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重難點(diǎn)專項(xiàng)突破06旋轉(zhuǎn)之“費(fèi)馬點(diǎn)”模型13種題型【知識(shí)梳理】最值問(wèn)題是中考??碱}型,費(fèi)馬點(diǎn)屬于幾何中的經(jīng)典題型,目前全國(guó)范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而來(lái),所以應(yīng)熟練掌握費(fèi)馬點(diǎn)等此類最值經(jīng)典題。【考點(diǎn)剖析】一.一元一次方程的應(yīng)用(共1小題)1.(2020春?江北區(qū)期末)如圖,已知直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O,∠BOE=90°,OF平分∠BOD,∠BOC:∠AOC=1:3.(1)求∠DOE,∠COF的度數(shù);(2)若射線OF,OE同時(shí)繞O點(diǎn)分別以2°/s,4°/s的速度,順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn),當(dāng)射線OE,OF的夾角為90°時(shí),兩射線同時(shí)停止旋轉(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t,試求t值.【分析】(1)根據(jù)平角的定義和∠BOC:∠AOC=1:3可求∠BOC的度數(shù),根據(jù)對(duì)頂角相等可求∠AOD的度數(shù),根據(jù)角的和差關(guān)系可求出∠DOE的度數(shù),根據(jù)平角的定義和角平分線的定義可求∠BOF的度數(shù),根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠COF的度數(shù);(2)先求出∠EOF的度數(shù),再根據(jù)射線OE、OF的夾角為90°,列出方程求解即可.【解答】解:(1)∵∠BOC:∠AOC=1:3,∴∠BOC=180°×=45°,∴∠AOD=∠BOC=45°,∵∠BOE=90°,∴∠AOE=90°,∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=90°+45°=135°,∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣45°=135°,∵FO平分∠BOD,∴∠BOF=∠BOD=×135°=67.5°,∴∠COF=∠BOC+∠BOF=45°+67.5°=112.5°;(2)∠EOF=∠EOB+∠BOF=90°+67.5°=157.5°,根據(jù)題意得:4t﹣2t=157.5﹣90,解得:t=33.75,答:t的值為33.75s.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算,角平分線的定義,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中等量關(guān)系列出方程.二.二次函數(shù)綜合題(共1小題)2.(2018秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線y=kx+(k≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與拋物線交于另一點(diǎn)R,已知OC=2OA,OB=3OA.(1)求拋物線與直線的解析式;(2)如圖1,若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AR于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸交拋物線于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)P作PH′⊥x軸于點(diǎn)H′,K為直線PH′上一點(diǎn),且PK=2PQ,點(diǎn)I為第四象限內(nèi)一點(diǎn),且在直線PQ上方,連接IP、IQ、IK,記l=PQ,m=IP+IQ+IK,當(dāng)l取得最大值時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo),并求出此時(shí)m的最小值.(3)如圖2,將點(diǎn)A沿直線AR方向平移13個(gè)長(zhǎng)度單位到點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)N,動(dòng)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),連接MD、DN,再將△MDN沿直線MD翻折為△MDN′(點(diǎn)M、N、D、N′在同一平面內(nèi)),連接AN、AN′、NN′,當(dāng)△ANN′為等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).【分析】(1)令二次函數(shù)x=0,解出C點(diǎn)坐標(biāo)(0,﹣8),根據(jù)已知條件可知點(diǎn)A(﹣4,0)點(diǎn)B(12,0).代入解析式從而求得拋物線和直線解析式.(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為p,求出對(duì)稱軸為直線x=4,根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),從而求出PQ的長(zhǎng)度,延長(zhǎng)PK交直線AR與點(diǎn)M,利用一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo),PM線段長(zhǎng)可表示,利用△PHM∽△AEO,求出PH的長(zhǎng)度,則I可用點(diǎn)p的代數(shù)式表示,從而求得最大值,點(diǎn)P坐標(biāo)也可求出,由m=IP+IQ+IK求其最小值可知,點(diǎn)I為△PQK的“費(fèi)馬點(diǎn)”.(3)由點(diǎn)A平移13個(gè)單位可知點(diǎn)M的坐標(biāo),則點(diǎn)N的坐標(biāo)可求為(8,﹣8)可求AN的長(zhǎng)度,MN的長(zhǎng)度為13,因?yàn)榉劭芍狹N′的長(zhǎng)度也為13,則N′在以點(diǎn)M為圓心13個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),再利用等腰三角形求出點(diǎn)D的坐標(biāo).【解答】解(1)∵y=ax2+bx﹣8與y軸的交點(diǎn)為C,令x=0,y=﹣8∴點(diǎn)C(0,﹣8)∴OC=8∵OC=2OA,OB=3OA∴OA=4,OB=12∴A(﹣4,0)B(12,0)將點(diǎn)A代入直線解析式可得0=﹣4k+解得k=∴y=x+將點(diǎn)A和點(diǎn)B代入拋物線中解得a=,b=﹣∴y=x2﹣x﹣8(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,p2﹣p﹣8)﹣=4∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4∴點(diǎn)Q(8﹣p,)∴PQ=2p﹣8∵PK=2PQ∴PK=4p﹣16如圖1所示,延長(zhǎng)PK交直線AR于點(diǎn)M,則M(p,)∴PM=﹣()=∵∠PHM=∠MH′A,∠HMP=∠AMH′∴∠HPM=∠MAH′∵直線解析式為y=,令x=0,y=.∴OE=∵OA=4根據(jù)勾股定理得∴AE=∴cos∠EAO==∴cos∠HPM===∴PH=∵I=PH﹣PQ∴I=()﹣(2p﹣8)=﹣(p﹣5)2+85∴當(dāng)p=5時(shí),I取最大值此時(shí)點(diǎn)P(5,)∴PQ=2,PK=如圖2所示,連接QK,以PQ為邊向下做等邊三角形PQD,連接KD,在KD取I,使∠PID=60°,以PI為邊做等邊三角形IPF,連接IQ∵IP=PF,PQ=PD,∠IPQ=∠FPD∴△IPQ≌△FPD∴DF=IQ∴IP+IQ+IK=IF+FD+IK=DK,此時(shí)m最小過(guò)點(diǎn)D作DN垂直于KP∵∠KPD=∠KPQ+∠QPD=150°∴∠PDN=30°∵DP=PQ=2∴DN=1,根據(jù)勾股定理得PN=在△KDN中,KN=5,DN=1,根據(jù)勾股定理得KD=2∴m的最小值為2(3)設(shè)NM與x軸交于點(diǎn)J∵AM=13,cos∠MAJ=∴AJ=12,根據(jù)勾股定理得MJ=5∵OA=4,∴OJ=8∴M(8,5)當(dāng)x=8時(shí),代入拋物線中,可得y=﹣8∴N(8,﹣8),MN=13在△AJN中,根據(jù)勾股定理得AN=4∵點(diǎn)D為x軸上的動(dòng)點(diǎn),根據(jù)翻折,MN′=13,所以點(diǎn)N′在以M為圓心,13個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),如圖3所示①當(dāng)N′落在AN的垂直平分線上時(shí)tan∠MNA==∴tan∠MGJ=,∵M(jìn)J=5∴JG=,根據(jù)勾股定理得MG=∵M(jìn)D1為∠GMJ的角平分線∴∴D1J=∴D1(,0)∵M(jìn)D4也為角平分線∴∠D1MD4=90°根據(jù)射影定理得MJ2=JD1?JD4∴JD4=∴D4(,0)②當(dāng)AN=AN′時(shí)D2與點(diǎn)A重合∴D2(﹣4,0)∵M(jìn)D3為角平分線∴∴JD3=∴D3(,0)綜上所述D1(,0),D2(﹣4,0),D3(,0),D4(,0).【點(diǎn)評(píng)】本題(1)考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的待定系數(shù)法,(2)考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題及費(fèi)馬點(diǎn)定理,(3)考查了等腰三角形及角平分線分線段成比例及射影定理.此題綜合性較強(qiáng).三.全等三角形的判定與性質(zhì)(共1小題)3.(2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中)如圖①,點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn),連接AM、BM、CM.以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE,將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN.(1)求證:△AMB≌△ENB;(2)若AM+BM+CM的值最小,則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù);(3)小翔受以上啟發(fā),得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法:如圖②,分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF,連接CE、BF,設(shè)交點(diǎn)為M,則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).試說(shuō)明這種作法的依據(jù).【分析】(1)結(jié)合等邊三角形的性質(zhì),根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB;(2)連接MN,由(1)的結(jié)論證明△BMN為等邊三角形,所以BM=MN,即AM+BM+CM=EN+MN+CM,所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí),AM+BM+CM的值最小,從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù);(3)根據(jù)(2)中費(fèi)馬點(diǎn)的定義,又△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上,同理也在線段BF上.因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).【解答】解:(1)證明:∵△ABE為等邊三角形,∴AB=BE,∠ABE=60°.而∠MBN=60°,∴∠ABM=∠EBN.在△AMB與△ENB中,∵,∴△AMB≌△ENB(SAS).(2)連接MN.由(1)知,AM=EN.∵∠MBN=60°,BM=BN,∴△BMN為等邊三角形.∴BM=MN.∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí),AM+BM+CM的值最?。藭r(shí),∠BMC=180°﹣∠NMB=120°;∠AMB=∠ENB=180°﹣∠BNM=120°;∠AMC=360°﹣∠BMC﹣∠AMB=120°.(3)由(2)知,△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上,同理也在線段BF上.因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),是一道綜合性的題目難度很大.四.角平分線的性質(zhì)(共1小題)4.(2020?荷塘區(qū)模擬)在△ABC中,若其內(nèi)部的點(diǎn)P滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則稱P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).如圖所示,在△ABC中,已知∠BAC=45°,設(shè)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),且滿足∠PBA=45°,PA=4,則△PAC的面積為4.【分析】如圖,延長(zhǎng)BP交AC于D,先說(shuō)明△ABD是等腰直角三角形,△ADP是30°的直角三角形,可得PD和AD的長(zhǎng),根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的定義可得∠APC=120°,從而可知△PDC也是30°的直角三角形,可得CD的長(zhǎng),根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論.【解答】解:如圖,延長(zhǎng)BP交AC于D,∵∠BAC=∠PBA=45°,∴∠ADB=90°,AD=BD,∵P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),∴∠APB=∠CPA=120°,∴∠BAP=180°﹣120°﹣45°=15°,∴∠PAC=45°﹣15°=30°,∴∠APD=60°,Rt△PAD中,∵PA=4,∴PD=2,AD=2,∵∠APC=120°,∴∠CPD=120°﹣60°=60°,Rt△PDC中,∠PCD=30°,∴CD=2,∴AC=AD+CD=2+2=4,∴△PAC的面積為==4.故答案為:4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)的定義,三角形的面積,等腰直角三角形的性質(zhì)和判定,含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),正確作出輔助線構(gòu)建等腰直角三角形是本題的關(guān)鍵.五.等腰三角形的判定與性質(zhì)(共1小題)5.(2017秋?義烏市月考)已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小,則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)(Fermatpoint).已經(jīng)證明:在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中,當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí),P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn),則PD+PE+PF=()A.2 B.1+ C.6 D.3【分析】根據(jù)題意首先畫出圖形,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M,在△BDE內(nèi)部過(guò)E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°,則∠EPF=∠FPD=∠EPD=120°,點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn),求出PE,PF,DP的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題;【解答】解:如圖:過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M,在△BDE內(nèi)部過(guò)E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°,則∠EPF=∠FPD=∠EPD=120°,點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn),在等腰Rt△DEF中,DE=DF=,DM⊥EF,∴EF=DE=2∴EM=DM=1,故cos30°=,解得:PE=,則PM=,故DP=1﹣,同法可得PF=則PD+PE+PF=2×+1﹣=+1.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角,正確畫出圖形進(jìn)而求出PE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.六.等邊三角形的性質(zhì)(共1小題)6.(2014秋?廈門期中)如圖(1),P為△ABC所在平面上一點(diǎn),且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).如圖(2),在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′.求證:BB′過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB′=PA+PB+PC.【分析】根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的定義,在BB′上取點(diǎn)P,使∠BPC=120°,再在PB′上取PE=PC,然后連接CE,根據(jù)等邊三角形的判定可以證明△PCE是等邊三角形,從而得到PC=CE,∠PCE=60°,根據(jù)角的關(guān)系可以推出∠PCA=∠ECB′,再利用邊角邊證明ACP與△B′CE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PA=EB′,∠APC=∠CEB′=120°,從而可得點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),并且BB′=PA+PB+PC.【解答】證明:在BB′上取點(diǎn)P,使∠BPC=120°,連接AP,再在PB′上截取PE=PC,連接CE,∵∠BPC=120°,∴∠EPC=60°,∴△PCE為正三角形,∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB′=120°,∵△ACB′為正三角形,∴AC=B′C,∠ACB′=60°,∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°,∴∠PCA=∠ECB′,∴△ACP≌△B′CE,∴∠APC=∠B′EC=120°,PA=EB′,∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°,∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),∴BB′過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定,全等三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)新定義,作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.七.等腰直角三角形(共1小題)7.(2020?崇州市模擬)如果點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小,則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).已經(jīng)證明:在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中,當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí),P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn),則PD+PE+PF=+1.【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M,在△BDE內(nèi)部過(guò)E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°,則∠EPF=∠FPD=∠EPD=120°,點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn),求出PE,PF,DP的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題;【解答】解:如圖:過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M,在△BDE內(nèi)部過(guò)E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°,則∠EPF=∠FPD=∠EPD=120°,點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn),在等腰Rt△DEF中,DE=DF=,DM⊥EF,∴EF=DE=2∴EM=DM=1,故cos30°=,解得:PE=,則PM=,故DP=1﹣,同法可得PF=則PD+PE+PF=2×+1﹣=+1.故答案為+1.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角,正確畫出圖形進(jìn)而求出PE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.八.三角形綜合題(共2小題)8.(2023春?渠縣校級(jí)期末)如圖1,D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點(diǎn),連接AD、BE、CF,三條線段兩兩分別相交于D、E、F.已知AF=BD,∠EDF=60°.(1)證明:EF=DF;(2)如圖2,點(diǎn)M是ED上一點(diǎn),連接CM,以CM為邊向右作△CMG,連接EG.若EG=EC+EM,CM=GM,∠GMC=∠GEC,證明:CG=CM.(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí),若CD⊥AD,GD=4,請(qǐng)問(wèn)在△ACD內(nèi)部是否存在點(diǎn)P使得P到△ACD三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小,若存在請(qǐng)直接寫出距離之和的最小值;若不存在,試說(shuō)明理由.【分析】(1)可先推出∠CAF=∠ABD,再證△ACF≌△BAD,即可得出結(jié)論;(2)在EF上截取EN=EM,連接MN,可推出△EMN是等邊三角形,可證△NCM≌△EGM,然后推出△CMG是等邊三角形,從而問(wèn)題得證;(3)先求得AD=,將△DPC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG,連接AG,可得△PDQ是等邊三角形,于是AP+PD+CP=AP+PQ+QG,故當(dāng)A、P、Q、G共線時(shí),AP+PD+CP最小=AG,最后解斜三角形ADG,從而求得.【解答】(1)證明:如圖1,∵△ABC是等邊三角形,∴AC=AB,∠ACB=60°,∴∠CAF+∠DAB=60°,∵∠EDF=60°,∴∠DAB+∠ABD=60°,∴∠CAF=∠ABD,∵AF=BD,∴△ACF≌△BAD(SAS),∴EF=DF;(2)證明:如圖2,由(1)知,EF=DF,∠EDF=60°,∴△DEF是等邊三角形,∴∠DEF=60°,在EF上截取EN=EM,連接MN,∴CN=CE+EN=CE+EM=EG,∴△EMN是等邊三角形,∴∠CNM=60°,∵∠GMC=∠GEC,∠α=∠β,∴∠NCM=∠EGM,∵CM=GM,∴△NCM≌△EGM(SAS),∴∠MEG=∠CNM=60°,∴∠CEG=180°﹣∠MEG﹣∠FED=60°,∴∠GME=∠GEC=60°,∵CM=GM,∴△CMG是等邊三角形,∴CG=CM;(3)解:如圖3,由(1)(2)知,△DEF和△CDG是等邊三角形,∴∠CFD=60°,CD=GD=4,∵CD⊥AD,∴∠CDF=90°,∴AD=CF==,將△DPC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG,連接AG,∴AD=DQ,CP=QG,∴△PDQ是等邊三角形,∴PD=PQ,∴AP+PD+CP=AP+PQ+QG,∴當(dāng)A、P、Q、G共線時(shí),AP+PD+CP最小=AG,作GH⊥AD于H,在Rt△DGH中,GH=DG=2,DH=DG=2,∴AH=AD+DH=+2=,∴AG===,∴AP+PD+CP的最小值是.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和應(yīng)用等知識(shí),解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握“費(fèi)馬點(diǎn)”模型及“截長(zhǎng)補(bǔ)短”等題型.9.(2017秋?邗江區(qū)期末)背景資料:在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的,所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖①,當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí),費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部,此時(shí)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,此時(shí),PA+PB+PC的值最小.解決問(wèn)題:(1)如圖②,等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求∠APB的度數(shù).為了解決本題,我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處,此時(shí)△ACP′≌△ABP,這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換,將三條線段PA,PB,PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中,從而求出∠APB=150°;基本運(yùn)用:(2)請(qǐng)你利用第(1)題的解答思想方法,解答下面問(wèn)題:如圖③,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F(xiàn)為BC上的點(diǎn),且∠EAF=45°,判斷BE,EF,F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系并證明;能力提升:(3)如圖④,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,點(diǎn)P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),連接AP,BP,CP,求PA+PB+PC的值.【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等,全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答;(2)把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′=AE,CE′=CE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,再求出∠E′AF=45°,從而得到∠EAF=∠E′AF,然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得E′F=EF,再利用勾股定理列式即可得證.(3)將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處,連接PP′,根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC,即A′B的長(zhǎng),再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BPP′是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BP=PP′,等邊三角形三個(gè)角都是60°求出∠BPP′=∠BP′P=60°,然后求出C、P、A′、P′四點(diǎn)共線,再利用勾股定理列式求出A′C,從而得到PA+PB+PC=A′C.【解答】解:(1)∵△ACP′≌△ABP,∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB,由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′=60°,∴△APP′為等邊三角形,PP′=AP=3,∠AP′P=60°,易證△PP′C為直角三角形,且∠PP′C=90°,∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°;故答案為:150°;(2)EF2=BE2+FC2,理由如下:如圖2,把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,AE′=AE,CE′=BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,∵∠EAF=45°,∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°,∴∠EAF=∠E′AF,在△EAF和△E′AF中,,∴△EAF≌△E′AF(SAS),∴E′F=EF,∵∠CAB=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠E′CF=45°+45°=90°,由勾股定理得,E′F2=CE′2+FC2,即EF2=BE2+FC2.(3)如圖④,將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處,連接PP′,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2,∴BC==,∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,∴△A′P′B如圖所示;∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,∴AB=2AC=2,∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△A′P′B,∴A′B=AB=2,BP=BP′,A′P′=AP,∴△BPP′是等邊三角形,∴BP=PP′,∠BPP′=∠BP′P=60°,∵∠APC=∠CPB=∠BPA=120°,∴∠CPB+∠BPP′=∠BP′A′+∠BP′P=120°+60°=180°,∴C、P、A′、P′四點(diǎn)共線,在Rt△A′BC中,A′C===,∴PA+PB+PC=A′P′+PP′+PC=A′C=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.九.正方形的性質(zhì)(共1小題)10.(2020?碑林區(qū)校級(jí)模擬)如圖,在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中,點(diǎn)M,N分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn),且始終保持BM=CN.連接MN,以MN為斜邊在矩形內(nèi)作等腰Rt△MNQ,若在正方形內(nèi)還存在一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為3+3.【分析】根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)BM=BN=3時(shí),Q點(diǎn)到AD距離最近,此時(shí)Q點(diǎn)是AC和BD的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AD于點(diǎn)M′,在△ADQ內(nèi)部過(guò)A、D分別作∠M′DP=∠M′AP=30°,則∠APD=∠APQ=∠DPQ=120°,點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn),此時(shí)PA+PD+PQ最小,根據(jù)特殊直角三角形才求出AQ,PA,PD,PQ的長(zhǎng),進(jìn)而得出答案.【解答】解:設(shè)BM=x,則BN=6﹣x,∵M(jìn)N2=BM2+BN2,∴MN2=x2+(6﹣x)2=2(x﹣3)2+18,∴當(dāng)x=3時(shí),MN最小,此時(shí)Q點(diǎn)離AD最近,∵BM=BN=3,∴Q點(diǎn)是AC和BD的交點(diǎn),∴AQ=DQ=AD=3,過(guò)點(diǎn)Q作QM′⊥AD于點(diǎn)M′,在△ADQ內(nèi)部過(guò)A、D分別作∠M′DP=∠M′AP=30°,則∠APD=∠APQ=∠DPQ=120°,點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn),此時(shí)PA+PD+PQ最小,在等腰Rt△AQD中,AQ=DQ=3,QM′⊥AD,∴AM=QM′=AQ=3,故cos30°=,解得:PA=2,則PM′=,故QP=3﹣,同法可得PD=2,則PA+PD+PQ=2×+3﹣=3+3,∴點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為3+3,故答案為3+3.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),解直角三角,正確畫出圖形進(jìn)而求出PA的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.一十.四邊形綜合題(共1小題)11.(2023?桐城市校級(jí)開(kāi)學(xué))定義:在一個(gè)等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中,到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)等腰三角形的“近點(diǎn)”,“近點(diǎn)”到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和叫做這個(gè)等腰三角形的“最近值”.【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD為BC邊上的高,已知AD上一點(diǎn)E滿足∠DEC=60°,AC=,求AE+BE+CE=12+;【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2,等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為,E為高線AD上的點(diǎn),將三角形AEC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG,連接EF,請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”;【拓展提高】(3)如圖3,在菱形ABCD中,過(guò)AB的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AC、DB,已知∠BDA=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.【分析】(1)△CDE為含30°角直角三角形,可求出DE、CE的長(zhǎng)度,進(jìn)而得出結(jié)果.(2)△AEF為等邊三角形,可得AE+BE+CE=EF+BE+GF,故當(dāng)B、E、F、G四點(diǎn)共線時(shí),EF+BE+GF最小,進(jìn)而可得∠AEB=∠AEC=∠BEC=120°,即可求出結(jié)果.(3)作DM⊥AB于點(diǎn)M,可知EF=DM=AB,進(jìn)而可推出△ABF為等腰直角三角形,結(jié)合(2)中的結(jié)論,當(dāng)點(diǎn)P滿足:∠APF=∠BPF=∠APB=120°時(shí),PA+PB+PF最小,進(jìn)而結(jié)合(1)中方法求出結(jié)果.【解答】解:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,AC=,∴BD=CD=AD=,∵∠DEC=60°,∴DE==4,∴AE=AD﹣DE=,CE=BE=2DE=8,∴AE+BE+CE=+8×2=12+;故答案為:12+;(2)由題意可得:AE=AF,∠EAF=60°,∴△EAF為等邊三角形,∴AE=EF=AF,∴AE+BE+CE=EF+BE+GF,∵B、G兩點(diǎn)均為定點(diǎn),∴當(dāng)B、E、F、G四點(diǎn)共線時(shí),EF+BE+GF最小,∴∠AEB=120°,∠AEC=∠AFG=120°,∴∠BEC=120°,∴此時(shí)E點(diǎn)為等邊△ABC的中心,∴AE+BE+CE=3AE==12,故等邊三角形ABC的“最近值”為12;(3)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M,∵∠BDA=75°,AB=AD,∴∠DAB=30°,∴2DM=AD=AB,∵AB∥CD,∴EF=DM,∴2EF=AB,∴AE=BE=EF=3,∴△AEF與△BEF均為等腰直角三角形,∴△ABF為等腰直角三角形,設(shè)P為EF上一點(diǎn),由(2)得:∠APF=∠BPF=∠APB=120°時(shí),PA+PB+PF最小,此時(shí):EP==,∴AP=BP=2EP=,F(xiàn)P=EF﹣EP=3﹣,∴AP+BP+FP==3+,∴(AP+BP+FP)2==,∴三角形AFB“最近值”的平方為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形與四邊形綜合問(wèn)題,掌握費(fèi)馬點(diǎn)模型可幫助快速解題.一十一.軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題(共2小題)12.(2021?丹東)已知:到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如果△ABC是銳角(或直角)三角形,則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn),且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.(例如:等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)).若AB=AC=,BC=2,P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),則PA+PB+PC=5;若AB=2,BC=2,AC=4,P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),則PA+PB+PC=2.【分析】①作出圖形,過(guò)B,C分別作∠DBP=∠DCP=30°,勾股定理解直角三角形即可;②作出圖形,將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)則B,P,P',C'四點(diǎn)共線,即PA+PB+PC=BC',再用勾股定理求得即可.【解答】解:如圖,過(guò)A作AD⊥BC,垂足為D,過(guò)B,C分別作∠DBP=∠DCP=30°,則PB=PC,P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),∵AB=AC=,BC=2,∴,∴,∴PD=1,∴,∴,∴PA+PB+PC=5;②如圖:∵AB=2,BC=2,AC=4,∴AB2+BC2=16,AC2=16,∴AB2+BC2=AC2,∠ABC=90°,∵,∴∠BAC=30°,將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,由旋轉(zhuǎn)可得:△APC≌△AP'C',∴AP'=AP,PC=P'C',AC=AC',∠CAC'=∠PAP'=60°,∴△APP′是等邊三角形,∴∠BAC'=90°,∵P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),即B,P,P',C'四點(diǎn)共線時(shí)候,PA+PB+PC=BC',∴PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'=BC'==,故答案為:5,.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),銳角三角函數(shù),等腰三角形性質(zhì),作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵.本題旋轉(zhuǎn)△PAB,△PBC也可,但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn).13.(2019秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出:在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P,使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最?。藗兎Q這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn),此時(shí)PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn):在銳角△ABC中,費(fèi)馬點(diǎn)P滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,如圖,點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),且PA=3,PC=4,∠ABC=60°,則費(fèi)馬距離為7+2.【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì),即可求解.【解答】解:如圖:∵∠APB=∠BPC=∠CPA=120,∠ABC=60°,∴∠1+∠3=60°,∠1+∠2=60°,∠2+∠4=60°,∴∠1=∠4,∠2=∠3,∴△BPC∽△APB∴=,即PB2=12∴PB=2.∴PA+PB+PC=7+2故答案為:7+2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題,解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定和性質(zhì).一十二.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(共4小題)14.(2023春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中)如圖,在△ABC中,∠CAB=65°,將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為()A.40° B.30° C.50° D.65°【分析】根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ACC′=∠CAB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC′,然后利用等腰三角形兩底角相等求∠CAC′,再根據(jù)∠CAC′、∠BAB′都是旋轉(zhuǎn)角解答.【解答】解:∵CC′∥AB,∴∠ACC′=∠CAB=65°,∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′,∴AC=AC′,∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°,∴∠CAC′=∠BAB′=50°.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形兩底角相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.(多選)15.(2023春?臨朐縣期中)如圖,將一副三角板按如圖方式疊放在一起,保持三角板ABC不動(dòng),將三角板DCE的CE邊與CA邊重合,然后繞點(diǎn)C按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛉我廪D(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度.當(dāng)這兩塊三角板各有一條邊互相平行時(shí),∠ACE的度數(shù)可能是()A.45° B.90° C.120° D.135°【分析】本題學(xué)生需要分情況討論,分別畫出圖形,即可求值.【解答】解:(1)如圖:當(dāng)DE∥AB時(shí),∠ACE=60°﹣45°=15°,(2)如圖:當(dāng)CD∥AB時(shí),∠ACE=90°﹣(90°﹣30°)=30°,(3)如圖:當(dāng)DE∥AC時(shí),∠ACE=90°﹣45°=45°,(4)如圖:當(dāng)CE∥AB時(shí),∠ACE=90°+30°=120°,(5)如圖:當(dāng)CE∥AB時(shí),∠ACE=∠A=60°,(6)如圖:當(dāng)DE∥AB時(shí),∠ACE=180°﹣15°=165°,(7)如圖:當(dāng)CD∥AB時(shí),∠ACE=90°+60°=150°,(8)如圖:當(dāng)DE∥AC時(shí),∠ACE=180°﹣45°=135°.故選:ACD.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的知識(shí)和平行線的知識(shí),難度較大,需要分情況畫出圖形,考慮全面比較困難.16.(2022秋?大冶市期末)如圖,D是等邊三角形ABC外一點(diǎn),連接AD,BD,CD,已知BD=8,CD=3,則當(dāng)線段AD的長(zhǎng)度最小時(shí),①∠BDC=60°;②AD的最小值是5.【分析】以BD為邊向外作等邊三角形BDE,連接CE,判定△ABD≌△CBE,即可得出CE=AD,再根據(jù)C,D,E三點(diǎn)共線時(shí),CE有最小值,即可得到AD的最小值為5,此時(shí)∠BDC=60°.【解答】解:如圖所示,以BD為邊向外作等邊三角形BDE,連接CE,∵△BDE,△ABC均為等邊三角形,∴BE=BD,AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,∴∠ABD=∠CBE,在△ABD和△CBE中,,∴△ABD≌△CBE(SAS),∴CE=AD,∵BE=BD=DE=8,CD=3,∴當(dāng)C,D,E三點(diǎn)共線時(shí),CE有最小值,∴CE=DE﹣CD=8﹣3=5,∴AD的最小值為5,此時(shí)∠BDC=60°.故答案為:①60°;②5.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是以BD為邊向外作等邊三角形BDE,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.17.(2022秋?洪山區(qū)校級(jí)期中)如圖,以等邊△ABC的一邊BC為底邊作等腰△BCD,已知AB=3,,且∠BDC=120°,在△BCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,則PB+PC+PD的最小值為.【分析】將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后,得到△P′BA,連接PP′、AD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠PBP′=60°,PB=P′B,PC=P′A,以此得到PB=PP′,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得PB+PC+PD=PP′+P′A+PD≥AD,根據(jù)等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°,再根據(jù)勾股定理即可求解.【解答】解:如圖,將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后,得到△P′BA,連接PP′、AD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,∠PBP′=60°,PB=P′B,PC=P′A,∴△PBP′為等邊三角形,∴PB=PP′,∴PB+PC+PD=PP′+P′A+PD,∵PP′+P′A+PD≥AD,∴當(dāng)A、P′、P、D四點(diǎn)共線時(shí),PB+PC+PD有最小值,∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=60°,∵△BCD為等腰三角形,∠BDC=120°,∴∠CBD=30°,∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°,在Rt△ABD中,AB=3,BD=,∠ABD=90°,由勾股定理得AD==.∴PB+PC+PD的最
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