高中數(shù)學(xué) 第1章 1.1歸納推理同步檢測 北師大版選修2-2

第一章推理與證明§1歸納與類比1．1歸納推理一、基礎(chǔ)過關(guān)1．?dāng)?shù)列5,9,17,33，x，…中的x等于 ()A．47 B．65 C．63 D．1282．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)等于 ()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)3．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，推測當(dāng)n≥2時，有________．4．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2).通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一個一般性的命題：____________________.5．已知a1＝3，a2＝6且an＋2＝an＋1－an，則a33＝________.二、能力提升6．設(shè)x∈R，且x≠0，若x＋x－1＝3，猜想x2n＋x－2n(n∈N*)的個位數(shù)字是________．7．如圖，觀察圖形規(guī)律，在其右下的的空格處畫上合適的圖形，應(yīng)為________．8．如圖所示四個圖形中，著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，則這個數(shù)列的一個通項公式為________．9．如圖所示，圖(a)是棱長為1的小正方體，圖(b)、圖(c)是由這樣的小正方體擺放而成．按照這樣的方法繼續(xù)擺放，自上而下分別叫第1層，第2層，…，第n層．第n層的小正方體的個數(shù)記為Sn.解答下列問題：(1)按照要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________.(3)Sn＝________.10．傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：(1)b2012是數(shù)列{an}中的第______項；(2)b2k－1＝________.(用k表示)11．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1且Sn－1＋eq\f(1,Sn)＋2＝0(n≥2)，計算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式．12．一條直線將平面分成2個部分，兩條直線最多將平面分成4個部分．(1)3條直線最多將平面分成多少部分？(2)設(shè)n條直線最多將平面分成f(n)部分，歸納出f(n＋1)與f(n)的關(guān)系；(3)求出f(n)．三、探究與拓展13．在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液eq\f(1,4)a升，攪勻后再倒出溶液eq\f(1,4)a升，這叫一次操作，設(shè)第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為bn，計算b1、b2、b3，并歸納出計算公式．

答案1．B2.D3．f(2n)>eq\f(n＋2,2)4．sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2)5．36．77．①8．a(chǎn)n＝3n－1(n∈N*)9．(1)10(2)55(3)eq\f(nn＋1,2)10．(1)5030(2)eq\f(5k5k－1,2)11．解當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝1；當(dāng)n＝2時，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－3，∴S2＝－eq\f(1,3)；當(dāng)n＝3時，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,3)，∴S3＝－eq\f(3,5)；當(dāng)n＝4時，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(7,5)，∴S4＝－eq\f(5,7).猜想：Sn＝－eq\f(2n－3,2n－1)(n∈N*)．12．解(1)3條直線最多將平面分成7個部分．(2)f(n＋1)＝f(n)＋n＋1.(3)f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋2＝eq\f(n2＋n＋2,2).13．解b1＝eq\f(a·\f(r,100)＋\f(a,4)·\f(p,100),a＋\f(a,4))＝eq\f(1,100)(eq\f(4,5)r＋eq\f(1,5)p)；b2＝eq\f(ab1＋\f(a,4)·\f(p,100),a＋\f(a,4))＝eq\f(1,100)[(eq\f(4,5))2r＋eq\f(1,5)p＋eq\f(4,52)p]；b3＝eq\f(ab2＋\f(a,4)·\f(p,100),a＋\f(a,4))＝eq\f(1,100)[(eq\f(4,5))3r＋eq\f(