFDEEF2EF2EF2iDEDE2BE·EFxBE。過點D向BE作垂線，顯然該垂線與AC平行，且D是BC中點，所以h。BED2S1BEhBE,BED2 SDEFx,i.e,yx.再次使用等角，獲得新的相似，最終得到ΔDEBΔFDCΔFED，建立起三個三角形的相似關(guān)系。該題綜合應(yīng)用“一線三等角”與相似的判定與性質(zhì)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要求較高，題目的難點有兩處，一是學(xué)生難以直接抽象出“K”，二是抽象出“K”后，獲得的相似不是題目所需要的，學(xué)生需要進(jìn)一步思立起已知的三角形相似與題目所給的三角形之間2“將軍飲馬”“將軍飲馬”問題是中考的熱點之一，也是“胡不歸”、“阿氏圓”模型的基礎(chǔ)。常用于求折線題，通常做法是利用對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等將同側(cè)線段和問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點之間線段最短或垂線段不歸與阿氏圓”模型例題鋪墊。其中例4既可的“胡不歸”模型，再轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”，該思路將在第三部分“胡不歸與阿氏圓”例3（泰州市2022年中考模擬）如圖5，已知在銳角三角形ABC中，B45，AC5，ΔABC的面積為15，D,E,F分別為邊AB,BC,AC上的動點，則ΔDEF周長的最小值為。分析：求ΔDEF周長的最小值，即求DEDFEF的最小值，對于線段和的最小值和差的最大值，學(xué)生能夠想到“將軍飲馬”模型，由此需要將不共端點的線段轉(zhuǎn)化為共解如圖6，作點F關(guān)于AB、BC的對稱點F'、F''，連接BF、BF'、BF''， DFDF',EFEF'',ABF'ABF,FBCF''BC, DEDFEFDEDF'EF'',.'.當(dāng)F'、D、E、F''四點共線時，ΔDEF周長為F'F''。B45,F'BF''90,且F'BFBF''B,.'.ΔBF'F''為等腰直角三角形，F(xiàn)'F''2BF,當(dāng)BFAC時，BF最小。 BF6,F'F''62,CΔDEF62.評注：本題背景較簡單，是“將軍飲馬”模型的直接運用。要求ΔDEF周長的最小值，學(xué)生能自然而然例4（泰州市2022年中考模擬）如圖7，已知在RtΔABC中，C90。AC6,AB9.E是AB上的點，BE5.D是線段BC上的一個動點，沿AD折疊ΔACD，點C與點C'重合。連接BC',EC'. （2）已知F是BC上的一點，且BF=5。 ②求BC'FC'的最小值。評注：本題主要關(guān)注求BC'FC'的最小值，首先可利用相似，將BC'轉(zhuǎn)化為C'E，從而轉(zhuǎn)化為求C'EC'F的最小值，連接EF，當(dāng)E、C'、F三點共線時，BC'FC'值最小，為EF，如圖9，利用勾股定理即可求出EF。3“胡不歸與阿氏圓”“胡不歸與阿氏圓”均是求帶系數(shù)的折線最值問題，代數(shù)式均表征為kAPBP形式，不同的是“胡不歸”段最短或垂線段最短求解。因此我們以“胡不歸”模型為例滲透轉(zhuǎn)化思“胡不歸”基礎(chǔ)模型如下圖10所示，其中點A為直線l上一定點，點B為直線l外一定點，點P在直線l一找：尋找?guī)в邢禂?shù)k的線段kAP；二構(gòu)：在點B異側(cè)，構(gòu)造以AP為斜邊的RtΔAPC，使得sinPACk；三化：將折線kAP轉(zhuǎn)化成線段PC；四解：kAPBPPCPB，利用垂線段最短求解。注：當(dāng)系數(shù)k1時，考慮提取k轉(zhuǎn)化為kAPBP。例5（淮安市2022年中考）如圖12，二次函數(shù)yx2bxc的圖像與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為3,0，點C的坐標(biāo)為0,3，直線l經(jīng)過B,C兩點。（2）P為直線l上的一點，過點P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點M，再過點M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點N，當(dāng)PMMN時，求點P的橫坐標(biāo)；（3）如圖13，點C關(guān)于x軸的對稱點為D，P為線段BC上的一個動點，連接AP，Q為線段AP上一點，且AQ3PQ，連接DQ，當(dāng)3AP4DQ的值最小時，請直接寫出DQ的長。分析：第（1）題直接利用B,C兩點坐標(biāo)即可求出解析式。第（2）題通過坐標(biāo)表示出來，求出PM、MN的值即可。主要關(guān)注第（3）題。所求代數(shù)式3AP4DQ的特點告訴學(xué)生采用“胡不歸”模型，因此將該式轉(zhuǎn)化為此時k1，接著就要去尋找AP可以轉(zhuǎn)化為哪條線段，將求轉(zhuǎn)化為求某線段加上DQ的最小值，其中可以與題中AQ3PQ聯(lián)系起來，從而將AP轉(zhuǎn)化為AQ，將“胡不歸”轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”，題目難度大大降低。解（3）如圖14，過點Q作直線l的平行線QM交x軸于點M，作點A關(guān)于直線QM的對稱點A'，連接A'Q、A'M。33 3AP4D44APDQ4AQDQ4A'QDQ，當(dāng)A'、Q、D三點共線時，4A'QDQmin4A'D。令解析式y(tǒng)0，求出點A1,0.QMBC,AQ3PQ,AMAMAQ3QMBCABAP4 QMBCABAP4 M2,0,lQM:yx2.'.'AA'QM,AMA'M,kAA'AA'x1,A'AMAA'M45,A'MAM,.'.A'2,3.lA'D:y3x3.y3x3y3x3453llyx23l4lly= DQ.評注：所給代數(shù)式的形式特點直觀告訴學(xué)生運用“胡不歸”模型，確定系數(shù)k，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為kAPBP的形式。本題的