數(shù)學(xué)學(xué)案：第二講四弦切角的性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精四弦切角的性質(zhì)1．理解弦切角的概念,會(huì)判斷弦切角．2．掌握弦切角定理的內(nèi)容，并能利用它解決有關(guān)問題．1．弦切角頂點(diǎn)在__上，一邊和圓相交、另一邊和圓____的角叫做弦切角．弦切角可分為三類:(1）圓心在角的外部，如圖①；(2)圓心在角的一邊上，如圖②；(3)圓心在角的內(nèi)部，如圖③?！咀鲆蛔?】如圖所示，AB是⊙O的一條弦，D是⊙O上的任一點(diǎn)（不與A，B重合），則下列為弦切角的是()A．∠ADBB．∠AOBC．∠ABCD．∠BAO2．弦切角定理文字語(yǔ)言弦切角等于它所夾的__所對(duì)的______符號(hào)語(yǔ)言AB與⊙O相切于點(diǎn)A，AC與⊙O相交于點(diǎn)A，C,點(diǎn)D在⊙O上,但不在弦切角∠BAC所夾的弧上，則∠BAC＝____圖形語(yǔ)言作用證明兩個(gè)角相等（1）弦切角定理的推論:若一個(gè)圓的兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等．（2）弦切角定理也可以表述為弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半．這就建立了弦切角與弧之間的數(shù)量關(guān)系,它為直接依據(jù)弧進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換確立了基礎(chǔ)．(3）圓心角、圓周角、弦切角的比較．圓心角圓周角弦切角定義頂點(diǎn)在圓心的角頂點(diǎn)在圓上,兩邊和圓相交頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切圖形角與弧的關(guān)系∠AOB的度數(shù)＝的度數(shù)∠ACB的度數(shù)＝eq\f(1，2）的度數(shù)∠ACB的度數(shù)＝eq\f(1,2)的度數(shù)【做一做2－1】如圖所示，MN與⊙O相切于點(diǎn)M，Q和P是⊙O上兩點(diǎn)，∠PQM＝70°，則∠NMP等于(）A．20°B．70°C．110°D．160°【做一做2－2】過圓內(nèi)接△ABC的頂點(diǎn)A引⊙O的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠B＝35°,∠ACB＝80°，則∠D為()A．45°B．50°C．55°D．60°答案：1．圓相切【做一做1】C∠ADB是圓周角，∠AOB是圓心角,∠ABC是弦切角,∠BAO不是弦切角．2．弧圓周角∠ADC【做一做2－1】B∵∠NMP是弦切角，∴∠NMP＝∠PQM＝70°.【做一做2－2】A如圖，∵AD為⊙O的切線，∴∠DAC＝∠B＝35°。又∠ACB＝80°，∴∠D＝∠ACB－∠DAC＝80°－35°＝45°.對(duì)弦切角的理解剖析：弦切角的特點(diǎn)：(1）頂點(diǎn)在圓上；(2）一邊與圓相交;(3)另一邊與圓相切．弦切角定義中的三個(gè)條件缺一不可．如圖(1)（2)(3)（4）中的角都不是弦切角．圖(1）中,缺少“頂點(diǎn)在圓上”的條件；圖(2)中，缺少“一邊和圓相交”的條件；圖(3）中，缺少“一邊和圓相切”的條件;圖（4)中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”和“另一邊和圓相切”兩個(gè)條件．題型一平行問題【例題1】如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn)。求證：EF∥BC．分析：連接DF,于是∠FDC＝∠DAC,根據(jù)AD是∠BAC的平分線，有∠BAD＝∠DAC,而∠BAD與∠EFD對(duì)著同一段弧，所以相等，由此建立∠EFD與∠FDC的相等關(guān)系，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，可以斷定兩條直線平行．反思：當(dāng)已知條件中出現(xiàn)圓的切線時(shí)，借助于弦切角定理，常用角的關(guān)系證明兩條直線平行：(1）內(nèi)錯(cuò)角相等,兩條直線平行；(2)同位角相等，兩條直線平行；（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩條直線平行等．證題時(shí)可以根據(jù)圖形與已知合理地選擇．題型二線段成比例問題【例題2】已知△ABC內(nèi)接于⊙O,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，CD的延長(zhǎng)線交過B點(diǎn)的切線于E.求證：eq\f(CD2，BC2)＝eq\f（DE，CE）。分析：直接證明此等式有一定的難度，可以考慮把它分解成兩個(gè)比例式的形式，然后借助相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．反思：已知直線與圓相切，證明線段成比例時(shí)，常先利用弦切角定理和圓周角定理獲得角相等，再通過三角形相似得到成比例線段．題型三易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)忽視弦切角的一邊是切線【例題3】如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O,AD⊥AC，∠C＝32°,∠B＝110°，則∠BAD＝__________。錯(cuò)解：∵AD⊥AC，∴∠BAD是弦切角．∴∠BAD＝∠C．又∠C＝32°,∴∠BAD＝32°。錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中,誤認(rèn)為∠BAD是弦切角，其實(shí)不然，雖然AD⊥AC,但AD不是切線．反思：在利用弦切角定理解決問題時(shí)，要考慮所涉及到的角是否是弦切角，即弦切角的三個(gè)條件缺一不可．答案：【例題1】證明：連接DF,如圖所示,∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠EFD＝∠BAD，∴∠EFD＝∠DAC.∵BC切⊙O于D，∴∠FDC＝∠DAC.∴∠EFD＝∠FDC。∴EF∥BC。【例題2】證明：連接BD,如圖所示．∵AD是∠BAC的平分線,∴∠BAD＝∠CAD.又∠BCD＝∠BAD，∠CBD＝∠CAD，∴∠BCD＝∠CBD.∴BD＝CD。又BE為⊙O的切線，∴∠EBD＝∠BAD，∴∠EBD＝∠BCD.故在△BED和△CEB中，∠EBD＝∠ECB，∠BED＝∠CEB,∴△BED∽△CEB.∴，,∴。又BD＝CD，∴.【例題3】正解:∵∠C＋∠B＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝38°。又AD⊥AC，∴∠BAC＋∠BAD＝90°。∴∠BAD＝90°－∠BAC＝90°－38°＝52°。1如圖所示，AB是半圓O的直徑,C,D是半圓上的兩點(diǎn)，半圓O的切線PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠PCB＝25°，則∠ADC為()A．105°B．115°C．120°D．125°2如圖，AB是⊙O的弦，CD是經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)M的切線．求證:(1）如果AB∥CD，那么AM＝MB；（2）如果AM＝BM，那么AB∥CD．3如圖，四邊形ABED內(nèi)接于⊙O，AB∥DE，AC切⊙O于點(diǎn)A,交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．求證：AD∶AB＝DC∶BE.4如圖,已知圓上的弧＝，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn),證明：（1）∠ACE＝∠BCD;(2）BC2＝BE×CD．5(2011·江蘇南京一模）如圖，AB是半圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)(異于點(diǎn)A,B），過點(diǎn)C作圓O的切線l,過點(diǎn)A作直線l的垂線AD，垂足為點(diǎn)D．AD交半圓于點(diǎn)E。求證：CB＝CE.答案：1．B連接BD，∵PC與⊙O相切,∴∠BDC＝∠BCP＝25°.又∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°。∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝90°＋25°＝115°.2．證明：(1）∵CD切⊙O于點(diǎn)M，∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A，∴∠A＝∠B，∴AM＝MB。（2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B?！逤D切⊙O于M點(diǎn)，∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.∴∠CMA＝∠A?！郃B∥CD。3．分析：求證成比例的四條線段正好在兩個(gè)三角形△ACD和△ABE中，所以只要證明△ACD∽△AEB即可．證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∴∠ADC＝∠ABE?！逜C是⊙O的切線，∴∠CAD＝∠AED?！逜B∥DE，∴∠BAE＝∠AED.∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD∽△AEB.∴AD∶AB＝DC∶BE.4．分析：（1)證明這兩個(gè)角都等于∠ABC;(2)轉(zhuǎn)化為證明△BDC∽△ECB.證明：(1）∵＝，∴∠BCD＝∠ABC。又∵EC與圓相切于點(diǎn)C，∴∠ACE＝∠ABC。∴∠ACE＝∠BCD。（2）∵∠ECB＝∠CDB,∠EBC＝∠BCD，∴△BDC∽△ECB。∴eq\f（BC,BE）＝eq\f（CD,BC)，即BC2＝BE×CD.5．分析：轉(zhuǎn)化為證明∠CBE＝∠CEB。證明：(方法一)連接BE，如圖所示．因?yàn)锳B是半圓O的直徑，點(diǎn)E為圓周上一點(diǎn)，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD。又因?yàn)锳D⊥l,所以BE∥l。所以∠DCE＝∠CEB.因?yàn)橹本€l是圓O的切線，所以∠DCE＝∠CBE。所以∠CBE＝∠CEB,故CE