第四節(jié)、-數(shù)學能力

第四節(jié)、數(shù)學能力的界定

思考：什么是數(shù)學能力？（一）前蘇聯(lián)克魯捷茨基的數(shù)學能力觀克魯捷茨基在《中小學生數(shù)學能力心理學》”一書中提到數(shù)學能力的組成部分是：(1)把數(shù)學材料形式化；(2)概括數(shù)學材料發(fā)現(xiàn)共同點；(3)運用數(shù)學符號進行運算；(4)連貫而有節(jié)奏的邏輯推理；(5)縮短推理結構進行簡潔推理；(6)逆向思維能力；(7)思維的靈活性；(8)數(shù)字記憶；(9)空間概念。分析：強調(diào)“形式化’’的抽象、記憶、推理能力。但沒有包括數(shù)學建模、數(shù)學應用的能力，顯然這是在數(shù)學形式主義的觀點下進行數(shù)學能力的考察。（二）20世紀90年代以來的我國數(shù)學能力觀變化“三大能力”→“三大能力”+“逐步培養(yǎng)分析和解決實際問題的能力”→“三大能力”+“提出問題、分析問題、解決問題的能力”+“數(shù)學建模能力”計算能力，邏輯推理能力和空間想象能力（三）進入21世紀后，國內(nèi)外關于數(shù)學能力提法的新變化2000年，美國數(shù)學教師協(xié)會發(fā)布《數(shù)學課程標準》，其中提到6項能力：(1)數(shù)的運算能力；(2)問題解決的能力；(3)邏輯推理能力；(4)數(shù)學聯(lián)結能力；數(shù)形結合(5)數(shù)學交流能力；(6)數(shù)學表示能力。數(shù)學建模奚定華等在最近出版的《高中數(shù)學能力型問題研究》中，強調(diào)在高考中要著重考察“一般數(shù)學能力”，其中包括以下四項：學習數(shù)學新知識的能力；探究數(shù)學問題的能力；應用數(shù)學知識解決實際問題的能力；以及數(shù)學創(chuàng)新能力。2002年頒布的全日制高中《數(shù)學教學大綱》除了提到一般數(shù)學能力之外，更明確地界定了惟有數(shù)學學科才有的“數(shù)學思維能力”。它包括：空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹證明、體系構建等諸多方面”。（四）常規(guī)數(shù)學思維能力的界定

新頒布的數(shù)學教學大綱對常規(guī)的數(shù)學思維能力作了界定。本文擬沿著這一思路作更具體的闡述，提出了以下十個方面。1．數(shù)學感覺與判斷能力。是不是數(shù)學問題，哪一類的數(shù)學問題。2．數(shù)據(jù)收集與分析。收集數(shù)據(jù)，關注數(shù)據(jù)，分析，駕馭數(shù)據(jù)3．幾何直觀和空間想象。4．數(shù)學表示與數(shù)學建模。會使用數(shù)學原理，符號，公式抽象地表示客觀事物的發(fā)展規(guī)律，會建模5．數(shù)學運算和數(shù)學變換。掌握幾何變換以及變換中的不變量。6．歸納猜想與合情推理。

7．邏輯思考與演繹證明。8．數(shù)學聯(lián)結與數(shù)學洞察。掌握數(shù)學的本質，提煉數(shù)學思想方法9．數(shù)學計算和算法設計。10．理性思維與構建體系。日常生活中能夠數(shù)學的思考問題形成完整的數(shù)學思想體系。（五）數(shù)學創(chuàng)新能力的界定

數(shù)學創(chuàng)新能力，屬于一般的數(shù)學能力。那么數(shù)學創(chuàng)新能力有什么特點?具體說來，也可分為以下10點：

1．提出數(shù)學問題和質疑能力，具有能疑、善思、敢想的品質；

2．建立新的數(shù)學模型并用于實踐的能力；

3．發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的能力。包括提出定義、定理、公式；4．推廣現(xiàn)有數(shù)學結論的能力。放松條件或加強結論；5．構作新數(shù)學對象(概念、理論、關系)的能力；6．將不同領域的知識進行數(shù)學聯(lián)結的能力；7．總結已有數(shù)學成果達到新認識水平的能力；

8．巧妙地進行邏輯連接作出嚴密論證的能力；9．善于運用計算機技術展現(xiàn)信息時代的數(shù)學風貌；10．知道什么是“好”的數(shù)學，什么是“不大好”的數(shù)學。運算能力的培養(yǎng)

什么是運算能力運算的意義不僅局限于通常的加、減、乘、除、乘方開方等代數(shù)運算，還包括初等函數(shù)的運算和求值，各種幾何量的測量和計算，求數(shù)列與函數(shù)極限以及微分、積分等分析運算，還有概率、統(tǒng)計的初步計算等．

培養(yǎng)學生運算能力的基本途徑怎樣才能使學生具有正確迅速的運算能力呢？一要學習,即學習與運算有關的知識；二要訓練，即精心選擇一部分習題，讓學生獨立完成．下面談一談培養(yǎng)學生運算能力的基本途徑．1、牢固掌握基礎知識，弄通算理、法則要使運算正確而又迅速就要牢固地掌握與運算有關的概念、公式法則以及變形化簡等思維方法．同時要多練習，常反復，形成熟練的技能技巧．但也不能“死練”，在練之前，要使得學生懂得“算理”使其懂得“怎樣算”，“為什么這樣算”．只有“計有據(jù)”，才能“算有準”．如果教師只教給學生“怎樣算”，而學生并不明白“為什么這樣算”，“為什么這樣算就正確”，那么學生的運算能力就不會始終保持其正確性，也形成不了什么運算能力．例1講異分母分數(shù)的加減時，如果只教給學生要先通分，變成同分母的分數(shù)之后，再按同分母的分數(shù)進行加減運算，而不講清為什么要這樣算，有的學生對運算的方法是記不牢的，時間一長，往往會遺忘。甚至會出現(xiàn)之類的笑話．因此，教師必須在學生學習通分算法之初，就教學生“算理”，讓學生清楚地懂得：如果兩個分數(shù)分母不同，分數(shù)的單位就不同，每份的大小也就不同，而單位不同的分數(shù)是不能直接相加減的．只有經(jīng)過通分之后，它們的分母相同了，即分數(shù)的單位相同了，每份的大小是一樣的，從而就可以直接進行加減運算了．2、提高記憶能力，加強運算基本功訓練提高學生的記憶能力，牢固掌握一些常用的數(shù)據(jù)、常用的公式和法則．尤其要加強運算基本功訓練，以形成熟練的技能技巧．（1）在小學階段，作為運算的基本功主要是：

（i）熟練掌握整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算；

（ii）20以內(nèi)的口算加減法與表內(nèi)乘法、相應的除法，要達到“直呼”的程度：熟悉分數(shù)、小數(shù)互化運算，熟悉一些分數(shù)互化的數(shù)值．（2）在初中階段，作為運算的基本功主要是：i）熟練掌握有理數(shù)的四則運算和有理指數(shù)、常用對數(shù)、銳角三角函數(shù)的運算，特別還要加強整式、分式與根式的運算訓練．ii）要熟記一些重要數(shù)據(jù)，講究記憶方法和規(guī)律，最好能達到“直呼”的程度：a、多位數(shù)與一位數(shù)相乘，直接得積；b、1－20的平方數(shù)，1－10的立方數(shù)．c、將被開方數(shù)化為質因數(shù)乘積求方根；d、特殊角的三角函數(shù)值；角度制與弧度制互換．e、乘法公式．（3）在高中階段，要通過復習以鞏固上述初等運算的能力．要學習一些初等函數(shù)的恒等變形；學習行列式和復數(shù)的運算；學習極限與微積分運算；還要學會集合的運算、邏輯運算．這階段的運算基本功主要是：i）熟練掌握指數(shù)、對數(shù)式與三角函數(shù)式的恒等變形，初步掌握極限與微積分運算．ii）熟記基本公式、重要的極限等、以提高計算速度．微積分基本公式等．為了使學生練習基本功，一要理解運算所依據(jù)的道理；二要記住常用的公式、法則；三要通過練習才能落實到學生身上．3、加強運算練習，培養(yǎng)學生的運算能力首先就需要有很好的觀察力和對基礎知識的良好掌握．例如計算

由于每個人在觀察時，抓住問題的特點不同，或者運用的知識不同，對同一個問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”，“多解”之中一般總有較為簡捷的解法

3、加強運算練習，培養(yǎng)學生的運算能力首先就需要有很好的觀察力和對基礎知識的良好掌握．例如計算

由于每個人在觀察時，抓住問題的特點不同，或者運用的知識不同，對同一個問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”，“多解”之中一般總有較為簡捷的解法

例已知直角三角形兩直角邊的長分別為5cm和12cm，求斜邊上的高．

例已知直角三角形兩直角邊的長分別為5cm和12cm，求斜邊上的高．解若用射影定理計算高就繁了所以先求斜邊長，得再由面積相等求出斜邊上的高為

例

已知，求的值．例

已知，求的值．解由，得，所以，，所以

以上例題顯示了簡捷運算的優(yōu)點．但這種簡捷運算的獲得，是經(jīng)過認真分析，進行選擇的結果，這個過程，一題多解的思想已包含在其中了．采用多樣化方法解題，不但可以發(fā)展學生的思維能力與運算能力，而且還可以提高學生的學習積極性，培養(yǎng)創(chuàng)造精神．例4計算例4計算解①原式＝；②原式＝；③原式＝；④原式＝為了提倡“一題多解”，在教學中教師要經(jīng)常進行“一題多解”的典型示范，同時引導學生判斷哪種方法較簡捷，從而進行選擇，加強解題的預見性，做到解題時思維敏捷，避繁就簡，達到正確迅速的要求．對于學生有創(chuàng)見的解法，也要善于引導，愛護他們獨立思考的積極性，同時幫助他們分析具體錯誤的癥結．空間想象能力的培養(yǎng)

一、什么是空間想象能力想象是一種特殊的思維活動，即在頭腦中表象出某種未曾感知的東西，或者創(chuàng)造某種未曾感知過的物體和現(xiàn)象的形象，或者專門產(chǎn)生某些新事物的概念．培養(yǎng)學生的空間想象能力應是整個中學數(shù)學教學的任務．二、空間想象能力的培養(yǎng)應當包括哪些要求？1、對于客觀存在的空間形式，能在頭腦中反映出正確的形象來，即形成空間概念．2、能將空間形式，按照統(tǒng)一規(guī)定，繪成平面圖形，反之，能從已知的平面圖形想象出它所表達的空間形式．3、不但能進行邏輯思維，而且能進行形象思維，也就是說能運用圖形的幾何直覺去研究某些問題．三、培養(yǎng)學生空間想象能力的基本途徑1、學好有關空間形式的基礎知識想象是客觀現(xiàn)實在人腦中的一種反映，所以學生學好有關空間形式的數(shù)學知識是提高學生空間想象能力的根本對于某一圖形所反映的空間形式，怎樣使學生形成關于它的空間概念呢？一般認為，大致需要經(jīng)過如下過程．（1）運用實物、模型等進行直觀教學，使學生在頭腦中形成空間概念的整體形象．（2）通過教師和學生繪制草圖和示意圖，使頭腦中形成的空間概念的形象“具體化”．（3）研究圖形的組成元素及其性質，深入了解空間形式的內(nèi)部結構和特性．（4）根據(jù)給定條件，運用畫圖工具作圖，切實掌握空間形式的常用表達方法．2、從事數(shù)學實習活動通過對實物的觀察、解剖、分析或者制作模型、實地測量、作圖等數(shù)學實習活動也是培養(yǎng)學生空間想象能力的重要途徑．3、加強空間想象能力的訓練，不斷發(fā)展空間想象能力在中學數(shù)學課里，不僅要研究圖形及其性質，還要研究作圖方法，而且要研究圖形之間的聯(lián)系以及數(shù)、形之間的聯(lián)系．

（1）研究同類圖形之間的聯(lián)系，豐富學生的空間想象能力在平面幾何課里，最重要的圖形是三角形和圓，在立體幾何里最重要的基本圖形是直線和平面．在教學中，在同類圖形之間，研究其線面位置和量的關系，會有助于培養(yǎng)學生的空間想象能力．事實上，對各種位置和量的關系理解得越清楚，空間想象能力就越強．例延長等邊△ABC的各邊BA、CB、AC到D、E、F，使AD＝CF＝BE．求證：△DEF也為等邊三角形證因為AB＝BC＝CA，AD＝BE＝CF，所以AF＝BD＝CE，AD＝BE＝CF，又因為∠DAF＝∠EBD

＝∠FCE＝180°－60°＝120°所以△DAF≌△EBD≌△FCE所以DF＝ED＝EF，即△DEF為正三角形．DEFABC圖5-2（2）研究不同類圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展學生的空間想象能力圓和多邊形的聯(lián)系是平面幾何中最主要的內(nèi)容之一，大量的習題都與它們有關，在數(shù)學教學中應當引導學生重視這類問題的分析，并加以訓練．例已知：如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：AC·BD＝AB·CD＋AD·BCADCBE圖5-4證如圖，作∠DAE＝∠BAC，E在BD上．在△DAE和△CAB中，∠DAE＝∠CAB，又因為∠EDA＝∠BCA，所以△DAE∽△CAB，所以，即AC·DE=AD·BC（1）在△ABE和△ACD中，∠ABE＝∠ACD，∠BAC＝∠DAE，所以∠BAE＝∠CAD，所以△A