專題7.5期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之平行四邊形二十一大必考點(diǎn)（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題7.5平行四邊形二十一大必考點(diǎn)【浙教版】TOC\o"13"\h\u【考點(diǎn)1利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長度】 1【考點(diǎn)2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】 2【考點(diǎn)3利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】 3【考點(diǎn)4格點(diǎn)中利用無刻度直尺作平行四邊形】 4【考點(diǎn)5判斷能否構(gòu)成平行四邊形】 5【考點(diǎn)6添加條件構(gòu)成平行四邊形】 6【考點(diǎn)7數(shù)圖形中平行四邊形的個數(shù)】 8【考點(diǎn)8求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個數(shù)】 9【考點(diǎn)9利用平行四邊形的判定證明平行四邊形】 10【考點(diǎn)10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】 11【考點(diǎn)11利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長度】 12【考點(diǎn)12利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】 13【考點(diǎn)13利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】 15【考點(diǎn)14利用動點(diǎn)判斷平行四邊形】 16【考點(diǎn)15平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 17【考點(diǎn)16多邊形的對角線】 19【考點(diǎn)17多邊形中多（少）算一個角問題】 20【考點(diǎn)18求截角后多邊形的邊數(shù)或內(nèi)角和】 20【考點(diǎn)19多邊形的內(nèi)角和與外角和的綜合運(yùn)用】 21【考點(diǎn)20三角形的中位線】 22【考點(diǎn)21中心對稱】 23【考點(diǎn)1利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長度】【例1】（2022春·浙江杭州·八年級?？计谥校┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，∠A的平分線把BC分成長度是3，4的兩部分，則平行四邊形ABCD的周長是_____．【變式11】（2022春·浙江杭州·八年級?？计谥校┢叫兴倪呅蔚膬蓷l對角線長分別為3和5，則其中一條長為整數(shù)的邊可以是___________．【變式12】（2022春·浙江杭州·八年級?？计谥校┰?ABCD中，BE，CF分別平分∠ABC，∠BCD，交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AD=6，EF=2，則AB的長為______．【變式13】（2022春·四川綿陽·八年級?？计谥校┰诿娣e為15的平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE垂直于直線BC于點(diǎn)E，作AF垂直于直線CD于點(diǎn)F，若AB=5，BC=6，則A．11+1132 B．11?1132 C．11+11【考點(diǎn)2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】【例2】（2022春·吉林長春·八年級?？计谥校┤鐖D，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若∠1=48°，∠2=32°，則∠B的度數(shù)為（

A．124° B．114° C．104° D．56°【變式21】（2022春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，以平行四邊形ABCD的邊CD為斜邊向內(nèi)作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且點(diǎn)E在平行四邊形內(nèi)部，連接AE、BE，則∠AEB的度數(shù)是（

）．A．130° B．135° C．150° D．125°【變式22】（2014春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABCDD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC，則∠ECB的度數(shù)是_____度．【變式23】（2022春·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB:BC為1:2，取長邊BC的中點(diǎn)M，∠B=60°，則∠CDM=__．【考點(diǎn)3利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】【例3】（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級校考期末）如圖，在?ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分線AF，DE分別與線段BC交于點(diǎn)F，E，AF與DE交于點(diǎn)(1)求證：AF⊥DE，(2)若AD=10，AB=6，【變式31】（2022春·黑龍江雞西·九年級雞西市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，求證：OE=OF．【變式32】（2022春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F，AD=DF，連接DE．(1)求證：AE平分∠BAD；(2)若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∠B=60°，AD=4，求【變式33】（2022春·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是對角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF，連接AE、AF、【考點(diǎn)4格點(diǎn)中利用無刻度直尺作平行四邊形】【例4】（2022春·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在6×6網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點(diǎn)A,B在格點(diǎn)上．請根據(jù)條件畫出符合要求的圖形．(1)在圖甲中畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)且一邊長為5的平行四邊形．要求：各頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(2)在圖乙中畫出線段AB的中點(diǎn)O．要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作圖痕跡．【變式41】（2022春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谀┤鐖D，每個小正方形的邊長都是1，A、B、C、D均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)∠BCD是直角嗎？請證明你的判斷．(2)找到格點(diǎn)E，并畫出四邊形ABED（一個即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．【變式42】（2022春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中（每個正方形的邊長為1），點(diǎn)A和點(diǎn)B都在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，分別按以下要求作圖．(1)圖1中，以AB為邊作一平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為6；(2)圖2中，以AB為對角線作一平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為10．【考點(diǎn)5判斷能否構(gòu)成平行四邊形】【例5】（2022春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（

）A．OA=OC,AB∥DC C．∠ABD=∠ADB,∠BAO=∠DCO D．AB=DC,AD=BC【變式51】（2022春·重慶潼南·八年級校聯(lián)考期中）下列命題中，真命題是（

）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．有一組對邊和一組對角分別相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形D．兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是平行四邊形【變式52】（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）已知，四邊形ABCD，AC，BD交于點(diǎn)O，請從給定四個條件①AB＝CD；②AD∥BC；③∠BAD＝∠BCD；④BO＝DO中選擇兩個，使得四邊形ABCD可判定為平行四邊形，你的選擇是（）A．①② B．②④ C．①③ D．①④【變式53】（2022春·北京·八年級北京市師達(dá)中學(xué)校考期中）如圖，?ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N，P，Q分別是?ABCD四條邊上不重合的點(diǎn)．下列條件：①AQ=CN，AM=CP；②MP，NQ均經(jīng)過點(diǎn)O；③NQ經(jīng)過點(diǎn)O，AQ=CN．能判定四邊形MNPQ是平行四邊形的有____________（填序號）．【考點(diǎn)6添加條件構(gòu)成平行四邊形】【例6】（2022春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AD的延長線上一點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)F，連接CE，BD．添加下列一個條件后，仍不能判定四邊形BCED為平行四邊形的是（

）A．∠ABD=∠DCE B．∠AEC=∠CBD C．EF=BF D．∠AEB=∠BCD【變式61】（2022春·浙江湖州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)D從點(diǎn)A開始，沿邊AB向點(diǎn)B以每秒53個單位長度的速度運(yùn)動，且恰好能始終保持連結(jié)兩動點(diǎn)的直線PD⊥AC，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，連結(jié)PQ．點(diǎn)P，D，Q分別從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另兩個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t（1）當(dāng)t為何值時，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的一半？（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．【變式62】（2022春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，如果添加一個條件使四邊形BEDF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）A．DE=BF B．AE=FC C．AF=CE D．∠1=∠2【變式63】（2022春·北京·八年級北京八中?？计谥校┬≡茖W(xué)習(xí)了平行四邊形的判定后，想利用平行四邊形的判定方法探究下列問題．(1)利用平行四邊形的判定方法作平行四邊形，作法是：如圖1，在△ABC中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，BC,AB為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接AD,CD，四邊形ABCD就是平行四邊形．小云判定四邊形ABCD平行四邊形的依據(jù)是___________；(2)探究：“四邊形ABCD中，若AB=CD，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AO=CO，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？”①在圖2中作出符合條件的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；②結(jié)合所作圖形，符合條件的四邊形ABCD________（填寫“是”、“不是”或“不一定是”）平行四邊形．(3)探究：“四邊形ABCD中，若AB=CD，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AO=CO，∠AOB=45°，當(dāng)AB與AO滿足什么條件時，四邊形ABCD一定是平行四邊形？”直接寫出AB與AO滿足的條件是：____________．【考點(diǎn)7數(shù)圖形中平行四邊形的個數(shù)】【例7】（2022春·江蘇無錫·八年級無錫市第一女子中學(xué)?？计谥校┤鐖D：在4×4的正方形（每個小正方形的邊長均為1）網(wǎng)格中，以A為頂點(diǎn)，其他三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格的交點(diǎn)）上，且面積為2的平行四邊形共有多少個？(

)A．12 B．16 C．24 D．25【變式71】（2022春·內(nèi)蒙古通遼·八年級?？计谥校┯蓛蓚€全等三角形用各種不同的方法拼成四邊形，在這些拼成的四邊形中是平行四邊形的個數(shù)是（

）．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式72】（2022春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC，交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．（1）如圖1，求證：四邊形ADCF是矩形；（2）如圖2，當(dāng)AB＝AC時，取AB的中點(diǎn)G，連接DG、EG，在不添加任何輔助線和字母的條件下，請直接寫出圖中所有的平行四邊形（不包括矩形ADCF）．【變式73】（2022春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，則圖中的平行四邊形的個數(shù)共有()個．A．12個 B．9個 C．5 D．7【考點(diǎn)8求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個數(shù)】【例8】（2022春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫圖：（1）請你在圖1中畫一個直角三角形滿足它是軸對稱圖形；（2）請你在圖2中畫一個以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，5為直角邊的直角三角形；（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）．請你在圖3中建立平面直角坐標(biāo)系，找出格點(diǎn)D，使以A、B、C、D四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則滿足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)是：．【變式81】（2022春·新疆烏魯木齊·八年級新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在8×8的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長為1，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)圖1中△ABC的周長為______．（結(jié)果保留根號）(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，請你在圖中找出一點(diǎn)D，使A、B、C、D四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)是______．(3)在圖2中畫出以MN為一邊長，另外兩邊長分別為10和26的格點(diǎn)△MNE．【變式82】（2022春·浙江衢州·八年級統(tǒng)考期中）已知平面上有三個點(diǎn)，點(diǎn)A(2，0),B5,2,C(3，4)，以點(diǎn)A，點(diǎn)B,點(diǎn)C為頂點(diǎn)畫平行四邊形，則第四個頂點(diǎn)【變式83】（2022春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期中）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是?1,2,4,2,2,?1,若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,則點(diǎn)A．7,?1 B．?3,?1 C．1,5 D．2,5【考點(diǎn)9利用平行四邊形的判定證明平行四邊形】【例9】（2022春·浙江杭州·八年級杭州英特外國語學(xué)校校考期中）如圖，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形(2)若∠ABC=60°，BD=23，求平行四邊形ADEF【變式91】（2022秋·江蘇鹽城·八年級校考期中）如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處．(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；(2)若AB=6，AC=10，求四邊形AECF的面積．【變式92】（2022春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，已知AC垂直平分BD，DF⊥BD，∠ABC=∠DCF．(1)求證：四邊形ACFD是平行四邊形．(2)若DF=CF=5，CD=6，求BD的長．【變式93】（2022秋·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在四邊形BCDE中，CD∥BE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF交BE于點(diǎn)A，且點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：四邊形BCDE是平行四邊形．【考點(diǎn)10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】【例10】（2022春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，F(xiàn)是□ABCD的邊CD上的點(diǎn)，Q是BF中點(diǎn)，連接CQ并延長交AB于點(diǎn)E，連接AF與DE相交于點(diǎn)P，若S△APD=2cm2，A．24 B．17 C．18 D．10【變式101】（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于點(diǎn)A成中心對稱的△AB′C′，其中點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)為CA．128 B．643 C．64 D．【變式102】（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，分別以直角三角形的三邊向外作等邊三角形，然后將較小的兩個等邊△AFG和△BDE放在最大的等邊△ABC內(nèi)（如圖），DE與FG交于點(diǎn)P，連結(jié)AP，F(xiàn)E．欲求△GECA．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【變式103】（2022春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在?ABCD中，過對角線BD上一點(diǎn)P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則【考點(diǎn)11利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長度】【例11】（2022·遼寧丹東·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，∠BAD=120°，連接BD，作AE∥BD交CD延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，且CF=1，則AB的長是（）A．2 B．1 C．3 D．2【變式111】（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，點(diǎn)P為BC上一動點(diǎn)，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于點(diǎn)Q，則四邊形APCQ的形狀是______，連接PQ，當(dāng)PQ取得最小值時，四邊形APCQ的周長為_____．【變式112】（2022·廣東佛山·石門中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，將△CDE沿DE折疊，得到△FDE，連接BF，CF，∠BFC=90°，若EF∥AB，AB=43【變式113】（2022春·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，連接AC、AE，AE交CD于點(diǎn)H，∠DCE的平分線交AE于點(diǎn)G．若AB=2AD=10，點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，HE=6，則A．9 B．97 C．10 D．3【考點(diǎn)12利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】【例12】（2022春·湖北武漢·八年級校考期末）如圖，AB=13，點(diǎn)D為AB上一動點(diǎn)，CD⊥AB于D，CD=8，點(diǎn)E在線段CD上，CE=3，連接BE．當(dāng)BE+AC最小時，∠ACD的度數(shù)為（

）A．75° B．60° C．45° D．30°【變式121】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，在△ABC的BC邊的同側(cè)分別作等邊△ABD，等邊△BCF和等邊△ACE，AB＝3，【變式122】（2022秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD//BC，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AO＝OC．(1)求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；(2)過點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數(shù)．【變式123】（2022春·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，O是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接EO并延長交AD邊于點(diǎn)F、交CD延長線于點(diǎn)G．OE=OF，AD=BC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．（2）若∠A=62°，∠G=40°，求∠BEG的度數(shù)．【考點(diǎn)13利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】【例13】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有A0,3，D5,0兩點(diǎn)．將直線l1：y=x向上平移2個單位長度得到直線l2，點(diǎn)B在直線l2上，過點(diǎn)B作直線l1的垂線，垂足為點(diǎn)C，連接AB，BC，【變式131】（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校校考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP=CQ，連結(jié)CP、QD，則PC+QD的最小值為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【變式132】（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式133】（2022秋·全國·八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形AMNB各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是：A(0,?2)，B(2,2),M(3,a),N(3,b)，且MN=1,?a<b，那么四邊形AMNB周長的最小值為（A．6+25 B．6+13 C．34+2【考點(diǎn)14利用動點(diǎn)判斷平行四邊形】【例14】（2022春·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：直線y=x+2與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A、B，直線CD與AB交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D(0,8)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3．(1)求直線CD的解析式；(2)點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P(t,0)作x軸垂線分別與直線AB、CD交于點(diǎn)M、N，求線段MN的長（用t表示）；(3)在（2）的條件下，t為何值時，以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【變式141】（2022春·八年級課時練習(xí)）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A?8,0，C0,26，AB∥y軸且AB=24，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1個單位長度/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時出發(fā)，以2個單位長度/s的速度向點(diǎn)(1)當(dāng)四邊形BCQP是平行四邊形時，求t的值；(2)當(dāng)PQ=BC時，求t的值；(3)當(dāng)PQ恰好垂直平分BO時，求t的值．【變式142】（2022秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=8，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q同時以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動．當(dāng)運(yùn)動時間為多少秒時，以點(diǎn)P，Q，E，【變式143】（2022春·湖南長沙·八年級長沙市第二十一中學(xué)校考期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q同時以每秒3個單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動．點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)(1)PD?=_________，CQ=__________;(用含t的式子表示)(2)當(dāng)運(yùn)動時間t為多少秒時，PQ∥(3)當(dāng)運(yùn)動時間t為多少秒時，以點(diǎn)P，Q，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【考點(diǎn)15平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】【例15】（2022春·八年級課時練習(xí)）如圖，一塊草地的中間有一條彎路，AC∥BD，CE∥DF．請給出一種方案，把道路改直，且草地的種植面積保持不變．【變式151】（2022春·江蘇泰州·八年級靖江市靖城中學(xué)校期中）村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？【變式152】（2022秋·浙江溫州·八年級樂清外國語學(xué)校?？计谀┠筹L(fēng)力發(fā)電設(shè)備如圖1所示，其示意圖如圖2，已知三個葉片OA，OB，OC均勻地∠AOB=∠BOC=∠COA分布在支點(diǎn)O上，OH垂直地面MN．當(dāng)光線與地面的夾角為60°，葉片CO與光線平行時，測得葉片影子【變式153】（2022春·江蘇·八年級期末）如圖1是某一遮陽蓬支架從閉合到完全展開的一個過程，當(dāng)遮陽蓬支架完全閉合時，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽蓬支架完全展開時的一個示意圖，支桿MN固定在垂直于地面的墻壁上，支桿CE與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，在支架展開過程中四邊形ABCD始終是平行四邊形．(1)若遮陽蓬完全展開時，CE長2米，在與水平地面呈60°的太陽光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）(2)長支桿與短支桿的長度比（即CE與AD的長度比）是______．【考點(diǎn)16多邊形的對角線】【例16】（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級階段練習(xí)）若經(jīng)過n邊形的一個頂點(diǎn)的所有對角線可以將該n邊形分成6個三角形，則n邊形的對角線條數(shù)為（

）A．20 B．19 C．18 D．17【變式161】（2022·山東威?！て谀┮粋€多邊形從一個頂點(diǎn)處可以引出10條對角線，這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．7 B．8 C．12 D．13【變式162】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知從九邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可引出m條對角線，這些對角線可以把這個九邊形分成n個三角形，則m?n=________；十三邊形的共有________條對角線．【變式163】（2022·吉林·長春南湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級階段練習(xí)）【教材重現(xiàn)】如圖是數(shù)學(xué)教材第135頁的部分截圖．在多邊形中，三角形是最基本的圖形．如圖4.4.5所示，每一個多邊形都可以分割成若干個三角形．?dāng)?shù)一數(shù)每個多邊形中三角形的個數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？在多邊形中，連接不相鄰的兩個頂點(diǎn)，所得到的線段稱為多邊形的對角線．【問題思考】結(jié)合如圖思考，從多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以得到的對角線的數(shù)量，并填寫表：多邊形邊數(shù)四五六……十二……n從一個頂點(diǎn)出發(fā)，得到對角線的數(shù)量1條…………【問題探究】n邊形有n個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)分別連接對角線后，每條對角線重復(fù)連接了一次，由此可推導(dǎo)出，n邊形共有對角線（用含有n的代數(shù)式表示）．【問題拓展】（1）已知平面上4個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段．（2）已知平面上共有15個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段．（3）已知平面上共有x個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段（用含有x的代數(shù)式表示，不必化簡）．【考點(diǎn)17多邊形中多（少）算一個角問題】【例17】（2022·湖北·廣水市楊寨鎮(zhèn)中心中學(xué)七年級階段練習(xí)）小明在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，由于粗心少計算了一個內(nèi)角，結(jié)果得1345°，則未計算的內(nèi)角的大小為（

）A．80° B．85° C．95° D．100°【變式171】（2022·四川達(dá)州·八年級期末）已知一個多邊形多算了一個內(nèi)角得到內(nèi)角和是1960°，則這個多邊形是（

）A．十一邊形 B．十二邊形 C．十三邊形 D．十五邊形【變式172】（2022·山西呂梁·八年級期中）已知一個包裝盒的底面是內(nèi)角和為720°的多邊形，它是由另一個多邊形紙片剪掉一個角以后得到的，則原多邊形是_______邊形．【變式173】（2022·江蘇·匯文實(shí)驗(yàn)初中七年級階段練習(xí)）小明在用計算器計算一個多邊形的內(nèi)角和時，得出的結(jié)果為2005°，小芳立即判斷他的結(jié)構(gòu)是錯誤的，小明仔細(xì)地復(fù)算了一遍，果然發(fā)現(xiàn)自己把一個角的度數(shù)輸入了兩遍.你認(rèn)為正確的內(nèi)角和應(yīng)該是________．【考點(diǎn)18求截角后多邊形的邊數(shù)或內(nèi)角和】【例18】（2022·湖北十堰·八年級期中）一個多邊形截去一個角后，變成16邊形，那么原來的多邊形的邊數(shù)為（

）A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18【變式181】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（

）A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12【變式182】（2023·河北·九年級專題練習(xí)）若過多邊形的一個頂點(diǎn)作一條直線，把這個多邊形截掉兩個角，它的內(nèi)角和變?yōu)?260°，則這個多邊形原來的邊數(shù)為（

）A．12 B．10 C．11 D．10或11【變式183】（2022·河南·上蔡縣第一初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖①，△ABC中，BD平分∠ABC，且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點(diǎn)D．（1）若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度數(shù)；（2）若把∠A截去，得到四邊形MNCB，如圖②，猜想∠D、∠M、∠N的關(guān)系，并說明理由．【考點(diǎn)19多邊形的內(nèi)角和與外角和的綜合運(yùn)用】【例19】（2022·江蘇·無錫市查橋中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°【變式191】（2022·河南信陽·七年級期末）已知一正n邊形的內(nèi)角和等于1440°，則這個正多邊形的每個外角等于（

）A．36° B．45° C．60° D．72°【變式192】（2022·山西臨汾·七年級期末）在五邊形ABCDE中，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度數(shù)之比為3：5：3：4：3，則∠D的外