專題11旋轉(zhuǎn)中的幾何模型歸類（3大類型）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《高分突破培優(yōu)新方法》（北師大版）

專題模型解讀11旋轉(zhuǎn)中的幾何模型歸類（3大類型）模型解讀類型一：“手拉手”模型模型特征：兩個(gè)等邊三角形或等腰直角三角形或正方形共頂點(diǎn)。模型說(shuō)明：如圖1，▲ABE，▲ACF都是等邊三角形，可證▲AEC≌▲ABF。如圖2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可證▲ADC≌▲ABE如圖2，四邊形ABEF，四邊形ACHD都是正方形，可證▲ABD≌▲AFC類型二：“半角”模型模型特征：大角含半角+有相等的邊，通過旋轉(zhuǎn)“使相等的邊重合，拼出特殊角”模型說(shuō)明：（1）如圖，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，將▲ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到▲ABG可證▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF（2）如圖，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，將▲ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到▲ABQ，可證▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN2+BM2=MN2（3）如圖，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=將▲CBD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠CBA的度數(shù)得到▲ABD’可證▲DBE≌▲D’BE。類型三：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題方法指導(dǎo)：若一個(gè)圖形中含有相等的線段和特殊的角度，通常是以等線段的公共端點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使得相等的邊重合，得出特殊的圖形.常見圖形旋轉(zhuǎn)：（1）“等邊三角形”的旋轉(zhuǎn)方法歸納：將等邊三角形內(nèi)的一個(gè)小三角形，旋轉(zhuǎn)60度，從而使小三角形的一邊與原等邊三角形的邊重合，連接小三角形的鈍角頂點(diǎn)，得三角形．通過旋轉(zhuǎn)將不相關(guān)的線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，將分散的已知條件集中起來(lái)，使問題得以解決．典例分析典例分析【考點(diǎn)1“手拉手”模型】【典例1】（2021春?西安期末）如圖，在△ABC中，BC＝5，以AC為邊向外作等邊△ACD，以AB為邊向外作等邊△ABE，連接CE、BD．（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的長(zhǎng)；（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵△ABE與△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴EC＝BD，又∵∠ACB＝30°，∴∠DCB＝∠ACB+∠DCA＝90°，∵CD＝AC＝4，BC＝5，∴BD＝＝＝，∴CE＝；（2）如圖，作EK垂直于CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)K．∵△ABE與△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴EC＝BD，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，∴∠EBK＝60°，∴∠BEK＝30°，∴BK＝BE＝，∴EK＝＝＝，∴EC＝＝＝7，∴BD＝EC＝7．【變式11】（2021秋?荔灣區(qū)校級(jí)期中）以△ABC的AB，AC為邊分別作正方形ADEB，正方形ACGF，連接DC，BF．（1）CD與BF有什么數(shù)量與位置關(guān)系？說(shuō)明理由．（2）利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，在此題中，△ADC可看成由哪個(gè)三角形繞哪點(diǎn)旋轉(zhuǎn)多少角度得到的．【解答】解：（1）CD＝BF且CD⊥BF，理由如下：∵四邊形ABED和四邊形ACGF都是正方形，∴AD＝AB，AC＝AF，∠DAB＝∠CAF＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB+∠BAC，∠BAF＝∠CAF+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAF，在△DAC與△BAF中，，∴△DAC≌△BAF（SAS），∴DC＝BF，∴∠AFB＝∠ACD，又∵∠AFN+∠ANF＝90°，∠ANF＝∠CNM，∴∠ACD+∠CNM＝90°，∴∠NMC＝90°，∴BF⊥CD；（2）∵AD＝AB，AC＝AF，CD＝BF，∠DAB＝∠CAF＝90°，∴△ADC可看成是△ABF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的．【變式12】（2021九上·吉林期末）如圖①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC（1）將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫出BE（2）當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，AD與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你利用圖③證明，若不成立請(qǐng)（3）將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD【答案】（1）解：如圖所示，BE=2（2）解：AD=BE，AD證明：延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)H，∵∠ACB∠ACD∠BCE∴∠ACD又∵CD=CE，∴△ACD∴AD=BE，在Rt△ABC中，∴∠2+∠3+∠4=90°，∴∠AHB∴AD⊥（3）AD=5【考點(diǎn)2“半角”模型】【典例2】（2017秋?錦江區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BC所在直線上與點(diǎn)B，C不重合的兩點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°，∠EAF＝45°時(shí)，直接寫出線段BE，CF，EF的數(shù)量關(guān)系；（不必證明）（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝60°，∠EAF＝30°時(shí)，已知BE＝3，CF＝5，求線段EF的長(zhǎng)度；（3）如圖3，當(dāng)∠BAC＝90°，∠EAF＝135°時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，BF，EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】解：（1）結(jié)論：EF2＝BE2+CF2．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG，連接FG，如圖1中，∴AG＝AE，CG＝BE，∠ACG＝∠B，∠EAG＝90°，∴∠FCG＝∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°，∴FG2＝FC2+CG2＝BE2+FC2；又∵∠EAF＝45°，而∠EAG＝90°，∴∠GAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠GAF，∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∴EF2＝BE2+CF2．（2）如圖2中，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACG，連接FG，作GH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H．∵∠BAC＝60°，∠EAF＝30°，∴∠BAE+∠CAF＝∠CAG+∠CAF＝∠FAG＝30°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，在Rt△CGH中，∵CG＝BE＝3，∠GCH＝60°，∴∠CGH＝30°，∴CH＝CG＝，GH＝CH＝，在Rt△FGH中，F(xiàn)G＝＝＝7，∴EF＝FG＝7．（3）結(jié)論：EF2＝EC2+BF2理由：如圖3中，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連接FG．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△ACE≌△ABG，∴∠CAE＝∠BAG，EC＝BG，∠ACE＝∠ABG＝45°，∴∠CAB＝∠EAG＝90°，∠GBF＝90°，∴∠FAG＝360°﹣∠EAF﹣∠EAG＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠FAE＝∠FAG，∵FA＝FA，AG＝AE，∴△FAE≌△FAG（SAS），∴EF＝FG，在Rt△FBG中，∵∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2+BF2，∵FG＝EF，BG＝EC，∴EF2＝EC2+BF2．【變式21】（2021春?金牛區(qū)校級(jí)期中）類比探究：（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大??；（提示：將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處）（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°．求證：EF2＝BE2+FC2；（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．【解答】解：（1）如圖1，將△APB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，∴△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝8、CP′＝BP＝15、∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝8，∠AP′P＝60°，∵PP′2+P′C2＝82+152＝172＝PC2，∴∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°（2）如圖2，把△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，則AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠CAE′＝∠FAE′＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，且AE＝AE'，AF＝AF，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF＝E′F，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠ACE′＝90°，∴∠FCE′＝90°，∴E′F2＝CF2+CE′2，∴EF2＝BE2+CF2；（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝＝，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如圖所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，在Rt△A′BC中，A′C＝＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．【變式22】（2022春?西山區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別是AB、BC邊上，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，AE＝2時(shí)，求EF的長(zhǎng)？【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5，由旋轉(zhuǎn)得：∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠DCF+∠DCM＝180°，∴F、C、M三點(diǎn)在同一條直線上，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDC＝45°，∴∠EDF＝FDM，∵DF＝DF，∴△EDF≌△MDF（SAS）；（2）設(shè)CF＝x，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣x，由旋轉(zhuǎn)得：AE＝CM＝2，∴BE＝AB﹣AE＝3，F(xiàn)M＝CF+CM＝2+x，∵△EDF≌△MDF，∴EF＝FM＝2+x，在Rt△EBF中，BE2+BF2＝EF2，∴9+（5﹣x）2＝（2+x）2，∴x＝，∴EF＝2+x＝，∴EF的長(zhǎng)為．【變式23】（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．（1）求證：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的長(zhǎng)為．【解答】（1）證明：∵將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，（2）解：設(shè)BE＝x，則GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，【變式24】（2021秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點(diǎn)的∠EAF＝45°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點(diǎn)．易證得EF＝BE+FD．大致證明思路：如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三點(diǎn)共線，∠HAE＝∠EAF＝45°，進(jìn)而可證明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．任務(wù)：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A為頂點(diǎn)的∠EAF＝60°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點(diǎn)．請(qǐng)參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：成立．證明：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABM，∴△ABM≌△ADF，∠ABM＝∠D＝90°，∠MAB＝∠FAD，AM＝AF，MB＝DF，∴∠MBE＝∠ABM+∠ABE＝180°，∴M、B、E三點(diǎn)共線，∴∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝60°，∴∠MAE＝∠FAE，∵AE＝AE，AM＝AF，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴ME＝EF，∴EF＝ME＝MB+BE＝DF+BE．【考點(diǎn)3構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題】【典例3】（2017九上·江津期中）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，進(jìn)而求出等邊△ABC的邊長(zhǎng)為7，問題得到解決．請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng)．【解答】解：如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=2；連接PP′，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°；在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=5，∵12+22=(5)2∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，∴∠AP′B=135°，∴∠BPC=∠AP′B=135°．過點(diǎn)B作BE⊥AP′，交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴∠BEP′=90°，∵∠AP′B=135°，∴∠EP′B=45°，∴△BEP′是等腰直角三角形，∵BP′=2，∴EP′=BE=1，∴AE=AP′+EP′=2；∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；∴∠BPC=135°，正方形邊長(zhǎng)為5．【變式31】（2020九上·南昌月考）如圖，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=3，PC=1，求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形【解答】解：∵ΔABC是等邊三角形∴∠將ΔBPC繞點(diǎn)B順時(shí)針選轉(zhuǎn)60°，連接B∴AP'=CP=1，BP'=PB=3，∵∠∴∠∴ΔP'∴PP'=3∵AP'=1∴A∴ΔPP'∴∠過點(diǎn)B做BM⊥AP'，交∴∠MP'B∴P∴AM由勾股定理得：AB∴等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為7．【變式32】（2021九上·德州期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時(shí)，我們可以把圖形的一部分繞著公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來(lái)，從而達(dá)到解決問題的目的．（1）如圖1，等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，∠APB＝135°，為探究AP，BP，CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將△ABP，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，則PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，∠APB＝150°，請(qǐng)借助第一問的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，請(qǐng)直接寫出AB的長(zhǎng)．【解答】（1）2；直角；P（2）解：如圖所示，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBP'，連接P由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：BP'=BP，∠CP'B=∠APB=150°∴△BPP∴BP=PP'，∴∠PP∴PC2∴PC2（3）解：AB夯實(shí)基礎(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)1.（2021九上·鲅魚圈期中）△ABC與△CDE都是等邊三角形，連接AD、BE（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)B、C、D在同一條直線上時(shí)，則∠BCE=（2）將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置，求證：AD=BE【解答】（1）（1）∵△CDE是等邊三角形，∴∠DCE=60°∵點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，∴∠BCE+∠∴∠（2）證明：∵△ABC與△CDE∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE與△ACDBC=AC∴ΔBCE≌ΔACD∴BE=AD．2．（2021九上·宜春期末）如圖（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E①∠ACB的度數(shù)為②線段BE，CE與AE之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上．若（3）探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時(shí)，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O【解答】（1）①∵△ABC∴∠ACB故答案為：60°；②∵△ACB和△∴AC=CB，CD=∴∠ACD∴△ADC∴AD=∵△DCE∴CE=∴BE+故答案為：BE（2）解：∵△ACB和△∴AC=CB，∠CD∴∠ACD∴△ADC∴AD=BE=2∵△DCE∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠CEB=∠CDA∴∠AEB∴△AEB∴AB（3）如圖3，由（1）知△ADC∴∠CAD∵∠CAB∴∠OAB∴∠AOE如圖4，同理求得：∠AOB∴∠AOE∴∠AOE的度數(shù)是60°或120°3.（2021秋?夏河縣期中）已知△ABC為等邊三角形．（1）如圖，P為△ABC外一點(diǎn)，∠BPC＝120°，連接PA，PB，PC，求證：PB+PC＝PA；（2）如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度數(shù)．【解答】證明：（1）如圖1，延長(zhǎng)BP至點(diǎn)E，使得PE＝PC，連接CE，∵∠BPC＝120°，PE＝PC，∴∠CPE＝60°，∴△CPE為等邊三角形，∴CP＝PE＝CE，∠PCE＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠BCA＝60°，∴∠ACB＝∠ECP，∴∠ACB+∠BCP＝∠ECP+∠BCP，即：∠ACP＝∠BCE，在△ACP和△BCE中，，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP＝BE，∵BE＝BP+PE＝BP+PC，∴PB+PC＝PA；（2）如圖2，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△CBP'，連接PP'，由旋轉(zhuǎn)知，△APB≌△CP′B，∴∠BPA＝∠BP′C，P′B＝PB＝5，P′C＝PA＝12，∠PBP'＝∠ABC＝60°，又∵P′B＝PB＝5，∴△PBP′是等邊三角形，∴∠PP′B＝60°，PP′＝5，在△PP′C中，PC＝13，PP′＝5，P′C＝12，∴PC2＝PP′2+P′C2，即∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠BP′C＝60°+90°＝150°．4.（2021九上·伊通期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝MF；（2）若AE＝2，求FC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠FCD=∠ADC=90°，∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，∴∠A=∠DCM=90°，AE=CM，∠ADE=∠CDM，DE=DM∴∠FCD+∠DCM＝180°，∠ADE+∠EDC=∠CDM+∠EDC=90°，∴F、C、M三點(diǎn)共線，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵DE=∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF；（2）解：設(shè)EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB即42解得：x＝5，∴EF＝5，∴CF=FMCM=EFCM=3．能力提升能力提升5．（2019九上·西城期中）在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連結(jié)EC．如果AB=AC，∠BAC=90°．①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖1，請(qǐng)你判斷線段CE、BD之間的位置和數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論）；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖2畫出圖形，判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷．【答案】解：①結(jié)論：CE=BD，CE⊥BD．理由如下：如圖1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，∴AD=AE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，∴線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD．②結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖2中，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，∴AE=AD，∠DAE=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠CAE=∠BAD，∴△ACE≌△ABD，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=90°，所以線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD．6．（2022春?臨渭區(qū)期末）數(shù)學(xué)探究課上老師出了這樣一道題：“如圖，等邊△ABC中有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，試求∠APB的度數(shù)．”小明和小軍探討時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種求∠APB度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路，請(qǐng)按照下列思路要求畫圖或判斷．（1）在圖中畫出△APC繞點(diǎn)A順時(shí)旋轉(zhuǎn)60°后的△AP1B，并判斷△AP1P的形狀是；（2）試判斷△BP1P的形狀，并說(shuō)明理由；（3）由（1）、（2）兩問可知：∠APB．【解答】解：（1）如圖，△AP1B為所作；∵△APC繞點(diǎn)A順時(shí)旋轉(zhuǎn)60°后的△AP1B，∴AP＝AP1，∠PAP1＝60°，∴△AP1P為等邊三角形；故答案為：等邊三角形；（2）△BP1P為直角三角形．理由如下：∵△APC繞點(diǎn)A順時(shí)旋轉(zhuǎn)60°后的△AP1B，∴BP1＝CP＝5，∵△AP1P為等邊三角形，∴P1P＝AP＝3，在△BP1P中，∵P1P＝3，PB＝4，BP1＝5，∴P1P2+PB2＝BP12，∴△BP1P為直角三角形．（3）∵△AP1P為等邊三角形，∴∠APP1＝60°，∵△BP1P為直角三角形．∴∠BPP1＝90°，∴∠APB＝60°+90°＝150°．故答案為：150°．7．（2022春?丹江口市期末）（1）如圖1，已知，正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G在BC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在CD邊上，則BE與DG的數(shù)量關(guān)系為BE＝DG，BE與DG的位置關(guān)系為BE⊥DG；（2）將（1）中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若AB＝5，CE＝，在正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周過程中，當(dāng)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出AG長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)BE交DG于點(diǎn)M，由條件可知，BC＝DC，EC＝GC，∠BCD＝∠ECG，∴∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG，∵∠BEC＝∠DEM，∴∠DME＝∠DCB＝90°，∴BE⊥DG；故答案為：BE＝DG，BE⊥DG．（2）結(jié)論成立．理由：延長(zhǎng)BE交DG于點(diǎn)M，設(shè)BM交CD于點(diǎn)O．由條件可知，BC＝DC，EC＝GC，∠BCD＝∠ECG，∴∠BCE＝∠DCG，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG，∵∠BOC＝∠DOM，∴∠DMB＝∠DCB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如圖3﹣1中，連接AC．∵AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10，CG＝CE＝，∵A，F(xiàn)，G共線，∴∠AGC＝90°，∴AG＝＝＝7．如圖3﹣2中，當(dāng)A．G，F(xiàn)共線時(shí)，同法可得AG＝7綜上所述，滿足條件的AG的值為7．8．（2021秋?十堰期末）正方形ABCD中，點(diǎn)F為正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)，△BFC繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合．（1）如圖①，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BE＝1，F(xiàn)C＝，求證：AE∥BF．（2）如圖②，若點(diǎn)F為正方形ABCD對(duì)角線AC上的點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A、C重合），試探究AE、AF、BF之間的數(shù)量