數(shù)學(xué)學(xué)案：第二講五與圓有關(guān)的比例線段

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精五與圓有關(guān)的比例線段1．掌握相交弦定理及其應(yīng)用．2．掌握割線定理、切割線定理及其應(yīng)用．3．掌握切線長(zhǎng)定理及其應(yīng)用．1．相交弦定理文字語(yǔ)言圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的__相等符號(hào)語(yǔ)言⊙O的兩條弦AB和CD相交于P，則PA·PB＝______圖形語(yǔ)言作用證明線段成比例由相交弦定理可得推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，且弦的一半是直徑被弦分成的兩條線段的比例中項(xiàng)．該推論又稱為垂徑定理．【做一做1】如圖，⊙O的兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，則BE等于（）A．1B．2C．3D．42．割線定理文字語(yǔ)言從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的__相等符號(hào)語(yǔ)言從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條割線PAB和PCD，則PA·PB＝______圖形語(yǔ)言作用證明線段成比例【做一做2】如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PC＝4，PD＝2,則PA·PB等于()A．2B．4C．8D．不確定3．切割線定理文字語(yǔ)言從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的________符號(hào)語(yǔ)言從⊙O外一點(diǎn)P引圓的切線PA和割線PBC，A是切點(diǎn)，則PA2＝________圖形語(yǔ)言作用證明線段成比例相交弦定理、割線定理和切割線定理（割線定理的推論)統(tǒng)稱為圓冪定理．可統(tǒng)一記憶成一個(gè)定理：過圓內(nèi)或圓外一點(diǎn)作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點(diǎn)分(內(nèi)分或外分)成兩線段長(zhǎng)的積相等(至于切線可看作是兩條交點(diǎn)重合的割線)．兩條線段的長(zhǎng)的積是常數(shù)PA·PB＝|R2－d2｜，其中d為定點(diǎn)P到圓心O的距離．若P在圓內(nèi)，d＜R，則該常數(shù)為R2－d2;若P在圓上,d＝R，則該常數(shù)為0；若P在圓外，d＞R，則該常數(shù)為d2－R2。使用時(shí)注意每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是公共點(diǎn)，另一個(gè)是與圓的交點(diǎn)．【做一做3】如圖，P是⊙O外一點(diǎn),PA與⊙O相切于點(diǎn)A，過點(diǎn)P的直線l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC＝9，則PA等于(）A．4B．6C．9D．364．切線長(zhǎng)定理文字語(yǔ)言從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)____,圓心和這一點(diǎn)的連線____兩條切線的夾角符號(hào)語(yǔ)言PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A,B，則PA＝__,∠OPA＝______圖形語(yǔ)言作用證明角相等,線段相等【做一做4】如圖，PA，PB分別為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，∠P＝80°，則∠C＝__________.答案：1．積PC·PD【做一做1】B∵AE·EB＝DE·EC，∴2EB＝4×1。∴EB＝2.2．積PC·PD【做一做2】C∵PA·PB＝PC·PD,∴PA·PB＝4×2＝8.3．比例中項(xiàng)PB·PC【做一做3】B∵PA2＝PB·PC＝4×9＝36,∴PA＝6。4．相等平分PB∠OPB【做一做4】50°∵PA,PB分別為⊙O的切線，∴PA＝PB。又∠P＝80°，∴∠PAB＝∠PBA＝50°?！唷螦CB＝∠PAB＝50°。1．與圓有關(guān)的比例線段問題剖析：與圓有關(guān)的比例線段問題,主要是圓與相似形的綜合，其解法大致可分以下幾種：（1）直接由相似形得到，即先由已知條件證得兩個(gè)三角形相似，從而直接得到有關(guān)對(duì)應(yīng)線段成比例．這是簡(jiǎn)單型的比例線段問題．（2）利用“等線段"代換得到，在證明“等積式”形如a2＝bc時(shí),如果其中有三條線段共線,那么一般往往把平方項(xiàng)線段用“等線段"進(jìn)行代換．(3）利用“中間積”代換得到，在證明“等積式”形如a2＝bc時(shí)，如果其中有三條線段共線,不妨可以把平方項(xiàng)線段利用中間積進(jìn)行代換試試．（4）利用“中間比”代換得到，在證明比例線段(不論共線與否），如果不能直接運(yùn)用有關(guān)定理，不妨就尋找“中間比"進(jìn)行代換試試．與圓有關(guān)的比例線段證明要訣：圓冪定理是法寶，相似三角形中找訣竅，聯(lián)想射影定理分角線，輔助線來(lái)搭橋,第三比作介紹，代數(shù)方法不可少,分析綜合要記牢，十有八九能見效．2．垂徑定理、切線長(zhǎng)定理、射影定理、相交弦定理、切割線定理之間的關(guān)系剖析：如圖，PA，PB為⊙O的兩條切線,A,B為切點(diǎn)，PCD為過圓心O的割線,連接AB，交PD于點(diǎn)E，則有下列結(jié)論：(1）PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；（2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；(3）若AC平分∠BAP,則C為△PAB的內(nèi)心；(4）OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2;（5）＝，＝，PD⊥AB；(6）∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BPD．題型一相交弦定理的應(yīng)用【例題1】如圖,過⊙O內(nèi)一點(diǎn)A作直線，交⊙O于B，C兩點(diǎn)，且AB·AC＝64,OA＝10，則⊙O的半徑r＝__________.反思:相交弦定理的結(jié)論是線段成比例,也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例線段，又可以建立方程來(lái)解決問題，如本題中,利用相交弦定理列出關(guān)于r的方程．題型二割線定理的應(yīng)用【例題2】如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于A點(diǎn)和B點(diǎn),PA＝6cm，AB＝8cm，PO＝10.9cm，求⊙O的半徑．分析：由于PO既不是⊙O的切線，也不是割線，故需將PO延長(zhǎng)交⊙O于D,構(gòu)成圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑,于是運(yùn)用割線定理解題即可．反思:如果已知條件中出現(xiàn)過圓外同一點(diǎn)的圓的割線，那么常用到割線定理．本題中，利用割線定理列出了關(guān)于半徑r的方程，進(jìn)而求出了r的值．題型三切割線定理的應(yīng)用【例題3】如圖，AB切⊙O于B，ACD為割線，E為的中點(diǎn)，BE交DC于F，求證：AF2＝AC·AD．分析:由切割線定理可知AC·AD＝AB2，故只需證AF＝AB即可．反思：如果已知條件中同時(shí)出現(xiàn)過圓外同一點(diǎn)的切線和割線，那么常用到切割線定理．題型四切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用【例題4】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與過A，B兩點(diǎn)的切線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn),AF與BE交于點(diǎn)P.求證：∠EPC＝∠EBF.分析：eq\x(由切線長(zhǎng)定理)→eq\x(EA＝EC,FC＝FB）→eq\x（\f（EC，F(xiàn)C)＝\f（EP,PB））→eq\x(CP∥FB)→eq\x（結(jié)論）反思：如果已知條件中出現(xiàn)過圓外同一點(diǎn)的切線，那么常用到切線長(zhǎng)定理．要注意分析其中的等量關(guān)系，即①切線長(zhǎng)相等，②圓外點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角，然后結(jié)合直角三角形、相似三角形等圖形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明．答案：【例題1】2eq\r（41）如圖所示，作直線OA交⊙O于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則AE＝r－10，AF＝r＋10。由相交弦定理，得(r－10）（r＋10)＝64，解得r1＝2eq\r(41)，r2＝－2eq\r(41)(不合題意，舍去)．故r＝2eq\r(41)?！纠}2】解：如圖，將PO延長(zhǎng)交⊙O于D.根據(jù)割線定理，可得PA·PB＝PC·PD。設(shè)⊙O的半徑為rcm，則6×（6+8)＝(10.9－r)（10。9+r)，解得r＝5.9，即⊙O的半徑為5。9cm?！纠}3】證明：如圖，連接BC，BD，∵E為的中點(diǎn)，∴∠DBE＝∠CBE.又AB是⊙O的切線，∴∠ABC＝∠CDB.∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CDB，∴∠ABF＝∠AFB?！郃B＝AF。又AB是⊙O的切線,ACD為割線，由切割線定理，可知AC·AD＝AB2,∴AF2＝AC·AD?！纠}4】證明:∵EA，EF，F(xiàn)B是⊙O的切線，∴EA＝EC，F(xiàn)C＝FB?！逧A，F(xiàn)B切⊙O于A,B，AB是直徑，∴EA⊥AB，F(xiàn)B⊥AB.∴EA∥FB?！鄀q\f（EA，BF）＝eq\f（EP，BP）?！鄀q\f（EC，F(xiàn)C)＝eq\f（EP,PB），∴CP∥FB?！唷螮PC＝∠EBF.1圓內(nèi)兩弦相交,其中一條弦長(zhǎng)為8cm，且被交點(diǎn)平分，另一條被交點(diǎn)分為1∶4的兩部分，則這條弦長(zhǎng)為（）A．2cmB．8cmC．10cmD．16cm2（2011·北京海淀一模）如圖,A，B,C是⊙O上的三點(diǎn)，BE切⊙O于點(diǎn)B，D是CE與⊙O的交點(diǎn)．若∠BAC＝70°,則∠CBE＝__________；若BE＝2,CE＝4，則CD＝__________.3如圖，AB是⊙O的直徑，PB，PE分別切⊙O于點(diǎn)B，C,若∠ACE＝40°,則∠P＝__________.4（2011·北京西城一模)如圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的切線PA和割線PBC，已知PA＝2eq\r（2），PC＝4，圓心O到BC的距離為eq\r（3），則圓O的半徑為__________．5如圖，已知P為⊙O外一點(diǎn),OP與⊙O交于點(diǎn)A,割線PBC與⊙O交于點(diǎn)B，C，且PB＝BC．如果OA＝7，PA＝2,求PC的長(zhǎng)．答案：1．C設(shè)所求弦長(zhǎng)為5kcm，則由相交弦定理得42＝k×4k，則k＝2(－2舍去),故所求弦長(zhǎng)為5k＝5×2＝10（cm)．2．70°3由于BE是⊙O的切線，則∠CBE＝∠BAC＝70°.由切割線定理，知EB2＝ED·EC.又BE＝2，CE＝4，則ED＝eq\f(EB2,EC）＝1。所以CD＝CE－ED＝3。3．80°如圖所示,連接BC，∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB＝90°。又∠ACE＝40°，∴∠PCB＝180°－∠ACB－∠ACE＝50°.又PB＝PC，∴∠PBC＝50°。在△PBC中，∠P＝180°－50°－50°＝80°。4．2如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接OD和OB，則OD⊥BC.已知OD＝eq\r(3)，則BC＝2BD＝2eq\r(OB2－OD2）＝2eq\r(OB2－3).由于PA是圓O的切線，所以PA2＝PB·PC。