數(shù)學(xué)學(xué)案：等比數(shù)列習(xí)題課-等比數(shù)列習(xí)題課

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修5第二章2。3等比數(shù)列習(xí)題課——等比數(shù)列習(xí)題課1．了解分期付款的含義，理解復(fù)利的實(shí)質(zhì)．2．掌握有關(guān)分期付款的還貸問題．3．掌握數(shù)列求和的常用方法——錯(cuò)位相減法．題型一錯(cuò)位相減法【例1】求數(shù)列1，3a,5a2，7a3，…,(2n－1）an－1的前n項(xiàng)和．分析:數(shù)列中含字母參數(shù),應(yīng)注意分類討論，利用錯(cuò)位相減法．反思:對(duì)含參類求和問題要養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣．題型二分期付款問題【例2】陳老師購(gòu)買安居工程集資房一套需82000元，一次性國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，陳老師已有現(xiàn)金28800元，尚缺10000元，以月利率為1％，每月以復(fù)利計(jì)息借貸．陳老師從借貸后第二個(gè)月開始以一定金額分6個(gè)月付清，試問每月應(yīng)支付多少元？（不滿百元湊足百元,lg1。01＝0。0043，lg1。061＝0.0258，lg1.07＝0.0294）分析:解答本題可以陳老師的欠款為主線計(jì)算．也可假設(shè)陳老師是每個(gè)月將一固定數(shù)目的金額以相同的條件存入銀行，最后一次還清貸款．反思:解題關(guān)鍵點(diǎn)是掌握分期付款問題的兩種常用處理辦法：（1）按照事件發(fā)生的先后順序依次求出數(shù)列的前n項(xiàng)，并由此歸納迭代出數(shù)列的通項(xiàng)的一般表達(dá)式；（2)以貸款和存款及增值兩條線索分別計(jì)算，并由它們的相對(duì)平衡（或大小)建立方程(或不等式）．題型三轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題【例3】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f（4,3）an－eq\f（1,3）×2n＋1＋eq\f(2,3)，n∈N＋，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．分析：解答本題可充分利用Sn與an的關(guān)系式,將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題來求解．反思：（1）將一個(gè)數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等比(差）數(shù)列來求解,這是求解有關(guān)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的基本思想．(2）已知數(shù)列{an｝的首項(xiàng)a1,且an＋1＝man＋k(m，k為常數(shù))．①當(dāng)m≠1時(shí)，可得an＋1－c＝m(an－c）,則有an＋1－man＝c(1－m)，c＝eq\f(k,1－m)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．②當(dāng)m＝1時(shí),an＋1－an＝k，利用等差數(shù)列求解．1設(shè)Sn為等比數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則eq\f(S5,S2）＝(）．A．－11B．－8C．5D．112已知｛an}是等比數(shù)列,a2＝2，a5＝eq\f(1，4），則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()．A．16（1－4－n）B．16（1－2－n)C．eq\f（32，3)(1－4－n）D．eq\f（32,3)（1－2－n)3已知在等比數(shù)列｛am}中,各項(xiàng)都是正數(shù),且a1,eq\f(1,2）a3,2a2成等差數(shù)列，則eq\f(a9＋a10,a7＋a8）＝()．A．1＋eq\r(2)B．1－eq\r（2）C．3＋2eq\r（2)D．3－2eq\r(2）4若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋r，則r的值是________．5已知x≠0，x≠1，y≠1，則（x＋eq\f(1，y)）＋（x2＋eq\f(1,y2))＋…＋（xn＋eq\f（1,yn）)的值為________．6已知數(shù)列｛an｝是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和，S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)；（2)令bn＝nan，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.答案:典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：當(dāng)a＝1時(shí),數(shù)列變?yōu)?,3,5,7，…，(2n－1)，則Sn＝eq\f（n[1＋(2n－1）］,2)＝n2.當(dāng)a≠1時(shí),有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1）an－1，①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1）an，②①－②，得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1）an,∴（1－a）Sn＝1－（2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋…＋an－1)＝1－（2n－1）an＋2·eq\f(a(1－an－1)，1－a)＝1－(2n－1）an＋eq\f(2(a－an），1－a).∵1－a≠0，∴Sn＝eq\f（1－（2n－1）an，1－a)＋eq\f（2（a－an),(1－a）2）.【例2】解：解法一：設(shè)每個(gè)月還貸a元，第1個(gè)月后欠款為a0元，以后第n個(gè)月還貸a元后，還剩下欠款an元（1≤n≤6），則a0＝10000，a1＝1。01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1。012a0－（1＋1。01)a，……a6＝1.01a5－a＝…＝1。016a0－［1＋1.01＋…＋1.015］a。由題意可知a6＝0,即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0,a＝eq\f（(1.01）6×102，(1.01)6－1）。又因?yàn)閘g(1.01）6＝6lg1。01＝0。0258，所以1.016＝1.061，所以a＝eq\f(1.061×102，1.061－1)≈1800.答：每月應(yīng)支付1800元．解法二：一方面，借款10000元，將此借款以相同的條件存儲(chǔ)6個(gè)月，則它的本利和為S1＝104（1＋0。01）6＝104×（1.01)6（元）．另一方面，設(shè)每個(gè)月還貸a元,分6個(gè)月還清，到貸款還清時(shí)，其本利和為S2＝a（1＋0.01）5＋a(1＋0。01)4＋…＋a＝eq\f(a[(1＋0。01）6－1],1.01－1）＝a(1.016－1）×102。由S1＝S2，得a＝eq\f（(1。01)6×102，（1.01）6－1）.以下解法同解法一，得a≈1800。答：每月應(yīng)支付1800元．【例3】解:當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝eq\f（4，3）a1－eq\f(1,3）×4＋eq\f(2,3），∴a1＝2.當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn＝eq\f（4，3)an－eq\f（1，3）×2n＋1＋eq\f（2，3),①得Sn－1＝eq\f(4，3）an－1－eq\f（1，3）×2n＋eq\f（2，3）.②由①－②，得an＝eq\f(4，3)（an－an－1）－eq\f(1,3)（2n＋1－2n)．整理得：an＋2n＝4(an－1＋2n－1），∴｛an＋2n}是首項(xiàng)為a1＋2＝4，公比為4的等比數(shù)列．∴an＋2n＝4×4n－1，∴an＝4n－2n。隨堂練習(xí)·鞏固1．A由8a2＋a5＝0,得eq\f(a5,a2)＝－8，即q3＝－8，∴q＝－2.∴eq\f(S5，S2）＝eq\f(\f（a1（1－q5），1－q)，\f（a1(1－q2),1－q））＝eq\f(1－q5,1－q2)＝eq\f（33，－3）＝－11.2．C3．C4．－15．eq\f(x（1－xn）,1－x)＋eq\f(yn－1,yn＋1－yn)當(dāng)x≠0，x≠1，y≠1時(shí)，（x＋eq\f(1,y)）＋（x2＋eq\f（1，y2）)＋…＋（xn＋eq\f（1,yn))＝（x＋x2＋…＋xn)＋(eq\f（1,y）＋eq\f(1,y2)＋…＋eq\f（1，yn))＝eq\f(x(1－xn）,1－x)＋eq\f(\f(1，y)（1－\f（1，yn）),1－\f（1，y）)＝eq\f(x（1－xn),1－x)＋eq\f(yn－1,yn＋1－yn)。6．解：(1)由已知