上海市北蔡高中2025屆高一上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題含解析

上海市北蔡高中2025屆高一上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知扇形周長(zhǎng)為，圓心角為，則扇形面積為（）A. B.C. D.2．已知集合，則（）A. B.C. D.3．設(shè)函數(shù)f(x)=2-x,x≤01,x>0，則滿足A.(-∞,-1]C.(-1,0) D.(-4．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A B.C. D.5．若，則的值為A.0 B.1C.-1 D.26．設(shè)，，，則，，三者的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.7．已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.8．若，則（）A. B.C. D.9．在平行四邊形中，，，為邊的中點(diǎn)，，則（）A.1 B.2C.3 D.410．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)函數(shù)=，則=12．我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難人微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)．請(qǐng)寫出一個(gè)在上單調(diào)遞增且圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)：________________13．已知函數(shù)，的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.14．若實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為___________.15．已知，則_______.16．若，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示（1）請(qǐng)補(bǔ)出函數(shù)，剩余部分的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)，的解析式；（3）已知關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．“百姓開門七件事，事事都會(huì)生垃圾，垃圾分類益處多，環(huán)境保護(hù)靠你我”，為了推行垃圾分類，某公司將原處理垃圾可獲利萬(wàn)元的一條處理垃圾流水線，通過(guò)技術(shù)改造后，開發(fā)引進(jìn)生態(tài)項(xiàng)目.經(jīng)過(guò)測(cè)算，發(fā)現(xiàn)該流水線改造后獲利萬(wàn)元與技術(shù)投入萬(wàn)元之間滿足的關(guān)系式：.該公司希望流水線改造后獲利不少于萬(wàn)元，其中為常數(shù)，且.（1）試求該流水線技術(shù)投入的取值范圍；（2）求流水線改造后獲利的最大值，并求出此時(shí)的技術(shù)投入的值.19．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)單調(diào)性（只寫出結(jié)論即可）；（3）若對(duì)任意的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍20．某班級(jí)欲在半徑為1米的圓形展板上做班級(jí)宣傳，設(shè)計(jì)方案如下：用四根不計(jì)寬度的銅條將圓形展板分成如圖所示的形狀，其中正方形ABCD的中心在展板圓心，正方形內(nèi)部用宣傳畫裝飾，若銅條價(jià)格為10元/米，宣傳畫價(jià)格為20元/平方米，展板所需總費(fèi)用為銅條的費(fèi)用與宣傳畫的費(fèi)用之和（1）設(shè)，將展板所需總費(fèi)用表示成的函數(shù)；（2）若班級(jí)預(yù)算為100元，試問上述設(shè)計(jì)方案是否會(huì)超出班級(jí)預(yù)算？21．求下列各式的值：（1）；（2）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】周長(zhǎng)為則，代入扇形弧長(zhǎng)公式解得，代入扇形面積公式即可得解.【詳解】由題意知，代入方程解得，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)、面積公式，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】對(duì)集合B中的分類討論分析，再根據(jù)集合間的關(guān)系判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，或，或因?yàn)?，所?故選：A3、D【解析】畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：函數(shù)f(x)=2滿足f(x+1)<f(2x)，可得2x<0≤x+1或2x<x+1?0，解得x∈(-故選：D4、B【解析】根據(jù)題中條件，得到，展開后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.5、A【解析】由題意得a不等于零，或,所以或,即的值為0，選A.6、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算變形、，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：，，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，且，所以，即，故選：D7、C【解析】由題可得，則由展開利用基本不等式可求.【詳解】，，且，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.8、A【解析】利用作為分段點(diǎn)進(jìn)行比較，從而確定正確答案.【詳解】，所以.故選：A9、D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，再利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】以坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，故，由可得，即，化簡(jiǎn)得，故，故，，故故選：D10、A【解析】根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因?yàn)?，所?故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題意得，∴答案：12、(答案不唯一)【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即得.【詳解】∵函數(shù)在上單調(diào)遞增且圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴函數(shù)可為.故答案為：.13、##【解析】由題意，可令，將原函數(shù)變?yōu)槎魏瘮?shù)，通過(guò)配方，得到對(duì)稱軸，再根據(jù)函數(shù)的定義域和值域確定實(shí)數(shù)需要滿足的關(guān)系，列式即可求解.【詳解】設(shè)，則，∵，∴必須取到，∴，又時(shí)，，，∴，∴.故答案為：14、8【解析】由給定條件可得，再變形配湊借助均值不等式計(jì)算作答.【詳解】由得：，又實(shí)數(shù)x，y滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，由解得：，所以當(dāng)時(shí)，取最小值8.故答案為：8【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件.15、【解析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值【詳解】∵.故答案為：16、1【解析】由已知結(jié)合兩角和的正切求解【詳解】由，可知tan（α+β）＝1，得，即tanα+tanβ＝，∴故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計(jì)算題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）圖象見解析，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征即可畫出右半部分的圖象，結(jié)合圖象，即可得出單調(diào)增區(qū)間；(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可直接求出函數(shù)的解析式；(3)由(2)得出函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可得出m的取值范圍.【小問1詳解】剩余的圖象如圖所示，有圖可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；【小問2詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，則，有，由為奇函數(shù)，得，即當(dāng)時(shí)，，又，所以函數(shù)的解析式為；【小問3詳解】由(2)得，，作出函數(shù)與圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)不等的實(shí)根.所以m的取值范圍為.18、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).【解析】（1）由題意得出，解此不等式即可得出的取值范圍；（2）比較與的大小關(guān)系，分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可得出函數(shù)的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】（1），，由題意可得，即，解得，因此，該流水線技術(shù)投入的取值范圍是；（2）二次函數(shù)的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為直線.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)模型的應(yīng)用，同時(shí)也考查了二次函數(shù)最值的求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.19、（1），；（2）見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性得,，解得的值；最后代入驗(yàn)證,（2）可舉例比較大小確定單調(diào)性,(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性將不等式化簡(jiǎn)為,再根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題,最后根據(jù)函數(shù)最值得結(jié)果.【詳解】(1)在上是奇函數(shù)，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)知：，∴，（2）由(1)可知，在上減函數(shù).（3）對(duì)于恒成立，對(duì)于恒成立，在上是奇函數(shù)，對(duì)于恒成立，又在上是減函數(shù)，，即對(duì)于恒成立，而函數(shù)在上的最大值為2，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來(lái)，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.20、（1）；（2）上述設(shè)計(jì)方案是不會(huì)超出班級(jí)預(yù)算【解析】（1）過(guò)點(diǎn)O作，垂足為H，用表示出OH和PH，從而可得銅條長(zhǎng)度和正方形的面積，進(jìn)而得出函數(shù)式；（2）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)的性質(zhì)求出預(yù)算的最大值即可得