量子力學(xué)03力學(xué)量算符與薛定諤方程

1量子力學(xué)第一章III.力學(xué)量算符與薛定諤方程2第三講目錄一、簡短的回顧二、力學(xué)量的平均值三、力學(xué)量用算符表示四、薛定格方程五、量子力學(xué)的基本假設(shè)3

一、簡短的回顧

為了解釋微觀世界粒子的運(yùn)動規(guī)律，人們提出了以下觀點(diǎn)能量量子化，基于此，推出了Planck公式，解釋了黑體輻射現(xiàn)象；波粒二象性:認(rèn)為任何粒子都具有粒子和波動二重性。其中的波動，稱為物質(zhì)波，滿足德布羅意公式：υ=E/h，λ=h/p測不準(zhǔn)原理（不確定度關(guān)系）:認(rèn)為微觀粒子的坐標(biāo)和動量不可能同時完全確定。4通過舉例得到，由此得知一般情況下x和p不能完全確定。這樣可以提出一個問題:x和p的平均值可否確定？

由此引申出：力學(xué)量的平均值不確定度關(guān)系與力學(xué)量的平均值5

二、力學(xué)量的平均值(1)既然表示（時刻t粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附近的概率，那么粒子坐標(biāo)的平均值，例如的平均值，由概率論，有又如，勢能V是的函數(shù)：，其平均值由概率論，可表示為

6二、力學(xué)量的平均值(2)再如，動量的平均值為：對比和提出兩個問題：1、為什么不能寫成2、能否用以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)計算動量的平均值？由此引申出量子力學(xué)中特有的概念：力學(xué)量的算符7三、力學(xué)量用算符表示(1)當(dāng)算符

作用到平面波波函數(shù)上，有8三、力學(xué)量用算符表示(2)動量的平均值以坐標(biāo)和動量為自變量的波函數(shù)之間的關(guān)系為

9三、力學(xué)量用算符表示(3)動量的平均值，用以動量為自變量的波函數(shù)表示用以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)表示其中，為動量的算符，即：動量算符10三、力學(xué)量用算符表示(4)動能，動能算符動能平均值勢能算符與平均勢能哈密頓算符角動量，角動量算符角動量平均值11三、力學(xué)量用算符表示(5)力學(xué)量的平均值為其中，為力學(xué)量的算符。問題：坐標(biāo)的平均值可否表示為可以，其中12

三、力學(xué)量用算符表示(6)描述勢場中粒子，一般波函數(shù)可表示為低速運(yùn)動粒子非相對論量子力學(xué)，13

三、力學(xué)量用算符表示(6)勢場中粒子，波函數(shù)通常表示為

這里對這個波函數(shù)關(guān)于時間做偏微商，有因此，能量算符利用能量算符，可以從形式上給出量子力學(xué)中的基本方程：薛定諤方程14四、薛定諤方程（1）粒子的能量對應(yīng)關(guān)系薛定諤方程

量子力學(xué)的基本假設(shè)之一：波函數(shù)的時空演化滿足薛定諤方程15

連續(xù)性方程－薛定諤方程的推論薛定格方程（1）由，得令

得到連續(xù)性方程

四、薛定諤方程（2）概率密度概率(粒子)流密度16四、薛定諤方程（3）

概率守恒定律由有高斯定理有左邊表示在閉區(qū)域中找到粒子的總數(shù)目在單位時間內(nèi)的增量。右邊表示單位時間內(nèi)通過的封閉表面而流入內(nèi)的粒子數(shù)。所以，表示粒子流密度。

17本征方程數(shù)學(xué)中，形如的方程，稱為本征方程。其中能量算符方程被稱之為定態(tài)方程。因?yàn)楸菊髦礒具有能量的量綱，故此，被稱為能量本征函數(shù)，E被稱為能量本征值。18五、量子力學(xué)的基本假設(shè)1、微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫。2、波函數(shù)的模方