第2章 第3節(jié) 課時(shí)2 用公式法求解一元二次方程的應(yīng)用2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步教學(xué)設(shè)計(jì)（北師大版）

第2章第3節(jié)課時(shí)2用公式法求解一元二次方程的應(yīng)用2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步教學(xué)設(shè)計(jì)（北師大版）主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是“第2章第3節(jié)課時(shí)2用公式法求解一元二次方程的應(yīng)用”，該內(nèi)容屬于2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步教學(xué)設(shè)計(jì)（北師大版）。本節(jié)課主要講解如何運(yùn)用公式法求解一元二次方程的應(yīng)用，具體包括以下幾個(gè)方面：

1.回顧一元二次方程的定義及一般形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。

2.復(fù)習(xí)求解一元二次方程的公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

3.學(xué)習(xí)如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并運(yùn)用公式法求解。

4.運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，例如：拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、物體的運(yùn)動(dòng)等。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：

在開(kāi)展本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，包括代數(shù)式的運(yùn)算、方程的求解等。同時(shí)，學(xué)生也掌握了求解一元一次方程、二元一次方程組的方法。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠更好地理解一元二次方程的定義、公式及其應(yīng)用，將已有知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，提高解決問(wèn)題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括以下幾個(gè)方面：

1.邏輯推理：通過(guò)學(xué)習(xí)一元二次方程的定義、公式，培養(yǎng)學(xué)生從具體問(wèn)題中提煉出數(shù)學(xué)模型的能力，進(jìn)而提高學(xué)生的邏輯推理能力。

2.數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用一元二次方程進(jìn)行求解，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力。

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過(guò)運(yùn)用公式法求解一元二次方程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的精確計(jì)算習(xí)慣。

4.直觀想象：通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生能夠直觀地理解一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生的直觀想象能力。

5.應(yīng)用意識(shí)：培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，提高學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：1.一元二次方程的定義及一般形式；2.求解一元二次方程的公式；3.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并運(yùn)用公式法求解。

難點(diǎn)：1.理解并掌握一元二次方程的定義及一般形式；2.熟練運(yùn)用求解一元二次方程的公式；3.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用一元二次方程進(jìn)行求解。

解決辦法：1.通過(guò)具體例子引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一元二次方程的定義及一般形式；2.多次練習(xí)，讓學(xué)生熟悉并掌握求解一元二次方程的公式；3.提供實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用一元二次方程進(jìn)行求解。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源1.軟硬件資源：黑板、粉筆、多媒體投影儀、教學(xué)課件；

2.課程平臺(tái)：北師大版數(shù)學(xué)教材；

3.信息化資源：教學(xué)視頻、在線練習(xí)題庫(kù)；

4.教學(xué)手段：講解、示范、練習(xí)、小組討論、互動(dòng)提問(wèn)。教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：提供本節(jié)課的教學(xué)課件和視頻，要求學(xué)生預(yù)習(xí)一元二次方程的定義及一般形式。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：提出問(wèn)題，如“一元二次方程的一般形式是什么？”、“如何判斷一個(gè)方程是一元二次方程？”

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過(guò)在線平臺(tái)收集學(xué)生的預(yù)習(xí)筆記和疑問(wèn)。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生獨(dú)立閱讀教材和相關(guān)資料，理解一元二次方程的基本概念。

-思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：學(xué)生針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考，并在筆記本上記錄自己的理解和疑問(wèn)。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將通過(guò)PPT、思維導(dǎo)圖或書(shū)面形式提交預(yù)習(xí)成果。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立探索一元二次方程的定義和一般形式。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)共享預(yù)習(xí)資源，方便學(xué)生學(xué)習(xí)和教師監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前熟悉一元二次方程的概念，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引入一元二次方程的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生興趣。

-講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解求解一元二次方程的公式及步驟。

-組織課堂活動(dòng)：分組討論如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并求解。

-解答疑問(wèn)：針對(duì)學(xué)生的疑問(wèn)，進(jìn)行解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽(tīng)講并思考：學(xué)生專注聽(tīng)講，對(duì)一元二次方程的解法進(jìn)行理解。

-參與課堂活動(dòng)：學(xué)生在小組中討論問(wèn)題，共同探索解題策略。

-提問(wèn)與討論：學(xué)生提出疑問(wèn)，參與課堂討論，共同解決問(wèn)題。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過(guò)講解使學(xué)生理解一元二次方程的解法。

-實(shí)踐活動(dòng)法：通過(guò)小組討論，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

-合作學(xué)習(xí)法：通過(guò)小組合作，促進(jìn)學(xué)生的互動(dòng)和溝通能力。

作用與目的：

-確保學(xué)生能夠理解和掌握一元二次方程的解法。

-培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力和團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：設(shè)計(jì)一些應(yīng)用一元二次方程的實(shí)際問(wèn)題，作為課后作業(yè)。

-提供拓展資源：推薦一些關(guān)于一元二次方程應(yīng)用的視頻教程和練習(xí)題。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：學(xué)生獨(dú)立完成課后作業(yè)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

-拓展學(xué)習(xí)：學(xué)生根據(jù)老師提供的資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)：學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思，總結(jié)收獲和待提高之處。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-通過(guò)作業(yè)鞏固學(xué)生對(duì)一元二次方程解法的掌握。

-通過(guò)拓展學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力和自主學(xué)習(xí)能力。

-通過(guò)反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身的不足并制定改進(jìn)計(jì)劃。知識(shí)點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是一元二次方程的應(yīng)用，具體涉及以下知識(shí)點(diǎn)：

1.一元二次方程的定義及一般形式：一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0（a≠0）的方程，其中a、b、c為常數(shù)，x為未知數(shù)。

2.一元二次方程的解法：求解一元二次方程的公式為x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

3.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程：學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中提取關(guān)鍵信息，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得到一元二次方程。

4.求解一元二次方程的應(yīng)用：運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，例如：拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、物體的運(yùn)動(dòng)等。

具體知識(shí)點(diǎn)梳理如下：

1.一元二次方程的定義及一般形式

-定義：一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0（a≠0）的方程，其中a、b、c為常數(shù)，x為未知數(shù)。

-一般形式：ax^2+bx+c=0，其中a、b、c為常數(shù)，a≠0。

2.一元二次方程的解法

-公式：求解一元二次方程的公式為x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

-解題步驟：

①將方程化為一般形式ax^2+bx+c=0；

②確定a、b、c的值；

③判斷判別式Δ=b^2-4ac的值；

④當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，應(yīng)用公式求解；

⑤當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有一個(gè)重根，即兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，應(yīng)用公式求解；

⑥當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，應(yīng)用公式求解復(fù)數(shù)根。

3.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程

-關(guān)鍵信息：從實(shí)際問(wèn)題中提取關(guān)鍵信息，如物體運(yùn)動(dòng)的速度、加速度等。

-轉(zhuǎn)化步驟：

①明確實(shí)際問(wèn)題中的已知量和未知量；

②根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系，列出方程；

③檢驗(yàn)方程是否符合一元二次方程的一般形式。

4.求解一元二次方程的應(yīng)用

-實(shí)際問(wèn)題：運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，例如：拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、物體的運(yùn)動(dòng)等。

-解題步驟：

①將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，列出方程；

②應(yīng)用一元二次方程的解法求解方程；

③分析結(jié)果，得出結(jié)論。課后拓展1.拓展內(nèi)容：

課后，學(xué)生可以閱讀一些與一元二次方程應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)故事、歷史背景和實(shí)際案例，以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，并激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。以下是一些建議的拓展材料：

-數(shù)學(xué)故事：《一元二次方程的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用》：介紹一元二次方程的歷史發(fā)展，以及它在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用。

-實(shí)際案例：收集一些與一元二次方程相關(guān)的生活實(shí)例，如身高與距離的關(guān)系、拋物線形狀的物體等，讓學(xué)生了解一元二次方程在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

-拓展問(wèn)題：提供一些富有挑戰(zhàn)性的拓展問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考一元二次方程的解法及其應(yīng)用，如求解多元二次方程組、研究一元二次方程的圖像等。

2.拓展要求：

-學(xué)生自主選擇拓展材料，進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中記錄下自己的思考和收獲。

-鼓勵(lì)學(xué)生之間進(jìn)行交流和討論，分享自己的學(xué)習(xí)心得和解決問(wèn)題的方法。

-教師可提供必要的指導(dǎo)和幫助，如推薦閱讀材料、解答疑問(wèn)等。

-學(xué)生需在課后將自己的拓展學(xué)習(xí)成果以書(shū)面形式提交，包括所學(xué)內(nèi)容、解決問(wèn)題的方式、得到的結(jié)論等。板書(shū)設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

1.一元二次方程的定義及一般形式

2.一元二次方程的解法

3.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程

4.求解一元二次方程的應(yīng)用

②詞、句等：

1.一元二次方程：ax^2+bx+c=0（a≠0）

2.解法公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

3.實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化：提取關(guān)鍵信息，列出方程

4.應(yīng)用案例：拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、物體的運(yùn)動(dòng)

③藝術(shù)性和趣味性：

1.設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔明了的板書(shū)框架，突出重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，便于學(xué)生理解和記憶。

2.利用圖形、圖像等視覺(jué)元素，展示一元二次方程的解法和實(shí)際應(yīng)用，增強(qiáng)趣味性和直觀性。

3.結(jié)合實(shí)際案例，如拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、物體的運(yùn)動(dòng)等，讓學(xué)生感受一元二次方程的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

4.利用顏色、字體等元素，區(qū)分不同的知識(shí)點(diǎn)，使板書(shū)更加生動(dòng)有趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置：

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，布置適量的作業(yè)，以便于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)并提高能力。具體作業(yè)如下：

-完成課后習(xí)題：要求學(xué)生獨(dú)立完成教材后的習(xí)題，鞏固一元二次方程的定義、一般形式、解法以及實(shí)際應(yīng)用。

-編寫(xiě)實(shí)際問(wèn)題：要求學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)，編寫(xiě)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并求解。

-制作思維導(dǎo)圖：要求學(xué)生制作一元二次方程的思維導(dǎo)圖，梳理知識(shí)點(diǎn)，提高對(duì)知識(shí)的理解和記憶。

2.作業(yè)反饋：

及時(shí)對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行批改和反饋，指出存在的問(wèn)題并給出改進(jìn)建議，以促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步。具體反饋如下：

-針對(duì)課后習(xí)題，檢查學(xué)生的解題步驟是否正確，解題方法是否合理，答案是否準(zhǔn)確。對(duì)錯(cuò)誤的解題方法進(jìn)行糾正，提供正確的解題思路。

-對(duì)于學(xué)生編寫(xiě)的問(wèn)題，檢查方程的轉(zhuǎn)化是否準(zhǔn)確，求解過(guò)程是否規(guī)范。對(duì)于不準(zhǔn)確或不規(guī)范的轉(zhuǎn)化和求解，給予指導(dǎo)和糾正。

-檢查思維導(dǎo)圖的完整性、清晰度和邏輯性。對(duì)不完整的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)充，對(duì)不清晰或邏輯性不強(qiáng)的部分進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化。教學(xué)反思與改進(jìn)在本節(jié)課的教學(xué)中，我對(duì)教學(xué)效果進(jìn)行了評(píng)估，并識(shí)別了一些需要改進(jìn)的地方。以下是我的反思和改進(jìn)措施：

首先，我注意到學(xué)生在理解一元二次方程的定義和一般形式時(shí)存在一定的困難。有些學(xué)生對(duì)二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的概念混淆不清，導(dǎo)致無(wú)法正確列出方程。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我計(jì)劃在未來(lái)的教學(xué)中使用更多的實(shí)例和圖示來(lái)幫助學(xué)生理解這些概念。例如，可以通過(guò)繪制拋物線來(lái)展示一元二次方程的圖像，使學(xué)生更容易理解方程的結(jié)構(gòu)和特性。

其次，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運(yùn)用求解公式時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。一些學(xué)生忘記了判別式的計(jì)算，或者在應(yīng)用公式時(shí)出現(xiàn)四則運(yùn)算錯(cuò)誤。為了提高學(xué)生對(duì)公式的掌握程度，我計(jì)劃在課堂練習(xí)中增加更多求解公式的練習(xí)題目，并要求學(xué)生在課堂上進(jìn)行實(shí)際的計(jì)算。同時(shí)，我也會(huì)提供一些在線練習(xí)題庫(kù)，讓學(xué)生在課后進(jìn)行更多的練習(xí)，以鞏固對(duì)公式的理解和應(yīng)用。

第三，學(xué)生在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程時(shí)，有時(shí)難以