南寧二中、柳州高中2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

南寧二中、柳州高中2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過，兩點，且離心率為，則直線的方程為（）A. B.C. D.2．我國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“一百八十九里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關.”其大意為：“有一個人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地.”則該人第一天行走的路程為（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里3．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.24．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上5．雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.5C. D.6．已知數(shù)列滿足：對任意的均有成立，且，，則該數(shù)列的前2022項和（）A0 B.1C.3 D.47．運行如圖所示程序后，輸出的結果為（）A.15 B.17C.19 D.218．圓的圓心和半徑分別是（）A. B.C. D.9．等差數(shù)列中，，則前項的和（）A. B.C. D.10．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11．在等差數(shù)列中，，，則公差A.1 B.2C.3 D.412．數(shù)列，，，，，中，有序實數(shù)對是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點A，B，M為y軸上一點且滿足|MA|=|MB|，則點M的縱坐標的取值范圍是___________.14．已知直線與圓：交于、兩點，則的面積為______.15．已知數(shù)列滿足（），設數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________16．已知實數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍18．（12分）某初中學校響應“雙減政策”，積極探索減負增質舉措，優(yōu)化作業(yè)布置，減少家庭作業(yè)時間．現(xiàn)為調查學生的家庭作業(yè)時間，隨機抽取了名學生，記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求的值，并估計這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)（中位數(shù)結果保留一位小數(shù)）；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機抽取名學生進行“雙減政策”情況訪談，再從訪談的學生中選取名學生進行成績跟蹤，求被選作成績跟蹤的名學生中，第三組和第五組各有名的概率19．（12分）已知拋物線：的焦點到頂點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知過點的直線交拋物線于不同的兩點，，為坐標原點，設直線，的斜率分別為，，求的值.20．（12分）已知圓與x軸交于A，B兩點，P是該圓上任意一點，AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點.（1）若弦AP長為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，求此時圓C的方程.21．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規(guī)定：機動車行經(jīng)人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，其中第90條規(guī)定:對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：參考公式：，月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009580（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程；（2）預測該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；22．（10分）已知函數(shù)，為的導函數(shù)（1）求的定義域和導函數(shù)；（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）若對，都有成立，且存在，使成立，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由離心率求得，設出兩點坐標代入雙曲線方程相減求得直線斜率與的關系得結論【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即故選：D2、B【解析】根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，分析可得每天走的路程里數(shù)構成以的為公比的等比數(shù)列，由求得首項即可【詳解】解：根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，則數(shù)列是以的為公比的等比數(shù)列，又由這個人走了6天后到達目的地，即，則有，解可得：，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的應用，涉及等比數(shù)列的通項公式以及前項和公式的運用，注意等比數(shù)列的性質的合理運用.3、D【解析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應用，屬于基礎題4、A【解析】根據(jù)題意，得到兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，設，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內的一動點，所以可設，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于常考題型.5、D【解析】根據(jù)漸近線方程求得關系，結合離心率的計算公式，即可求得結果.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則；又雙曲線離心率.故選：D.6、A【解析】根據(jù)可知，數(shù)列具有周期性，即可解出【詳解】因為，所以，即，所以數(shù)列中的項具有周期性，，由，，依次對賦值可得，，一個周期內項的和為零，而，所以數(shù)列的前2022項和故選：A7、D【解析】根據(jù)給出的循環(huán)程序進行求解，直到滿足，輸出.【詳解】，，，，，，，，，，，，所以.故選：D8、B【解析】將圓的方程化成標準方程，即可求解.【詳解】解：.故選：B.9、D【解析】利用等差數(shù)列下標和性質可求得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，，解得：；.故選：D.10、D【解析】根據(jù)題意得出的符號，進而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.11、B【解析】由，將轉化為表示，結合，即可求解.【詳解】，.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題.12、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序實數(shù)對是，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設直線的方程為，由消去并化簡得，設，，，解得..由于，所以是垂直平分線與軸的交點，垂直平分線方程為，令得，由于，所以.也即的縱坐標的取值范圍是.故答案為：14、2【解析】用已知直線方程和圓方程聯(lián)立，可以求出交點，再分析三角形的形狀，即可求出三角形的面積.【詳解】由圓C方程：可得：；即圓心C的坐標為（0，-1），半徑r=2；聯(lián)立方程得交點，如下圖：可知軸，∴是以為直角的直角三角形，，故答案為：2.15、【解析】先由條件求出的通項公式，得到，由裂項相消法再求出，根據(jù)不等式恒成立求出參數(shù)的范圍即可.【詳解】當時，有當時，由①有②由①－②得：所以，當時也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和以及數(shù)列不等式問題，屬于中檔題.16、##【解析】設，根據(jù)直線與圓的位置關系即可求出【詳解】由于，設，所以點既在直線上，又在圓上，即直線與圓有交點，所以，，即故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】由題設A是的真子集，結合已知集合的描述列不等式求a的范圍.【詳解】由“”是“”的充分不必要條件，即A是的真子集，又，，所以，可得，則實數(shù)a的取值范圍為18、（1）；這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘（2）【解析】（1）由頻率分布直方圖頻率之和為，建立方程求解即可；設中位數(shù)為，利用頻率分布直方圖中位數(shù)定義列出方程即可求解；（2）頻率分布直方圖頻率得到第三組和第五組的人數(shù)，從而列出所有樣本點，再根據(jù)題意利用古典概率模型求解即可.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得：，解得．設中位數(shù)為，由題意得，解得所以這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，第三組和第五組的人數(shù)之比為，所以分層抽樣抽出的人中，第三組和第五組的人數(shù)分別為人和人，第三組的名學生記為，，，，第五組的名學生記為，，所以從名學生中抽取名的樣本空間，共15個樣本點，記事件“名中學生，第三組和第五組各名”則，共有個樣本點，所以這名學生中，兩組各有名的概率19、（1）（2）【解析】（1）由拋物線的幾何性質有焦點到頂點的距離為，從而即可求解；（2）當直線的斜率不存在時，不符合題意；當直線的斜率存在時，設的方程為，，，聯(lián)立拋物線的方程，由韋達定理及兩點間的斜率公式即可求解.【小問1詳解】解：依題意，，解得，∴拋物線的方程為；【小問2詳解】解：當直線的斜率不存在時，直線與拋物線僅有一個交點，不符合題意；當直線的斜率存在時，設的方程為，，，由消去可得，∵直線交拋物線于不同的兩點，∴，由韋達定理得，∴.20、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質，結合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可；（2）根據(jù)題意，結合基本不等式和圓的標準方程進行求解即可.【小問1詳解】在方程中，令，解得，或，因為AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點，所以，圓心在x軸上，所以，因為，，所以有，當P在x軸上方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當P在x軸下方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問2詳解】由（1）知：，，所以設直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因為同號，所以，當且僅當時取等號，即當時取等號，于是有以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，此時最小，當時，和，中點坐標為：，半徑為，所以圓的方程為：，同理當時，和，中點坐標為：，半徑為，所以圓的方程為：，綜上所述：圓C的方程為.21、（1）；（2）37【解析】（1）將題干數(shù)據(jù)代入公式求出與，進而求出回歸直線方程；（2）再第一問的基礎上代入求出結果.【小問1詳解】，，則，，所以回歸直線方程；【小問2詳解】令得：，故該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)為37.22、（1），（2）在單減，也單減，無增區(qū)間（3）【解析】（1）根據(jù)分母不等于0，對數(shù)的真數(shù)大于零即可求得函數(shù)的定義域，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式及商的導數(shù)公式即可求出函數(shù)的導函數(shù)；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出答案；（3）若對，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求出的范圍，，，求出函數(shù)的值域，根據(jù)存在，使成立，則0在函數(shù)的值域中，從而可得出的范圍，即可得解