專題03分式和分式方程（講義）中考數(shù)學一輪復習

專題03分式和分式方程1．了解分式和最簡分式的概念；2．能利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分；3．能進行簡單的分式加、減、乘、除運算；4．能解可化為一元一次方程的分式方程；5．能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出可化為一元一次方程的分式方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型，能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理?？键c1：分式的有關概念及性質(zhì)1．分式：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注：分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當B≠0時，分式才有意義.2.分式的基本性質(zhì)（M為不等于0的整式）.

3．最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子、分母中含有公因式，要進行約分化簡.考點2：分式的運算1．約分：利用分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子和分母中的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.2．通分：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘以適當?shù)恼?，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．3．基本運算法則分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算QUOTE；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.（2）乘法運算，其中是整式，.兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算，其中是整式，.兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘.（4）乘方運算分式的乘方，把分子、分母分別乘方.

4.分式的混合運算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的.考點3：分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．3．分式方程的增根問題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根增根.注：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解.考點4：分式方程的應用列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些．解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數(shù)、確定主要等量關系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進行求解.【題型1：分式的概念和性質(zhì)】【典例1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）使分式有意義的x的取值范圍是．【答案】【分析】如果要使分式有意義，則分母不能為零，即可求得答案．【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件，即，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義分母不為零是關鍵．1．（2023·江蘇鹽城·景山中學校考模擬預測）函數(shù)的圖象位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】A【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和函數(shù)的解析式可得，，進而求解.【詳解】解：由函數(shù)，可得自變量的范圍為：，可得：，所以函數(shù)的圖象位于第四象限，故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象，正確求得，是解題的關鍵.2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·?？既＃┤舴质接幸饬x，則x的取值范圍是．【答案】【分析】分式有意義時，分母不等于零．【詳解】解：依題意得：，解得．故答案是：．【點睛】本題考查了分式有意義的條件．（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．3．（2023·江蘇泰州·校考三模）下列等式成立的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式，合并同類項，分式的性質(zhì)，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；

B.，故該選項正確，符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；

D.，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了完全平方公式，合并同類項等，分式的性質(zhì)，熟練掌握相關的性質(zhì)和計算法則是解題的關鍵．4．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）先化簡再求值：，其中是方程的一個根．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再求解方程并結(jié)合分式有意義的條件將適合的x的值代入計算即可．【詳解】解：原式，解得：，（使分式無意義，舍去）當時，原式．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值和一元二次方程的解法，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算法則和一元二次方程的解法．【題型2：分式的運算】【典例2】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：已知，，，試比較與的大小．小華：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較與的大?。∪A：∵，∴．老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)作差法求的值即可得出答案；（2）根據(jù)作差法求的值即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，．故答案為：．【點睛】本題考查分式運算的應用，解題關鍵是理解材料，通過作差法求解，掌握分式運算的方法．1．（2023·江蘇揚州·?？寄M預測）已知，其中A、B為常數(shù)，那么的值為．【答案】1【分析】由，可得，即可求出與的值．【詳解】解：由可得，，，，，．故答案為：1．【點睛】本題考查分式的加減法，能夠熟練掌握分式的加法的運算法則是解題的關鍵．2.（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）比較大小：．（用“”、“”或“”填空）【答案】【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪計算各數(shù)，然后再比較即可．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．3．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先算零指數(shù)冪，三角函數(shù)值和乘方，再算加減法；（2）先通分，計算括號內(nèi)的減法，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，將分子和分母因式分解，最后約分計算．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，分式的混合運算，還涉及了零指數(shù)冪，三角函數(shù)值，要熟練掌握相應的運算法則．4．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）已知，，證明：．【答案】見解析【分析】根據(jù)作差法比較大小，然后根據(jù)分式的加減進行計算得出即可得證．【詳解】證明：∵，又，，∴，，．∴，∴．【點睛】本題考查了分式的加減運算，熟練掌握分式的加減運算是解題的關鍵．【題型3：解分式方程】【典例3】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（1）解方程：；（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先去分母，再移項合并同類項，解出x的值，再對所求的根進行檢驗即可；（2）分別解每一個不等式，再求不等式組的解集即可．【詳解】解：（1）方程兩邊同時乘以，得，解得，檢驗：當時，，∴是原方程的解；（2），解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式組的解集是．【點睛】本題考查解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）關于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】先解分式方程，得出，根據(jù)方程的解是正數(shù)得出，同時注意分式有意義，解不等式即可．【詳解】解：，去分母，得，解得：，∵關于x的方程的解是正數(shù)，∴且，∴且．故選：D．【點睛】本題主要考查了根據(jù)分式解的情況求參數(shù)的范圍，解題的關鍵是解分式方程得出關于a的不等式，同時注意分母不等于零．2．（2023·江蘇泰州·?？既＃┓匠痰慕鉃椋敬鸢浮繜o解【分析】解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．按照解分式方程的步驟進行計算即可．【詳解】解：，，，檢驗：當時，，是原方程的增根，原方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．3．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┓质椒匠痰慕馐牵敬鸢浮?【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母得：，解得：，檢驗：把代入得：，分式方程的解為．故答案為：．【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．4．（2023·江蘇蘇州·校考二模）解方程：．【答案】，【分析】方程兩邊同乘以，化為整式方程進行求解，然后進行檢驗，即可求解．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得：，整理得：，解得：，，檢驗：當，時，，原方程的根為，．【點睛】本題考查了解分式方程，掌握解法是解題的關鍵．【題型4：分式方程的應用】【典例4】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）某校舉行“二十大知識學習競賽”活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價均為整數(shù)）．(1)若班長小華在甲商店購買，他發(fā)現(xiàn)用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價．(2)若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價不變）：一次購買的數(shù)量少于30本，按原價售出；不少于30本按軟面筆記本的單價售出．班長小華打算購買本硬面筆記本（為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，求乙商店硬面筆記本的原價．【答案】(1)甲商店硬面筆記本的單價為16元(2)乙商店硬面筆記本的原價18元【分析】（1）根據(jù)“硬面筆記本數(shù)量=軟面筆記本數(shù)量”列出分式方程，求解檢驗即可；（2）設乙商店硬面筆記本的原價為a元，則軟面筆記本的單價為元，由再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同可得，再根據(jù)且m，均為正整數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：設硬面筆記本的單價為x元，則軟面筆記本的單價為元，根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的根，且符合題意，故甲商店硬面筆記本的單價為16元；（2）設乙商店硬面筆記本的原價為a元，則軟面筆記本的單價為元，由題意可得，解得，根據(jù)題意得，解得，為正整數(shù)，，，，，，分別代入，可得，，，，，由單價均為整數(shù)可得，故乙商店硬面筆記本的原價18元．【點睛】本題考查了分式方程的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出相應方1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預測）某學校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型筆記本的單價比乙種類型的要便宜元，且用元購買的甲種類型的數(shù)量與用元購買的乙種類型的數(shù)量一樣，求甲乙兩種類型筆記本的單價．【答案】甲類型筆記本的單價為元，乙類型筆記本的單價為元【分析】設甲類型筆記本的單價為元，則乙類型筆記本的單價為元，根據(jù)用元購買的甲種類型的數(shù)量與用元購買的乙種類型的數(shù)量一樣列出方程，從而可解決問題．【詳解】解：設甲類型筆記本的單價為元，則乙類型筆記本的單價為元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：甲類型筆記本的單價為元，乙類型筆記本的單價為元．【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解答本題的關鍵．2．（2023·江蘇泰州·校考二模）市政府計劃對城區(qū)道路進行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊共同完成，已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的倍，甲隊改造米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用天，求甲、乙兩個工程隊每天能改造道路的長度分別是多少米？【答案】甲工程隊每天能改造道路的長度是60米，乙工程隊每天能改造道路的長度是40米．【分析】設乙工程隊每天能改造道路的長度是米，則甲工程隊每天能改造道路的長度是米，利用工作時間工作總量工作效率，結(jié)合甲隊改造米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用天，可列出關于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出乙工程隊每天能改造道路的長度，再將其代入中，即可求出甲工程隊每天能改造道路的長度．【詳解】解：設乙工程隊每天能改造道路的長度是米，則甲工程隊每天能改造道路的長度是米，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，(米)．答：甲工程隊每天能改造道路的長度是米，乙工程隊每天能改造道路的長度是米．【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．3．（2016·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）某服裝加工廠計劃加工400套運動服，在加工完160套后，采用了新技術，工作效率比原計劃提高了，結(jié)果共用了18天完成全部任務．求原計劃每天加工多少套運動服．【答案】原計劃每天加工20套運動服【分析】根據(jù)題意：“共用了18天完成全部任務”；等量關系為：采用新技術前用的時間+采用新技術后所用的時間．【詳解】設原計劃每天加工x套運動服．根據(jù)題意，得．解得：．經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．答：原計劃每天加工20套運動服．【點睛】此題考查分式方程在實際問題中的應用，找到等量關系是解題的關鍵，注意分式方程需要驗根．4．（2023·江蘇鹽城·?？既＃┠彻举徺I了一批A，B型芯片，其中A型芯片的單價比B型芯片的單價少9元，已知該公司用312元購買A型芯片的條數(shù)與用420元購買B型芯片的條數(shù)相等．(1)求該公司購買的A，B型芯片的單價各是多少元？(2)若兩種芯片共購買了150條，且購買的總費用為4350元，求購買了多少條A型芯片？【答案】(1)B芯片單價35元/條，則A芯片單價為26元/條(2)100條【分析】（1）設型芯片的單價為元條，則型芯片的單價為元條，根據(jù)數(shù)量總價單價結(jié)合用3120元購買型芯片的條數(shù)與用4200元購買型芯片的條數(shù)相等，即可得出關于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設購買條型芯片，則購買條型芯片，根據(jù)總價單價數(shù)量，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設型芯片的單價為元條，則型芯片的單價為元條，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，．答：型芯片的單價為26元條，型芯片的單價為35元條．（2）設購買條型芯片，則購買條型芯片，根據(jù)題意得：，解得：．答：型芯片購買100條．【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找準數(shù)量關系，正確列出一元一次不等式．1．若分式的值為0，則的值是（

）A． B．0 C．3 D．【答案】B【分析】此題考查分式值為零，根據(jù)分式值為零可得分子為零且分母不為零，由此得到答案，據(jù)此解題即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，且，故選：B．2．分式與的最簡公分母是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是最簡公分母，熟知通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母是解題的關鍵．根據(jù)最簡公分母的定義解答即可．【詳解】解：分式與的最簡公分母是．故選：C3．下列各式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是最簡分式的判斷，分式的定義．根據(jù)分式的定義可判斷A，D，再根據(jù)分子，分母沒有公因式的分式是最簡分式，判斷B，C，即可．【詳解】解：是分數(shù)，故A不符合題意；是最簡分式，故B符合題意；，故C不符合題意；，不是分式，故D不符合題意；故選：B．4．將分式約分時，分子分母同時除以（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式的約分．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴將分式約分時，分子分母同時除以．故選：C5．下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查同底數(shù)冪的除法，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，積的乘方運算，根據(jù)同底數(shù)冪的除法，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，積的乘方運算法則分別計算即可得出答案．【詳解】A、，原計算錯誤，故A不符合題意；B、，原計算錯誤，故B不符合題意；C、，原計算錯誤，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．6．隨著自主研發(fā)能力的增強，我國在制造芯片最重要也是最艱難的技術上有了新突破——光刻機，將在年交付第一臺工藝的國產(chǎn)沉浸式光刻機，其中數(shù)據(jù)（即）用科學記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：，故選：D．7．把分式中的值都擴大為原來的2倍，則分式的值（

）．A．不變 B．變?yōu)樵瓉淼?倍 C．變?yōu)樵瓉淼?D．不能確定【答案】B【詳解】分式中的值都擴大為原來的2倍，則有，可知分式的值也變?yōu)樵瓉淼?倍．【易錯點分析】容易錯誤認為分式的值不變而錯選A．8．分式方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將分式方程化為整式方程求解，再檢驗即可．【詳解】解：化為整式方程為：，整理，得：，解得：．經(jīng)檢驗是原方程的解．故選A．【點睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題關鍵，注意檢驗．9．伴隨2023城市自然行動——“1864大熊貓巡展”在長沙站的正式啟動，湖南省地質(zhì)博物館迅速成了巡展的熱門打卡地．某學校九年級學生去距學校的湖南省地質(zhì)博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了后，其余學生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度．若設騎車學生的速度為，則可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了實際問題抽象出分式方程，首先表示出汽車的速度，然后根據(jù)汽車行駛的時間等于騎車行駛的時間減去時間差列方程即可，讀懂題目信息，理解兩種行駛方式的時間的關系是解題的關鍵．【詳解】設騎車學生的速度為，則汽車的速度為，根據(jù)題意得：，故選：D．10．若關于x的分式方程有增根，則m的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．2【答案】B【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的增根．增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．本題按如下步驟進行：①根據(jù)公分母確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求出m的值．【詳解】解：方程的兩邊都乘以，得，即，由于分式方程有增根，所以，當時，，即．故選：B．11．計算的結(jié)果是．【答案】【分析】將異分母分式通分后，即可進行計算．【詳解】解：原式故答案為：【點睛】本題考查異分母分式的減法運算．通分是解題關鍵．12．計算：【答案】【分析】本題考查了實數(shù)的運算，涉及了絕對值，負指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握運算法則和熟記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關鍵．原式第一項利用正數(shù)的絕對值等于它的本身，第二項利用負指數(shù)冪法則計算，最后一項利用特殊角的三角函數(shù)值化簡即可得到結(jié)果．【詳解】解：．13．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】此題主要考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是首先將括號里面通分，再將分子與分母分解因式，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分得到最簡結(jié)果，最后把m的值代入進行計算即可．【詳解】解：原式；當時，原式．14．解方程(1)(2)【答案】(1)(2)無解【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：去分母得：，去括號得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解；（2）去分母得：，去括號得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的增根，原方程無解．【點睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．15．2022年11月20日，卡塔爾世界杯盛大開幕，活潑靈動的吉祥物“拉伊卜”吸引了全世界的目光，一時間“拉伊卜”玩偶供不應求．某公司的兩個車間負責生產(chǎn)“拉伊卜”玩偶，已知甲車間每天生產(chǎn)玩偶的數(shù)量是乙車間的1.5倍，甲車間生產(chǎn)600個玩偶比乙車間生產(chǎn)800個玩偶少用1天．求甲、乙兩車間每天各生產(chǎn)玩偶多少個？【答案】甲車間每天生產(chǎn)玩偶600個，乙車間每天生產(chǎn)玩偶400個．【分析】設乙車間每天生產(chǎn)玩偶個，則甲車間每天生產(chǎn)玩偶個，由題意：甲車間生產(chǎn)600個玩偶比乙車間生產(chǎn)800個玩偶少用1天．列出分式方程，解方程即可．【詳解】解：設乙車間每天生產(chǎn)玩偶個，則甲車間每天生產(chǎn)玩偶個，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：甲車間每天生產(chǎn)玩偶600個，乙車間每天生產(chǎn)玩偶400個．【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．1．下列各式從左到右變形正確的是（

）A． B．C．D．【答案】D【分析】此題考查分式變形的判斷，異分母分式的加減法，分式乘方，分式的化簡，據(jù)此依次計算并判斷，熟練掌握分式的計算法則是解題的關鍵．【詳解】解：A.，故原計算錯誤；B.，故原計算錯誤；C.，故原計算錯誤；D.，故原計算正確；故選：D．2．若關于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且【答案】D【分析】本題考查了分式方程的解以及解不等式，先求得方程的解，再把轉(zhuǎn)化成關于的不等式，求得的取值范圍，注意．【詳解】方程兩邊都乘以，得：，解得：，方程的解是正數(shù)，且，解得：且，故選：D．3．若分式方程有增根，則a的值是（

）A． B．0 C．0或 D．0或2【答案】C【分析】本題考查的是分式方程的增根，在分式方程變形的過程中，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做分式方程的增根．先去分母得，再根據(jù)增根的定義求出或，然后分別代入求解即可．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，∵原方程有增根，∴最簡公分母，∴增根是或，當時，方程化為：，解得：；當時，方程化為，即，解得或．故選C．4．已知，則的值為（

）A． B． C．2025 D．2020【答案】A【分析】本題考查了二次根式的求值，分式的求值．根據(jù)已知，利用完全平方公式計算得到，去分母得到，再整體代入計算即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴，即，∴，故選：A．5．如果關于的一元二次方程兩個根為，那么方程的兩個根和系數(shù)有如下關系：，若是關于的一元二次方程的兩根，已知，則的值是（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，涉及負整數(shù)指數(shù)冪運算等知識，根據(jù)題意，用根與系數(shù)關系將表示出來解方程，求出是解決問題的關鍵．【詳解】解：是關于的一元二次方程的兩根，，，，，故選：C．6．若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)二次根式的意義、分式有意義的條件列不等式組求解即可；掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于零，分式的分母不等于零是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得：，解得：且．故答案為：且．7．一組學生春游，預計共需要費用120元，后來又有2人參加進來，總費用不變，于是每人可少攤3元，若設原來這組學生人數(shù)為x，那么可列方程為．【答案】【分析】理解題意找出題意中存在的等量關系，未增加人前每人攤的費用增加人后每人攤的費用，列出方程即可．【詳解】解：解：設原來這組學生人數(shù)為x，則原來每人攤的費用為，又有2人參加進來，此時每人攤的費用為，根據(jù)題意可列方程為，故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解題的關鍵在于找出題中的等量關系．8．如果，那么．【答案】2【分析】由，可得，，，再代入化簡即可求解．【詳解】解：∵，∴，，，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查分式的化簡求值、比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關鍵．9．已知：，則．【答案】【分析】本題考查了分式的值，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題關鍵．先根據(jù)可得，再代入計算即可得．【詳解】解：由得：，，，故答案為：．10．若已知（其中為常數(shù)），則．【答案】2【分析】先去分母、移項，然后根據(jù)多項式為零的條件得到求解即可，正確去分母成為解答本題的關鍵．【詳解】解：∴，且，則．故答案為：2．11．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查解分式方程．（1）將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后進行檢驗即可；（2）將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后進行檢驗即可．解題的關鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．注意最后要進行檢驗．【詳解】（1）解：去分母，得：，解得：；經(jīng)檢驗，是原方程的解；∴原方程的解為：；（2）去分母，得：，整理得：，解得：，當時：，分式無意義，∴是原方程的增根，舍掉；∴原方程無解．12．某學校決定購買A，B兩種的亞運會紀念徽章作為“校園讀書節(jié)”活動獎品，已知A種比B種每件多20元，預算資金為1600元．(1)其中700元購買A種徽章，其余資金購買B種徽章，且購買B種的數(shù)量是A種的3倍．求A，B兩種徽章的單價．(2)購買當日，正逢“十一”大促銷，所有商品均按原價八折銷售，學校調(diào)整了購買方案：在不超過預算資金的前提下，準備購買A，B兩種徽章共120件；問最多購買A種徽章的多少件？【答案】(1)A種徽章的單價為35元，B種徽章的單價為15元(2)10件【分析】本題考查分式方程，一元一次不等式的實際應用，（1）設B種徽章的單價為x元，則A種徽章的單價為元，根據(jù)題意列出分式方程求解，最后要檢驗；（2）設購買A種徽章m件，則購買B種徽章件，根據(jù)題意列出一元一次不等式求解即可；正確得出等量關系是解題關鍵．【詳解】（1）設B種徽章的單價為x元，則A種徽章的單價為元，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，∴．答：A種徽章的單價為35元，B種徽章的單價為15元．（2）設購買A種徽章m件，則購買B種徽章件，依題意得：，解得：，∴m的最大值為10．答：最多購買A種徽章10件．13．觀察下面的計算：①，，即為；②，，即為；③，，即為；④，，即為；(1)根據(jù)上面的計算，請你寫出第9個的等式即為；(2)根據(jù)上面的計算，請你猜想第n個的等式即為；(3)請你證明你的猜想．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．（1）由已知算式的規(guī)律直接把乘改為加即可；（2）利用以上規(guī)律得出答案即可；（3）利用分式的運算方法得出答案即可．【詳解】（1）第9個的等式即為，故答案為：；（2）第n個的等式即為，故答案為：；（3）左邊右邊，∴左邊=右邊，∴．14．閱讀理解題．我們定義：如果兩個分式與的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù)，則稱是的“雅中式”，這個常數(shù)稱為關于的“雅中值”．如分式，，，則是的“雅中式”，關于的“雅中值”為2．(1)已知分式，，判斷是否為的“雅中式”．若不是，請說明理由；若是，請求出關于的“雅中值”．(2)已知分式，，是的“雅中式”，且關于的“雅中值”是1，為整數(shù)，且的值也為整數(shù)，求所代表的代數(shù)式及所有符合條件的的值．【答案】(1)不是的“雅中式”，理由見詳解(2)【分析】本題考查的是新定義情境下的分式的運算，分式的化簡，（1）計算，再根據(jù)“雅中值”的定義可得答案；（2）由定義可得，即有，整理可得：的表達式，再化簡，根據(jù)為整數(shù)，且“雅中式”的值也為整數(shù)，得到：是3的因數(shù)，從而可得答案；【詳解】（1），，，不是的“雅中式”；（2）是的“雅中式”，且關于的“雅中值”是1，，，，，，，，為整數(shù)，且的值也為整數(shù)，是的因數(shù)，可能是：，，的值為：2、4、0、6，且都滿足，．15．【閱讀理解】在比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小時，解決策略一般是利用“作差法”，即要比較代數(shù)式，的大小，只要作出差，若，則；若，則；若，則．【解決問題】（1）若，則______0（填“”“”或“”）；（2）已知，，當時，比較與的大小，并說明理由；（3）小王和小張的加油習慣不同，小王每次加300元的油（油箱未加滿），而小張每次都把油箱加滿．現(xiàn)實生活中油價常有變動，現(xiàn)以兩次加油為例來研究，設第一次油價為元/升，第二次油價為元/升．①小王兩次加油的平均單價為______元/升，小張兩次加油的平均單價為______元/升（用含，的代數(shù)式表示，化簡結(jié)果）；②請通過計算判斷，小王和小張的兩種加油方式中，哪種平均單價更低？【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）①，；②小王加油的平均單價低【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，異分母分式減法計算，解題關鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，通過題干方法作差求解．（1）先求出，再根據(jù)除法的計算法則即可求解；（2）化簡，由可得，進而求解；（3）①根據(jù)加油量費用油的單價，平均單價兩次加油花的錢兩次加油的總量列代數(shù)式即可；②用小王的平均油價減去小張的平均油價，如果大于0則小張的省錢，如果小于0則小王的省錢，等于0則費用一樣；【詳解】解：（1）∵，∴，∴，故答案為：；（2），理由如下：∵，，∴，∵，∴∴，∴，即；（3）①小王兩次所加油的平均單價為：元/升；設小張油箱加滿能加a升．∴小張兩次加油的平均單價為元/升；故答案為：，；②∵，，∵時，∴，即，答：小王加油的平均單價低．1．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）若代數(shù)式的值是0，則實數(shù)x的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由即可求解．【詳解】解：由分母不為零得：∵代數(shù)式的值是0∴綜上：故選：B【點睛】本題考查了分式有意義的條件、分式的值為零．掌握分式有意義的條件是關鍵．2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）若，下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、合并同類項法則分別化簡，進而得出答案．【詳解】解：A．，故此選項符合題意；B．，故此選項不合題意；C．，故此選項不合題意；D．與無法合并，故此選項不合題意．故選：A．【點睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運算以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、合并同類項，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．3．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法法則進行計算即可．【詳解】解：原式=；故選：B．【點睛】本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的運算法則，其中涉及到了負整數(shù)指數(shù)冪等知識，解決本題的關鍵是牢記相應法則，并能夠按照正確的運算順序進行計算即可，本題較為基礎，考查了學生的基本功．4．（2019·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）小明15元買售價相同的軟面筆記本，小麗用24元買售價相同的硬面筆記本(兩人的錢恰好用完)，已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴3元，且小明和小麗買到相同數(shù)量的筆記本，設軟面筆記本每本售價為元，根據(jù)題意可列出的方程為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】先找出本題等量關系為兩人買的筆記本數(shù)量，再根據(jù)等量關系列出方程．【詳解】找到等量關系為兩人買的筆記本數(shù)量．故選A【點睛】本題考查分式方程的簡單應用，本題關鍵在于找出等量關系．5．（2013·江蘇宿遷·中考真題）方程的解是A．x=﹣1 B．x=0 C．x=1 D．x=2【答案】B【分析】首先去掉分母，觀察可得最簡公分母是x﹣1，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，然后解一元一次方程，最后檢驗即可求解．【詳解】去分母得：2x=x﹣1+1，解得：x=0，經(jīng)檢驗x=0是分式方程的解．故選B．【點睛】此題考查了解分式方程，正確掌握分式方程的解法是解題的關鍵．6．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）計算：．【答案】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪和有理數(shù)的加減混合運算進行計算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握以上運算法則是解題的關鍵．7．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）溶度積是化學中沉淀的溶解平衡常數(shù)．常溫下的溶度積約為，將數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為．【答案】【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原