遼寧凌源市2025屆高二數學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

遼寧凌源市2025屆高二數學第一學期期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（）A.-2 B.0C.2 D.32．已知圓與圓，則兩圓的位置關系是（）A.外切 B.內切C.相交 D.相離3．定義在區(qū)間上的函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論不正確的是（）A.函數在區(qū)間上單調遞增 B.函數在區(qū)間上單調遞減C.函數在處取得極大值 D.函數在處取得極小值4．在中，若，則（）A.150° B.120°C.60° D.30°5．設是雙曲線的一個焦點，，是的兩個頂點，上存在一點，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點，則的漸近線方程為A. B.C. D.6．已知點是橢圓上一點，點，則的最小值為A. B.C. D.7．已知拋物線，則它的焦點坐標為（）A. B.C. D.8．青少年視力被社會普遍關注，為了解他們的視力狀況，經統(tǒng)計得到圖中右下角名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數，葉表示十分位數．如果執(zhí)行如圖所示的算法程序，那么輸出的結果是（）A. B.C. D.9．直線與直線交于點Q，m是實數，O為坐標原點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.410．已知點在拋物線：上，則的焦點到其準線的距離為（）A. B.C.1 D.211．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.12．拋物線的焦點為，準線為，焦點在準線上的射影為點，過任作一條直線交拋物線于兩點，則為（）A.銳角 B.直角C.鈍角 D.銳角或直角二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，為坐標原點，記直線的斜率分別為，則______.14．寫出同時滿足以下三個條件的數列的一個通項公式______．①不是等差數列，②是等比數列，③是遞增數列15．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則密碼被成功破譯的概率_________16．已知過點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB經過拋物線C的焦點F，則___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，，，請再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，然后解答下列問題.（1）求角的大??；（2）求的面積.條件①：；條件②：.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，軸于點，是線段上的動點，軸于點，于點，與相交于點.（1）判斷點是否在拋物線上，并說明理由；（2）過點作拋物線的切線交軸于點，過拋物線上的點作拋物線的切線交軸于點，……，以此類推，得到數列，求，及數列的通項公式.19．（12分）已知拋物線C：，經過的直線與拋物線C交于A，B兩點（1）求的值（其中為坐標原點）；（2）設F為拋物線C的焦點，直線為拋物線C的準線，直線是拋物線C的通徑所在的直線，過C上一點P（）（）作直線與拋物線相切，若直線與直線相交于點M，與直線相交于點N，證明：點P在拋物線C上移動時，恒為定值，并求出此定值20．（12分）已知數列，，，且，其中為常數（1）證明：；（2）是否存在，使得為等差數列？并說明理由21．（12分）已知三棱柱的側棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，E為的中點（1）證明：（2）已知，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據定積分公式直接計算即可求得結果【詳解】由故選：C2、A【解析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據圓心距與半徑之和半徑之差的關系，即可判斷位置關系.【詳解】對圓，其圓心，半徑；對圓，其圓心，半徑；又，故兩圓外切.故選：A.3、C【解析】根據函數的單調性和函數的導數的值的正負的關系，可判斷A,B的結論;根據函數的極值點和函數的導數的關系可判斷、的結論【詳解】函數在上，故函數在上單調遞增，故正確；根據函數的導數圖象，函數在時，，故函數在區(qū)間上單調遞減，故正確；由A的分析可知函數在上單調遞增，故不是函數的極值點，故錯誤；根據函數的單調性，在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，故函數處取得極小值，故正確，故選：4、C【解析】根據正弦定理將化為邊之間的關系，再結合余弦定理可得答案.【詳解】若,則根據正弦定理得：，即,而，故，故選：C.5、C【解析】根據圖形的幾何特性轉化成雙曲線的之間的關系求解.【詳解】設另一焦點為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，屬于中檔題.6、D【解析】設，則，.所以當時，的最小值為.故選D.7、D【解析】將拋物線方程化標準形式后得到焦準距，可得結果.【詳解】由得，所以，所以，所以拋物線的焦點坐標為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：將拋物線方程化為標準形式是解題關鍵.8、B【解析】依題意該程序框圖是統(tǒng)計這12名青少年視力小于等于的人數，結合莖葉圖判斷可得；【詳解】解：根據程序框圖可知，該程序框圖是統(tǒng)計這12名青少年視力小于等于的人數，由莖葉圖可知視力小于等于的有5人，故選：B9、B【解析】求出兩直線的交點坐標，結合兩點間的距離公式得到，進而可以求出結果.【詳解】因為與的交點坐標為所以，當時，，所以的最大值是，故選：B.10、B【解析】由點在拋物線上，求得參數，焦點到其準線的距離即為.【詳解】由點在拋物線上，易知，，故焦點到其準線的距離為.故選：B.11、D【解析】將題設條件轉化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設,則在上單調遞減,所以,所以,即,故選:D.【點睛】本題主要考查二次不等式能成立問題,可以選擇分離參數轉化為最值問題,也可以進行分情況討論.12、D【解析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理，求得，根據其結果即可判斷和選擇.【詳解】為說明問題，不妨設拋物線方程，則，直線斜率顯然不為零，故可設直線方程為，聯(lián)立，可得，設坐標為，則，故，當時，，；當時，，；故為銳角或直角.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過焦點作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進行分類討論.【詳解】拋物線的焦點當過焦點的直線斜率不存在時，直線方程可設為，不妨令則，故當過焦點的直線斜率存在時，直線方程可設為，令由整理得則，綜上，故答案為：14、【解析】由條件②寫出一個等比數列，再求出并確保單調遞增即可作答.【詳解】因是等比數列，令，當時，，，是遞增數列，令是互不相等的三個正整數，且，若，，成等差數列，則，即，則有，顯然、都是正整數，，都是偶數，于是得是奇數，從而有不成立，即，，不成等差數列，數列不成等差數列，所以.故答案為：15、【解析】根據題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質分析可得答案【詳解】解：根據題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼概率，故該密碼被成功破譯的概率故答案為：16、【解析】設出點的坐標，與拋物線方程聯(lián)立，結合題意和韋達定理，求得拋物線的方程為，直線AB的方程為，進而求得的值.【詳解】設，在拋物線，過切點A與拋物線相切的直線的斜率為，則以為切點的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，整理得，所以，解得，所以以為切點的切線方程為，即，同理，設，在拋物線，過切點B與拋物線相切的直線，又因為在切線和，所以，所以直線AB的方程為，又直線AB過拋物線的焦點，所以令，可得，即，所以拋物線的方程為，直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，整理得或，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）條件選擇見解析，（2）【解析】（1）選①，利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍，即可求得角的值；選②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解：選①，，由余弦定理可得，，所以，.選②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得.18、（1）在拋物線上，理由見解析（2）,,.【解析】（1）根據直線的方程設出點的坐標，利用已知條件求出點的坐標即可判斷點是否在拋物線上；（2）設出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令，即可求出，同理可以求出，設出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令即可求出的方程，若令，，即，故數列是首項，公比為的等比數列，即可求出數列的通項公式.【小問1詳解】由已知條件得直線的方程為，設點，則，由直線的方程為可得點的坐標為，點滿足拋物線，則點是否在拋物線上；【小問2詳解】設的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知，設的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知設點，設直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，其中，即，，解得，直線的方程為，即，令得，即直線過點，則直線的斜率為，直線的方程也可以表示為，即，令，，即，則，即數列是首項，公比為的等比數列，故.19、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）設出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結合根與系數關系求得.（2）求得過點的拋物線的切線方程，由此求得兩點的坐標，通過化簡來證得為定值，并求得定值.【小問1詳解】依題意可知直線的斜率不為零，設直線的方程為，設，，消去并化簡得，所以，所以.小問2詳解】拋物線方程為，焦點坐標為，準線，通徑所在直線，在拋物線上，且，所以過點的拋物線的切線的斜率存在且不為零，設過點的切線方程為，由消去并化簡得，，將代入上式并化簡得，解得，所以切線方程為，令得，令得，，將代入上式并化簡得，所以為定值，且定值為.20、（1）證明見解析（2）存在；理由見解析【解析】（1）由得兩式相減可得答案；（2）利用得，可得，是首項為1，公差為4的等差數列，是首項為3，公差為4的等差數列，因此存在【小問1詳解】由題設，，，兩式相減得，，由于，所以【小問2詳解】由題設，，，可得，由（1）知，．令，解得，故，由此可得，是首項為1，公差為4的等差數列，；又，同理，是首項為3，公差為4的等差數列，所以，所以．因此存在，使得為等差數列21、(1)見解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個平面的法向量，利用兩個向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系.根據條件容易求出如下各點坐標：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）設是平面的法向量，因為，，由，得.解得平面的一個法向量，由已知，平面的一個法向量為，，∴二面角的余弦值是.點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.22、（1）詳見解析（2）【解析】（1）利用垂直關系，轉化為證明線面垂直，即可證明線線垂直；（2）利用垂直關系，建立空間直