專項(xiàng)20銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用-擁抱型

專項(xiàng)20銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用擁抱型分別解兩個(gè)直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.圖形演變及對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系如下：特別提醒：“面對(duì)面”型關(guān)鍵是找到兩個(gè)直角三角形的公共邊1．（2022?江漢區(qū)模擬）數(shù)學(xué)小組的兩位同學(xué)準(zhǔn)備測(cè)量兩幢教學(xué)樓之間的距離．如圖，兩幢教學(xué)樓AB和CD之間有一景觀池（AB⊥BD，CD⊥BD），一同學(xué)在A點(diǎn)測(cè)得池中噴泉處E點(diǎn)的俯角為42°．另一同學(xué)在C點(diǎn)測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45°（點(diǎn)B，E，D在同一直線上），兩個(gè)同學(xué)在學(xué)校資料室查出樓高AB＝15m，CD＝20m，則兩幢教學(xué)樓之間的距離BD約為m．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【答案】36.7．【解答】解：由題意可得∠AEB＝42°，∠CED＝45°，在Rt△ABE中，tan42°＝≈0.90，解得BE≈16.7，在Rt△CDE中，∠CED＝45°，∴CD＝DE＝20m，∴BD＝BE+DE≈36.7m．故答案為：36.7．2．（2022?包河區(qū)三模）如圖，校園內(nèi)兩棟教學(xué)樓AB和CD之間有一棵古樹EF，從樓頂C處經(jīng)過樹頂E點(diǎn)恰好看到教學(xué)樓AB的底部B點(diǎn)且俯角α為30°，從教學(xué)樓CD的底部D處經(jīng)過樹頂E點(diǎn)恰好看到教學(xué)樓AB的頂部A點(diǎn)，且仰角β為53°，已知樹高EF＝6米，求DF的長及教學(xué)樓AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）【解答】解：由題意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，在Rt△DEF中，EF＝6米，tan∠ADB＝tan53°＝≈，tan∠CBD＝tan30°＝，解得DF＝4.5，BF＝6，∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan53°＝≈，解得AB＝6+8≈19.8，∴DF的長約為4.5米，教學(xué)樓AB的高度約為19.8米．3．（涼山州）如圖，在樓房AB和塔CD之間有一棵樹EF，從樓頂A處經(jīng)過樹頂E點(diǎn)恰好看到塔的底部D點(diǎn)，且俯角α為45°．從距離樓底B點(diǎn)1米的P點(diǎn)處經(jīng)過樹頂E點(diǎn)恰好看到塔的頂部C點(diǎn)，且仰角β為30°．已知樹高EF＝6米，求塔CD的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】解：由題意可知∠BAD＝∠ADB＝45°，∴FD＝EF＝6米，在Rt△PEH中，∵tanβ＝＝，∴BF＝＝5（米），∴PG＝BD＝BF+FD＝5+6（米），在RT△PCG中，∵tanβ＝，∴CG＝（5+6）?＝5+2（米），∴CD＝（6+2）米．4．（2022?長沙一模）長沙電視塔位于長沙市岳麓區(qū)岳麓山峰頂，其功能集廣播電視信號(hào)發(fā)射與旅游觀光于一身，登塔可鳥瞰長沙全貌．為測(cè)量電視塔的高度，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組同學(xué)先在電視塔附近一棟樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)電視塔頂端C處的仰角是60°，然后在安全人員的引導(dǎo)下去該樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)電視塔底部D處的俯角是30°．已知樓房高AB約是24m．（結(jié)果用根號(hào)表示）（1）求樓房與電視塔底部距離AD的長；（2）求電視塔的高度．【解答】解：（1）∵頂端B點(diǎn)處觀測(cè)電視塔底部D處的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ABD中，AB＝24m，∵tan∠ADB＝＝tan30°＝，∴AD＝AB＝24（m），答：樓房與電視塔底部距離AD的長為24m；（2）∵在一樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)電視塔頂端C處的仰角是60°，∴∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan60°＝，∴CD＝AD＝×24＝72（m）．答：電視塔的高度為72m．5．（2022?巴中模擬）如圖，小明和小亮周末到巴人廣場(chǎng)測(cè)量兩棟樓AB和CD的高度，小明將木桿EF放在樓AB和CD之間（垂直于水平面），小亮將測(cè)角儀放在G處（A、F、G三點(diǎn)在一條直線上），測(cè)得樓AB頂部的仰角∠AGB＝30°，再將測(cè)角儀放在H處（D、F、H三點(diǎn)在一條直線上），測(cè)得樓CD頂部的仰角∠DHC＝60°，同時(shí)測(cè)得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內(nèi)，結(jié)果精確到0.1米，≈1.732）（1）求樓AB的高度；（2）求樓CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG?tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴樓AB的高度約為12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG?tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC?tan60°＝16≈27.7（m）．∴樓CD的高度約為27.7m．6．（2022?泗陽縣一模）如圖，某校教學(xué)樓（矩形AGHD）前是辦公樓（矩形BENM），教學(xué)樓與辦公樓之間是學(xué)生活動(dòng)場(chǎng)所（AB）和旗桿（CF），教學(xué)樓、辦公樓和旗桿都垂直于地面，在旗桿底C處測(cè)得教學(xué)樓頂?shù)难鼋菫?5°，在旗桿底C處測(cè)得辦公樓頂?shù)母┙菫?7°，已知教學(xué)樓高度AD為20m，旗桿底部（C）到辦公樓底部（B）的距離比到教學(xué)樓底部（A）的距離少4m，求辦公樓的高度EB．（參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：根據(jù)題意可知：AD⊥AC，AC⊥CF，AB⊥BE，∵∠ACD＝45°，∴∠ADC＝45°，∴AC＝AD＝20m，∵BC＝AC﹣4，∴BC＝20﹣4＝16（m），在Rt△CBE中，∠BCE＝37°，∴BE＝BC?tan37°≈16×0.75＝12（m），答：辦公樓的高度EB為12m．7．（2022?淮濱縣三模）由綠地集團(tuán)耗資22億建設(shè)的“大玉米”位于河南省省會(huì)鄭州市鄭東新區(qū)，因?yàn)槠涫菆A柱塔式建筑，夜晚其布景燈采用黃色設(shè)計(jì)，因此得名，如今已經(jīng)成為CBD的一座新地標(biāo)建筑．某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量其高度，一人先在附近一樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)“大玉米”頂端C處的仰角是45°，然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)“大玉米”底部D處的俯角是30°．已知樓房AB高約是162m，根據(jù)以上觀測(cè)數(shù)據(jù)求“大玉米”的高．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【解答】解：由題意可知，∠CAD＝45°，∠EBD＝30°＝∠ADB，AB＝DE＝162米，在Rt△ABD中，∵tan30°＝，∴AD＝＝162（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝162≈280（米），答：“大玉米”的高約為280米．8．（2022?睢陽區(qū)模擬）數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量學(xué)校外的一座古塔AB的高度，小明在地面C處觀測(cè)到塔尖A的仰角為58°，塔的另一側(cè)有一斜坡DE（D，B，C在同一直線上），坡度i＝1：，小亮在E處測(cè)得塔尖A的仰角為45°，已知斜坡DE＝15米，CD＝20米，求古塔AB的高度．（精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.8480，cos58°≈0.5299，tan58°≈1.600）【解答】解：過E作EF⊥BC于F，在Rt△EDF中，∵山坡AB的坡度i＝1：，∴tan∠EDF＝＝1：＝，設(shè)EF＝3k，DF＝4k，∴DE＝5k＝15，∴k＝3，∴EF＝9米，DF＝12米，過E作EG⊥AB于G，則EG＝BF，BG＝EF，∵∠AEG＝45°，∴AG＝EG，設(shè)EG＝AG＝BF＝x米，∴AB＝AG+BG＝（x+9）米，在Rt△ABC中，∠C＝58°，∴tan58°＝＝≈1.6，∴BC＝，∵CD＝20米，∴EG+BC＝DF+CD，∴x+＝12+20，解得：x≈16.23，∴AB＝x+9＝25.23≈25.2（米），答：古塔AB的高度約為25.2米．9．（2022?青浦區(qū)模擬）如圖，斜坡BC的坡度為1：6，坡頂B到水平地面（AD）的距離AB為3米，在B處、C處分別測(cè)得ED頂部點(diǎn)E的仰角為26.6°和56.3°，點(diǎn)A、C、D在一直線上，求DE（DE⊥AD）的高度（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5，sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.5）【解答】解：過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F，則AB＝DF，BF＝AD，設(shè)EF＝x米，在Rt△EBF中，∠EBF＝26.6°，∴EF＝BF?tan26.6°，∴x≈BF×0.5，∴BF＝2x米，∵斜坡BC的坡度為1：6，坡頂