2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)第一節(jié)集合學(xué)案理含解析

PAGE第一節(jié)集合[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.了解集合的含義，元素與集合的屬于關(guān)系；能用列舉法、圖示法或描述法表示集合.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；了解全集與空集的含義.3.理解并會(huì)求并集、交集、補(bǔ)集；能用Venn(韋恩)圖表達(dá)集合的關(guān)系與運(yùn)算.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算以及兩集合間的包含關(guān)系仍是2024年高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將為選擇題，分值為5分.1.數(shù)學(xué)抽象2.數(shù)學(xué)運(yùn)算‖學(xué)問梳理‖1．元素與集合(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、eq\x(1)互異性、eq\x(2)無(wú)序性．(2)集合中元素與集合的關(guān)系有且僅有兩種：eq\x(3)屬于(用符號(hào)“∈”表示)和eq\x(4)不屬于(用符號(hào)“?”表示)．(3)集合的表示方法：列舉法、eq\x(5)描述法、圖示法．2．集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言集合相等集合A與集合B中的全部元素都相同A＝B間的子集A中隨意一個(gè)元素均為B中的元素eq\x(6)A?B基本關(guān)系真子集A中隨意一個(gè)元素均為B中的元素，且B中至少有一個(gè)元素不是A中的元素eq\x(7)AB空集空集是任何集合的eq\x(8)子集，是任何非空集合的真子集空集?常用結(jié)論集合的子集、真子集個(gè)數(shù)的規(guī)律為：含n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集，有2n－1個(gè)真子集(除集合本身)，有2n－1個(gè)非空子集，有2n－2個(gè)非空真子集(除集合本身和空集，此時(shí)n≥1)．3．集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示意義{x|x∈A或x∈B}eq\x(9){x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A}?常用結(jié)論(1)A∩?＝?，A∪?＝A；(2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?；(3)A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A，B，C表示同一個(gè)集合．()(2)若a在集合A中，則可用符號(hào)表示為a?A.()(3)若AB，則A?B且A≠B．()(4)N*NZ.()(5)若A∩B＝A∩C，則B＝C．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×二、走進(jìn)教材2．(必修1P12A5改編)若集合P＝{x∈N|x≤eq\r(2019)}，a＝2eq\r(2)，則()A．a(chǎn)∈P B．{a}∈PC．{a}?P D．a(chǎn)?P答案：D3．(必修1P12B1改編)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，則集合M∪N的子集的個(gè)數(shù)為________．答案：64三、易錯(cuò)自糾4．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，則下列說法正確的是()A．0?A B．1?AC．eq\r(2)?A D．3∈A答案：D5．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，則(?RA)∪B＝______________．答案：{x|x≤1或x>2}6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，則實(shí)數(shù)a的值是____________．答案：0或1或－1eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(集合的概念及基本關(guān)系))|題組突破|1．設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則b－a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2解析：選C因?yàn)閧1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，則eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.2．(2025屆廣東佛山模擬)已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，B＝{x|－1≤x≤2}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．7 D．8解析：選D∵A＝{x∈N|x2－2x≤0}＝{0，1，2}，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}，∴A∩B的子集個(gè)數(shù)為23＝8，故選D．3．(2025屆湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x∈R))))，則()A．M＝N B．N?MC．M＝?RN D．(?RN)∩M＝?解析：選C∵由題意得y＝x－|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，x≥0，,2x，x<0，))∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝?RN.4．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．解析：①若B＝?，則Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2，符合題意；②若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時(shí)B＝{1}，符合題意；③若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此時(shí)B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合題意；④若1，2∈B，則12＋m＋1＝0，且22＋2m＋1＝0，無(wú)解綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2，2)．答案：[－2，2)?名師點(diǎn)津1．推斷兩集合關(guān)系的3種常用方法2．依據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法[提示]題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B＝?和B≠?兩種狀況進(jìn)行探討．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(集合的基本運(yùn)算——多維探究))集合運(yùn)算多與解簡(jiǎn)潔的不等式、函數(shù)的定義域、值域相聯(lián)系，考查對(duì)集合的理解及不等式的有關(guān)學(xué)問；有些集合題為抽象集合題或新定義型集合題，考查考生的敏捷處理問題的實(shí)力．常見的命題角度有：(1)集合的基本運(yùn)算；(2)利用集合的運(yùn)算求參數(shù)．●命題角度一集合的基本運(yùn)算【例1】(1)(2024年全國(guó)卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，則M∩N＝()A．{x|－4<x<3}B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2}D．{x|2<x<3}(2)(2024年浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，則(?UA)∩B＝()A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}(3)(2025屆石家莊調(diào)研)已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，則A∩(?RB)＝()A．[2，3) B．(2，3)C．(3，＋∞) D．(2，＋∞)[解析](1)∵M(jìn)＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}．故選C．(2)∵?UA＝{－1，3}，∴(?UA)∩B＝{－1，3}∩{－1，0，1}＝{－1}．故選A．(3)∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴?RB＝(－3，3)．又A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，所以A∩(?RB)＝(2，3)，故選B．[答案](1)C(2)A(3)B?名師點(diǎn)津集合基本運(yùn)算的求解策略求解思路一般是先化簡(jiǎn)集合，再由交、并、補(bǔ)的定義求解求解原則一般是先算括號(hào)里面的，然后再按運(yùn)算依次求解求解思想注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，利用好數(shù)軸、Venn圖等●命題角度二利用集合的運(yùn)算求參數(shù)【例2】(1)(2024年全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝()A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}(2)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，若A∪B＝B，則c的取值范圍是()A．(0，1] B．[1，＋∞)C．(0，2] D．[2，＋∞)[解析](1)因?yàn)锳∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，所以方程為x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．(2)A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，因?yàn)锳∪B＝B，所以A?B，所以c≥2，即c∈[2，＋∞)，故選D．[答案](1)C(2)D?名師點(diǎn)津依據(jù)集合運(yùn)算的結(jié)果確定參數(shù)的取值范圍解決此類問題的步驟一般為：(1)化簡(jiǎn)所給集合；(2)用數(shù)軸表示所給集合；(3)依據(jù)集合端點(diǎn)間關(guān)系列出不等式(組)；(4)解不等式(組)；(5)檢驗(yàn)，通過返回代入驗(yàn)證端點(diǎn)是否能夠取到．解決此類問題多利用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合數(shù)軸或Venn圖進(jìn)行求解．|跟蹤訓(xùn)練|1．(2024年全國(guó)卷Ⅲ)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝()A．{－1，0，1} B．{0，1}C．{－1，1} D．{0，1，2}解析：選A因?yàn)锳＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，所以A∩B＝{－1，0，1}，故選A．2．(2025屆陜西摸底)已知集合M＝{x|x>3}，N＝{x|x2－7x＋10≤0}，則M∪N＝()A．[2，3) B．(3，5]C．(－∞，5] D．[2，＋∞)解析：選D因?yàn)镸＝{x|x>3}，N＝{x|x2－7x＋10≤0}＝{x|2≤x≤5}，所以M∪N＝{x|x≥2}，故選D．3．(2025屆山東臨沂第十九中學(xué)質(zhì)量調(diào)研)已知集合A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，若A∪B＝A，則m＝()A．0或eq\r(3) B．1或eq\r(3)C．0或3 D．1或3解析：選C由A∪B＝A得，B?A，又A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，故m＝3或m＝eq\r(m)，解得m＝3，m＝0或m＝1(舍去)，故選C．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(集合的新定義問題及應(yīng)用))【例】(1)(2025屆北京人大附中月考)定義集合運(yùn)算：A★B＝{z|z＝x2－y2，x∈A，y∈B}．設(shè)集合A＝{1，eq\r(2)}，B＝{－1，0}，則集合A★B的元素之和為()A．2 B．1C．3 D．4(2)(2024年全國(guó)卷Ⅲ)《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)珍寶，并稱為中國(guó)古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的狀況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8[解析](1)∵當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))時(shí)，z＝0；當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝－1))時(shí)，z＝1；當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝0))時(shí)，z＝2，∴A★B＝{0，1，2}，∴集合A★B中全部元素之和為0＋1＋2＝3.故選C．(2)由題意作出Venn圖，得，故該學(xué)校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70，則該學(xué)校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為eq\f(70,100)＝0.7.故選C．[答案](1)C(2)C?名師點(diǎn)津(1)以集合為背景的新定義問題常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)覺”為目的，這類試題只是以集合為依托，考查考生對(duì)新概念的理解，充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象．(2)在解決與集合交集應(yīng)用問題時(shí)，借助Venn圖進(jìn)行分析可幫助理解和轉(zhuǎn)化．|跟蹤訓(xùn)練|1．設(shè)A，B是非空集合，定義A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，則A?B＝____________．解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定義A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，結(jié)合數(shù)軸得，A?B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)2．50名學(xué)生報(bào)名參與A，B兩項(xiàng)課外學(xué)科小組，報(bào)名參與A組的人數(shù)是全體學(xué)生人數(shù)的eq\f(3,5)，報(bào)名參與B組的人數(shù)比報(bào)名參與A組的人數(shù)多3人，兩組都沒有報(bào)名的