題型九二次函數(shù)綜合題類型九二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）

題型九二次函數(shù)綜合題類型九二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）1.（2022·湖南湘潭）已知拋物線．(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交點(diǎn)．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式；②若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(2)如圖②，直線與軸交于點(diǎn)，同時(shí)與拋物線交于點(diǎn)，以線段為邊作菱形，使點(diǎn)落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)①，②存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，3)或（，），理由見解析(2)b<或b>【分析】（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M(m，m3)點(diǎn)P（m，m22m3）若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，代入求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長為5，因?yàn)樗倪呅蜟DFE是菱形，由此得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．再根據(jù)該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）進(jìn)行討論，求出b的取值范圍．(1)①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y=x3，設(shè)點(diǎn)M(m，m3)、點(diǎn)P（m，m22m3）若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，即或，解得：m=2或m=或m=3，經(jīng)檢驗(yàn)，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，3)或（，）(2)解：把點(diǎn)D（3，0）代入直線，解得n=4，∴直線，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即點(diǎn)C（0，4）∴CD==5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點(diǎn)E（5，4）∵點(diǎn)在拋物線上，∴（3）23b+c=0，∴c=3b9，∴，∵該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，分情況討論當(dāng)CE在拋物線內(nèi)時(shí)52+5b+3b9<4解得：b<當(dāng)CE在拋物線右側(cè)時(shí)，3b9>4解得：b>綜上所述，b<或b>【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論．2．（2021·湖南中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求的值；（2）點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)Q．①當(dāng)時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)m的值；②是否存在m，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出m的值．【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由見解析【分析】（1）將A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；（2）①設(shè)點(diǎn)P（m，m22m3），則點(diǎn)Q（m，m），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②分情況討論，利用菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b=，c=；（2）①由（1）得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2，設(shè)點(diǎn)P（m，m22m3），則點(diǎn)Q（m，m），∵0<m<3，∴PQ=m(m22m3)=m2+3m+3=+，∵1<0，∴當(dāng)時(shí)，PQ有最大值，最大值為；②∵拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x22x3，∴C（0，3），∴OB=OC=3，由題意，點(diǎn)P（m，m22m3），則點(diǎn)Q（m，m），∵PQ∥OC，當(dāng)OC為菱形的邊，則PQ=OC=3，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，∴PQ=，即，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，菱形不存在，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)BC=，菱形也不存在；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P下方時(shí)，若點(diǎn)Q在第三象限，如圖，∵∠COQ=45°，根據(jù)菱形的性質(zhì)∠COQ=∠POQ=45°，則點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，此時(shí)OA=1OC=3，菱形不存在，若點(diǎn)Q在第一象限，如圖，同理，菱形不存在，綜上，不存在以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，其中，熟練掌握方程的思想方法和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．3.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，點(diǎn)，在軸上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請求出這個(gè)最小值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3）存在最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【分析】（1）由題意易得，進(jìn)而可得，則有，然后把點(diǎn)B、D代入求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形時(shí)，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，然后根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可進(jìn)行分類求解即可；（3）由題意可得如圖所示的圖象，連接OM、DM，由題意易得DM=EM，四邊形BOMP是平行四邊形，進(jìn)而可得OM=BP，則有，若使的值為最小，即為最小，則有當(dāng)點(diǎn)D、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，的值為最小，然后問題可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形為正方形，，∴，，∴，∴OB=1，∴，把點(diǎn)B、D坐標(biāo)代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得，拋物線解析式為，則有拋物線的對稱軸為直線，∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴，∴由兩點(diǎn)距離公式可得，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形時(shí)，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分：①當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴由兩點(diǎn)距離公式可得，即，解得：，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；②當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴由兩點(diǎn)距離公式可得，即，解得：，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3）由題意可得如圖所示：連接OM、DM，由（2）可知點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，，∴，DM=EM，∵過點(diǎn)作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，∴，∴四邊形BOMP是平行四邊形，∴OM=BP，∴，若使的值為最小，即為最小，∴當(dāng)點(diǎn)D、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，的值為最小，此時(shí)OD與拋物線對稱軸的交點(diǎn)為M，如圖所示：∵，∴，∴的最小值為，即的最小值為，設(shè)線段OD的解析式為，代入點(diǎn)D的坐標(biāo)得：，∴線段OD的解析式為，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.（2021·山西中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接，．（1）求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線，的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交線段于點(diǎn)．①試探究：在直線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；②設(shè)拋物線的對稱軸與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，請直接寫出的長．【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的函數(shù)表達(dá)式為：；直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）①存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②．【分析】（1）分別令和時(shí)即可求解，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行求解直線，的函數(shù)表達(dá)式即可；（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，由題意易得，，，當(dāng)時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可根據(jù)菱形的性質(zhì)分當(dāng)時(shí)，是菱形，當(dāng)時(shí)，是菱形，然后分別求解即可；②由題意可作圖，則由題意可得拋物線的對稱軸為直線，由（1）可得直線的函數(shù)表達(dá)式為：；直線的函數(shù)表達(dá)式為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而可得，設(shè)點(diǎn)，然后可求得直線l的解析式為，則可求得點(diǎn)，所以就有，最后根據(jù)面積公式及兩點(diǎn)距離公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得，，∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得：，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：．同理可得直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）①存在．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，∵點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，∴，，，∵，∴當(dāng)時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，是菱形，如圖所示：∴，解得，（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，是菱形，如圖所示：∴，解，得，（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，且點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②由題意可得如圖所示：由題意可得拋物線的對稱軸為直線，由（1）可得直線的函數(shù)表達(dá)式為：；直線的函數(shù)表達(dá)式為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)，，∴，設(shè)點(diǎn)，∵，∴設(shè)直線l的解析式為，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線l的解析式為，∴聯(lián)立直線l與直線AC的解析式得：，解得：，∴，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，∴點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方才有可能，∴，∴，解得：（不符合題意，舍去），∴，∴由兩點(diǎn)距離公式可得．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合及菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.（2021·內(nèi)蒙古）如圖，拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的周長；（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)；(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，的周長最小值為；(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)存在，為(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)【分析】(1)將，代入即可求解；(2)連接BP、CP、AP，由二次函數(shù)對稱性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，當(dāng)C、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，△PBC的周長最小，由此求出AC解析式，將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入解析式中即可求解；(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，t)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，按AC為對角線，AP為對角線，AQ為對角線分三種情況討論即可求解．【詳解】解：(1)將，代入二次函數(shù)表達(dá)式中，∴，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：；(2)連接BP、CP、AP，如下圖所示：由二次函數(shù)對稱性可知，BP=AP，∴BP+CP=AP+CP，BC為定直線，當(dāng)C、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為，此時(shí)的周長也最小，設(shè)直線AC的解析式為：，代入，∴，解得，∴直線AC的解析式為：，二次函數(shù)的對稱軸為，代入，得到，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，此時(shí)的周長最小值=；(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，t)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，分類討論：情況一：AC為菱形對角線時(shí)，另一對角線為PQ，此時(shí)由菱形對角互相平分知：AC的中點(diǎn)也必定是PQ的中點(diǎn)，由菱形對角線互相垂直知：，∴，解得，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，對應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)；情況二：AP為菱形對角線時(shí)，另一對角線為CQ，同理有：，解得或，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)或(1，)，對應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4，)或(4，)；情況三：AQ為菱形對角線時(shí)，另一對角線為CP，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，t)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，同理有：，解得或，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)或(1，)，對應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2，)或(2，)；縱上所示，Q點(diǎn)坐標(biāo)存在，為(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)對稱性求線段最值問題及菱形的存在性問題，本題第三問難度大一些，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6.（2020?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，求△PAB面積的最大值；（3）將該拋物線向右平移2個(gè)單位長度得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）△PAB面積S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）=-（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得-4=9-3b+cc=-1，解得故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+4x﹣1；（2）設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝kx+t，則-4=-3k+tt=-1，解得故直線AB的表達(dá)式為：y＝x﹣1，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P（x，x2+4x﹣1），則H（x，x﹣1），△PAB面積S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）=-∵-32＜0，故S有最大值，當(dāng)x=-32（3）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，則平移后的拋物線表達(dá)式為：y＝x2﹣5，聯(lián)立上述兩式并解得：x=-1y=-4，故點(diǎn)C（﹣1，﹣4設(shè)點(diǎn)D（﹣2，m）、點(diǎn)E（s，t），而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；①當(dāng)BC為菱形的邊時(shí)，點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到B，同樣D（E）向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到E（D），即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且