2025年高考數(shù)學復習：三角函數(shù)【學案講義】

2025年高考數(shù)學大招秒殺基礎版-板塊3-三角函數(shù)【學案講

義】

大招一判定三角函數(shù)分角所在象限的幾何法

若a是第一象限角，則巴，區(qū)是第幾象限角？

23

幾何法

將單位圓在第一象限的圓弧分成兩等份（2是里的分母），再將第二、三、四象限的圓

2

弧兩等分，逆時針依次標上1、2、3、4,再循環(huán)一遍，直到標滿為止，則有標號1的（1指

的是a所在的象限）就是里所在的象限.如圖所示：色在第一、三象限.

其實，把一個角除以2之后，原來在四個象限中的角就分別對應到所在的1,2,3,4

四塊區(qū)域中，因為原來的角相差2乃終邊相同，故對應的區(qū)域有兩塊.

同理，將單位圓在第一象限的圓弧分成三等份（3是色的分母），再將第二、三、四象限

3

的圓弧三等分，逆時針依次標上1、2、3、4,再循環(huán)一遍，直到標滿為止，則有標號1的（1

指的是a所在的象）就是里所在的象限，如圖所示：區(qū)在第一、二、三象限.

例1.若a是銳角，那么2a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.小于兀的正角

【答案】D

TT

【解析】由0<a〈生可知，0<2。<不，故選D.本題容易錯選C.

2

例2.若a是第二象限角，則上是第象限角，3是第象限角.

23

【答案】一、三一、二、四

aOL

【解析】數(shù)形結(jié)合，因為e為第二象限角，所以用圖表示出§（圖（①），］（圖②）,

ora

看“2”在哪一象限，一，一就在哪一象限.

23

大招二三角函數(shù)符號判定有絕招

三角函數(shù)的符號判定

（1）正弦值上對于第一、二象限為正（y>0,>0）,對于第三、四象很為負

r

（y<0,r>0）.

x

（2）余弦值上對于第一、四象限為正（x>0/>0）,對于第二、三象限為負

r

（x<0,r>0）.

⑶正切值上（x/0）對于第一、三象限為正（x,y同號），對于第二、四象限為負（x,y

X

異號）.

三角函數(shù)的符號記憶口訣

一全正、二正弦、三兩切（或三正切）、四余弦一一是從象限的三角函數(shù)名為正出發(fā)的.

例1.已知點Paanc^coscir）在第三象限，則角a在（）.

A.第'象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】依題意，tana<0,且cosor<0.故選B.

例2.若三角形兩內(nèi)角口,分滿足sintz-cos/?<0,則此三角形為（）三角形.

A.銳角B.鈍角C.直角D.不確定

【答案】B

【解析】因為e,分是三角形的內(nèi)角，所以。<a（萬,0</?<肛因此sina>0.又

sina-cos<0,所以cos，<0,因此，為鈍角.故選B.

例3.若。=3,下列函數(shù)值中為負的是（）

A.cos-B.cos2。C.cos|—|D.sin|—]

2I2；{2）

【答案】D

no

【解析】。=3為第二象限角，26=6為第四象限角，2=二為第一象限角，

22

—3=—T為第四象限角，故只有選項爪sin[—故選D.

例4.sinlcos3tan5的值（）

A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在

【答案】B

7T

【解析】0<1<一<3<肛——<5<2],所以sinl>0,cos3<0,tan5<0.故

22

選B.

例5.若。是第二象限角，則點P（sin（cos6?）,cos（cos。））在（）

A.第一象限B.第二象限C.第象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】因為。是第二象限角，所以—I<cos6<0,角cos。在第四象限內(nèi)，因此

sin（cos，）<0,cos（cos0）>0,即點。在第二象限，故選B.

einf)coQf)

例6.若------=0,則5皿90$9)<0$缶皿。)的值()

1|sin^|1\cosO\r

A.小于08大于0C.等于0D.不確定，與。有關

【答案】D

sin0cos3

【解析】=0osinacose異號=夕為第二或第四象限角.

①若。是第二象限角，貝0<sin^<l,-l<cos6^<0,從而

sin(cos。)v0,cos(sin6)>0.所以sin(cos。)?cos(sin0)<0.

②若。是第四象限角，貝??！-l<sin^<0,0<cos^<l,從而

sin(cos^)>0,cos(sin0)>0.所以sin(cos0)?cos(sin6)>0.故選D.

大招三利用三角函數(shù)線比大小

如下圖，角a的終邊與單位圓交于點P(羽y).過。作x軸的垂線，垂足為過點

4(1,0)作單位圍的切線，它與角a的終邊或其反向延長線交于點T，根據(jù)三角函數(shù)的定義,

我們有：

|MP|=|y|=|sin?|;|(9A/|=|%|=|cos?|;|AT|=|tana|.

a的

7/終邊

a的

終邊

當角a的終邊不在坐標軸上時，以。為始點，M為終點、,規(guī)定:當線段與x軸同

向時，的方向為正，且有正值x；當線段與x軸反向時，的方向為負，且

有負值x.其中x為P點的橫坐標，所以無論哪一種情況都有。河=x=cosa.同理，可以

得到，無論哪一種情況都有A/P=y=sina,AT=—=tana.

像MP,OM,AT這種被看作帶有方向的線段叫作有向線段.規(guī)定:與坐標軸方向一致時

為正，與坐標軸方向相反時為負.

例1。已知tze|o,三試證明：sincr<?<tancr.

【證明】作出單位圓，如圖，設=則弧的長度為a,角a的正弦線為

MP，正切線為AT,04=1.所以％”=；|叫阿，S扇形”卻山儀；

S,OAT=^\OA\-\AT\.

又SA0AP<S^OAP<S”所以T。4HMpI<1|0A|.?<!|<9A|.|AT|.

所以sinav。<tana.

JI

例2.已知。為銳角，求證：1<sin。+coso.

2

【證明】如圖，設角a的終邊與單位圓相交于點P（蒼y）,過尸作尸軸,

PQLy軸，M,Q為垂足，連接AP,5P.

因為y=sin（z,x=costz，在AOPM中，|?^+|0叫>|（?P|,所以sin?+cos?>1.

因為SAPoLllOAHPMnJyn:sino；SAPOB=^-\OB\-\PQ\=^x=^cosa,

乙乙乙乙乙乙

S扇形AO3而S"OA+S、POB<S扇形AOH—<sincr+—cosa即

si.na+cosa<—71.

2

JI

所以1vsin^+cos。（一.

2

例3.若。￡（0,2?）,sina>cosa,則a的取值范圍是_

【答案】

【解折】如圖，由三角函數(shù)定義結(jié)合三角函數(shù)線，在（0,2乃）內(nèi)，使sinocosi成立

的a的取值范圍是羊）

例4.以下命題正確的是（）

A./是第一象限角，若cos夕>cos/7,則sina>sin/?

B.%，是第二象限角，若sina>sin/7,則tana>tan/?

C.a,6是第三象限角,若cosa>cos/?,P!!!sina>sin/?

D.是第四象限角，若sina>sin力，則tana>tan/?.

【答案】D

【解析】如圖，設單鳥是角的終邊與單位圓的交點，過68分別作x軸的垂線

P\M,P?N,則MgNg分別為兩角的正弦線，OM,ON分別為余弦線.由于。,月在第

一象限，所以余弦線越長角的余弦值越大，從而OR為a的終邊，0P2為￡的終邊，顯然

sincr<sin/?,故A不正確，同理可知，B,C錯，D正確.故選D.

例5.。，瓦C均屬于區(qū)間0,—，且滿足々=以%。,b二5111（00513）,（7=853111（7）,則

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】對于任意ae0,g,如圖，在單位圓中,AC=sin。，弧AB的長度為a,

而SAABC<S扇形33,即Lsinov,。，所以sinav。，結(jié)合三角函數(shù)圖像，可知，對任意

兀

0<a<p<—,有sincr<sin尸,coscif>coss/7,所以若a2c,BPcosa^cos（sinc）,

由于a,sine都屬于104j,則arsine,則有矛盾！從而即

cos6Z<cos(sine),即〃>sinc,所以sincvavc.若bNsinc,BPsin(cosb)^sine,

則cosb'c=cos(sinc),所以bWsinc,即sincWbWsinc,所以b=sinc,所以

b<a<c,故選C.

大招四同角三角函數(shù)基本關系合集

平方關系：sin2x+cos2x=l

商數(shù)關系：里吧=tanx

COSX

例1.(1)若a是第二象限角，sina=,貝!jcosa=，tana=.

10_

(2)若。是四象限角，tana=—―,貝Usina二，cosa=.

12~~

,田田,八、3廂1赤、512

【答案J(1)-------(2)--------

1031313

【解析】（1）可以構(gòu)造一個邊長是1,3,癡的直角三角形，再判斷符號；（2）可以構(gòu)造

一個邊長是5,12,13的直角三角形，再判斷符號.

【評注】

本題是同角三角關系的基本應用，知一求二，可以通過構(gòu)造直角三角形求值，同時注意

三角函數(shù)值的符號.

例2.已知sin。一costz=-，則sine-cos&=，sina+cos?=.

13_

rx-60,17

【答案】I69；±l3

,A-nIr-1/?\2491c??60

【解析】(sma—cosa)==I-2sinor-cosasincr-cosa=;

、2i.289^17

sincr+cosa=l+2sincrcosc=-----=^>sina+cosa=±——.

716913

【評注】本題是三角函數(shù)關系的重要變形，由(sin。土cos。)？=l±2sinscos。得

到.在符號確定的情況下，可以知一求二，進而求出sinx,cosx,tanx的值.

zsine+2cosasin*2*4or+sinacosa-2cos2a

例3.已知tana=2,則---------------=_；--------------------------

3sina+4cos。sin5。+2cos5a

22

【答案】jI

【解析】前者是一次齊次分式，分子分母同時除以cos。；后者是二次齊次分式，分子

分母同時除以cos?。，都可以轉(zhuǎn)化成只關于tana的式子，也有人將sina=2cos。的式子

代入，將分子轉(zhuǎn)化成只含cosa或sina的式子.

sina+2cosa_tana+2_2

3sina+4cosa3tana+45

sin2a+sinacosa-2cos2atan2a+tana-22

sin26Z+2COS2atan2a+23

【評注】本題是三角函數(shù)關系的重要變形，在已知tanx的情況下，可以直接處理關于

sin%與cos%的齊次分式(所謂次分式是指分子與分母的所有單項式次數(shù)都相同).

例4.(1)6^G(0,—),則Jl+2sinecos。=()

2

A.sine+cosOB.-sin9-cos6C.sin<9-cos^D.cossin

/、-一esin2a

(2)已知tana=2,則-------------

sinacosa+1

4

【答案】(1)A(2)-

7

【解析】(1)Jl+2sin)cos6=Jsin?1+2sin夕cos8+cos29=J解ini+cos6)2,

由于8￡(0,工)，sin^>0,cos^>0,故sinS+cosS〉。.故選A.

2

/、si?n2asi,n2aAt-an2a4A

(2)--------------二----------------7---------『=—o----------------=一

sinacosa+1sinacosa+sina+cosatana+tana+17

【評注】注意“1”的變形使用：l=sin20+cos2a.可用于配平方式與齊次式轉(zhuǎn)化.

大招五三角函數(shù)三兄弟

在三角函數(shù)中有一個重要公式“sin2o+cos2o=l"，由此可得：

2sin%cos%=(sinx+cosx)2-1=1-(sinx-cosx)2.所以，在sinxcosx

sinx+cosx,sinx-cosx

三個式子中，只要知道任意一個，就可求出另外兩個：

(1)若知道sinxcosx=r,得sin%+cosx=±Jl+2r,sinx-cosx=±Vl-2r；

/一]/----T

(2)若知道sinx+cosx=，，得sin%cos%=------,sinx-cosx=±v2-r；

(3)若知道sinx-cos%=s,^fsinxcosx=-——,sinx+cosx=±y]2-s2.

2

例1.求函數(shù)y=sin2x-3(sinx+cosx)的值域.

【解析】設sinx+cosX=，(一五W/W五),得sin2x=2sinxcosx=/一1.所以原

函數(shù)可化為y=t2-3t-i(―0WWJ5),可求得函數(shù)y的值域是[1—3底,1+30].

業(yè)心sinxcosx,,,.,.

例2.求函數(shù)y=------------------的值域.

1+sinx+cosx

(―(―J―]

【解析】設sinx+cos%=%(—J^W/Wj^LtwlM^sin%cos%=------,所以原函數(shù)

2

可化為y==,可得函數(shù)y的值域是

2（?+1）2

A/2+I

2

25

例3.已知QN),函數(shù)/(%)=(〃+cosx)(〃+sinx)的最大值為w，則〃=_.

【答案】2&

【解析]/(x)=(〃+cosx)(a+sinx)=a1+〃(sinx+cosx)+sinxcosx.

設sinx+cosx=t(—0W/W0)，貝!jsinxcosx=-------.所以

2

產(chǎn)一1

f⑺=a2+at——--

i2i

=-(/+a)2+y--.因為aN),所以/=&時取得最大值.即

y(V2)==-(^+a)2,解得a=20.

'/2222

大招六誘導公式全攻略

誘導公式

誘導公式一：sin(a+2匕r)=sinacos(a+Ikn)=cosatan(。+2匕r)=tana

誘導公式二：sin(a+?)=-sinacos(a+〃)=-cosatan(a+〃)=/〃na

誘導公式三：sin(-cr)=-sin。cos(-a)=cosatan(-cr)=-tana

誘導公式四：sin(〃-a)=-sinacosQr-a)=-cos。tanQr-。)=V〃na

誘導公式五：sin(^-cif)=cosacos(^-a)=sinatang-。)=cot。

誘導公式六：sin(^+cif)=cosacos(]+a)=-sinatan(^+a)=-cota

(注:誘導公式一中，keZ)

誘導公式有統(tǒng)一的記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”.“奇變偶不變”指的是對

TT

于任意三角函數(shù)，以y=sin(m-萬+0)為例，若加為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不改變；若m為奇

數(shù)，則函數(shù)名稱變成余弦.“符號看象限”是指，假定0為第一象限內(nèi)的角，根據(jù)

7T7T

sin(m--+^)的正負判斷變換后的三角函數(shù)的符號，所以主要是看+°所在的象限.

TT7T

如：sin(2--+^),偶不變，值與sin。同，夕是第一象限角時，在第三象

JTTT

限，于是sinQ3+e)為負，故有負號，即sin(2?]+°)=-sin°.

JTjr

再如：sin(-+^),奇變，0是第一象限角時°在第二象限，正弦為正，故

.TC、

sin(z—+°)=coscp.

0為什么要取第一象限角？

其實誘導公式都是恒等式，即對任意的0都成立，所以0取第幾象限的角都沒關樂，但

jr

是，當夕不是第一象限角時，推導符號時需要考慮兩邊，如sin(2?]+e)與0相關；當夕

7T4

為第三象限角時，sin^<0,2?耳+0是第一象限角，sin(-+^)>0,從而符號為負,

jr

即有sin(]+9)=-sin。.我們當然希望越簡單越好，所以我們默認取第一象限角，其實不

是必須的，只是為了符號好確定.

例1.若sin(?+a)+sin(-。)=-m,則sin(3%+a)+2sin(2〃-a)=()

2m3m八2m3m

A.------B.--------C.一D.一

3232

【答案】B

..TTI

【解析】sin(〃+a)+sin(-a)=-m,BP-2sina=-m,sina=一

2

..3TTL

所以sin(3〃+a)+2sin(2〃-a)=—sina—2sin2=-3sina=---.故選B.

例2.己知sin(?+?)=#,則sin(今—a)的值為()

11石

A.—B.——C6

2222

【答案】C

3兀71

【解析】sin(--6z)=sin^-(―+a)=sin(—+cr)=――?故選C.

44442

377|

例3.已知cos(羊—8)=^，則

cos(7?+8)cos(-6-2〃)

+

cos[cos(^--cos(6+2兀)cos(6+?)+cos(-6)

【答案】32

【解析】因為cos(網(wǎng)—8)=1，所以sin6=—1所以

244

cos(7〃+e)+cos(-e-2?)

cose[cos(i-cos(6+2])cos(8+?)+cos(-8)

-COS0cos。cos。cos。

------------------------------1--------------------------------------二-----------------------------------------------------------------------

cos0(-cos0-1)cos0(-cos0)+cos6cos6(cos8+1)cos6(cos8-1)

11-22；=32.

(cos3+1)(cos0-1)cos2^-1sin20

(-4)2

例4.已知cos。-。)=-^,則cos(^+a)-sin2(a-g=_.

■林aY2+A/3

【答案】------

3

冗nJnT

【解析】因為cos(——+6/)=cos?-(----a)=-cos(-----a)=-

666

2

.2/兀、?2_2

sin(a----)—sin-a)=l-cos2(^-cir)=1-

6-3

匚Ui、1Z5TT、.2/1、A/32_2+73

所以cos(-----oc)_sin\cc-----)——

66333

大招七搞定正切函數(shù)圖像

正切函數(shù)丁=tanx

圖J;J

像TTJTT

定義域[711

<xx^k7r+—,keZ>

值域R

性最小正周71

質(zhì)期

對稱性對稱中心仔,0）（左eZ）

奇偶性奇函數(shù)

JTJT

單調(diào)性單調(diào)增區(qū)（--+^,—+^TT）eZ）

間

TT7T

例1.若將函數(shù)丁=1211(。％+生)(。＞0)的圖像向右平移2個單位長度后，與函數(shù)

46

7T

y=tan(s+w)的圖像重合，則0的最小值為().

A.-B.—C.-D.一

6432

【答案】D

TTTT

【解析】函數(shù)y=tan(s+—)(@＞0)的圖像向右平移上個單位長度后的函數(shù)解析式

46

為

71.71.（D7t71、

y=tan（Oz\X----）H——tan（69%-------1—）

6464

依題意有衛(wèi)=—"+工+Qr,左eZ.解得。=工+6左，左eZ

6642

又口＞0,所以0的最小值為工，故選D.

2

TT

例2.設定義在區(qū)間（0,萬）上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為

尸，過點尸作

x軸的垂線，垂足為《，直線2片與函數(shù)y=sinx的圖像交于點鳥，則線段《舄的長

為一.

2

【答案】-

3

y=6cosx,_22

【解析】由《,消y得6cosx=5tanx,解得sinx二一或sinx二--(舍).故

y=5sin%33

_2?I2

點P2的縱坐標為%=耳?所以|P1P2|=§.

例3.函數(shù)y=tanx+sinxTtan%-sinx|］在區(qū)間內(nèi)的圖像是（

【答案】D

■.sinx.sinx(l-cosx)

【解析】當tan%>smx時，y=2sin%，------smx二--------------->0,又

cosxcosx

3萬

cosx<0,l-cosx>0,故sinxVO,xG71，------.當tanx<sinx時，y=2tanx,此

2

時sinx20,x￡[1?，兀].故選D.

大招八已知三角函數(shù)圖像求表達式

由已知條件確定函數(shù)y=Asin(cox+0)+Z?的解析式，需要確定A,0,/b

(1)由函數(shù)的最大值|A|+A,最小值為—|A|+＞可確定〃與A;

2%

(2)由函數(shù)的最小正周期為可以確定。；

(3)確定0:一般使用最高點或者最低點確定0的值，如果選用平衡點，一般會得到

兩個符合條件的0值，還需要結(jié)合平衡點所在處的單調(diào)性再確定.

例1.已知下圖是函數(shù)y=2sin(ox+。)網(wǎng)的圖像的一段，則()

?！竢\兀nCn

(p=---C.(o=Z(p=—D.①=2,(p--------

666

I1jr(冗\27rTC

【解析】因為-丁=?，所以。=一=2.又因為--處于遞增部分的平

12I12j7i12

7T

衡點，所以29=,故選C.

6

97r

【答案】

Io

(3萬、5萬2萬4＜4

【解析】由圖易知，T=22萬一彳=”-,所以。=亍=二,所以y=5詁6》+。

下面來求0.由圖可知，當x=2乃時，ymax=1,即sin1gx2萬+。］=1.所以

7i1\TC97r

-----b0=2k?+—(k￡Z),(p=-------+2k?(kwZ),因為一萬《0〈乃，所以。=——.

521010.

例3.已知下圖是函數(shù)丁=5皿(。%+。)［。＞0,0＜。＜5)的部分圖像，則點P(①，⑼

的坐標為()

【答案】A

5兀712?,,

【解析】此函數(shù)的周期為T=2R=—,故折2

~6~^CD

又此圖像過點即故丁=5皿［2乂答+9］=-1,故A正

確，本題也可以由圖像與y軸的交點坐標大于;直接排除B選項，得到A正確.故選A.

例4.已知下圖是函數(shù)y=sin(2x+°)(0W/＜?)的圖像，則0=()

(jr1A27r?兀?37r

【解析】因為A［耳,eJ在遞減段上，所以-2k?+—,2k?+——(keZ),所

22

一2萬57171

以丁+。二二，即。二二

36o

大招九三角函數(shù)圖像變換全攻略

人,0,夕對函數(shù)丁=八5皿的+0）的圖像的影響

（1）。對丁=sin（x+0）的圖像的影響

函數(shù)y=sin（x+0（0WO）的圖像,可以看作是把y=sinx圖像上的各點向左（。>0）

或者向右（0VO）平移Id個單位而得到的（可記作左加右減）既丁=5也%：|鬻篝平移

附個單位得丁=5血1伍+0）.

(2)。對y=sin(x+0）的圖像的影響

函數(shù)y=sintyx（0>O,o?wl）的圖像，可以看作是把y=sinx的圖像上的各點的橫

坐標縮短（。>1）或伸長（0<。（1）到原來的工倍（縱坐標不變）而得到的，既丁=5也。乂

CD

的橫坐標長到原來的一倍得尸/①x.

（3）A（A>0）對y=Asin（twx+°）的圖像的影響

函數(shù)F=Asinx（A>0且Aw1）的圖像可看作是K=sin%的圖像上的各點的縱坐標

伸長為原來的A（A>1）倍，或縮短到原來的A（O<A<1）（橫坐標不變）而得到的，

A>/時伸長

既丫=sinx的縱坐標到原來的A倍得到y(tǒng)=Asinx

0<AV/時縮短

jr5jr

例1.下圖是函數(shù)y=Asin（azr+0）,xeR在區(qū)間——上的圖像.為了得到這

L66

個圖像，只要將y=Asinx（xeR）的圖像上的所有點（）

71再把所得點的橫坐標縮短到原來的1倍,

A.向左平移了個單位長度，縱坐標不變

2

JT

B.向左平移§個單位長度，再把所得點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變

7T再把所得點的橫坐標縮短到原來的1倍,

C.向左平移7個單位長度，縱坐標不變

62

7T

D.向左平移7個單位長度，再把所得點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變

6

【答案】A

71^571

27r36_7汽

【解析】由圖像可知，A=l,——二R、解得①二2故y=sin（2x+0）.

0）212

(7TZ"]7冗TC

sin2x——+(p=-l,從而0+——=2k?+——(k￡Z).故°=2k?+—(kwZ).此函數(shù)

V12J623

的解析式為y=sin12x+。],故選A.

例2.把函數(shù)y=cos2x+l的圖像上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不

變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像是（)

2

O\

【答案】A

【解析】y=cos2x+l橫坐啜黑腰的2倍＞y=cosx+l向左平移1個單位長度>

y=cos（x+l）+l—問下平移i個單位長度＞y=cos（x+D,故選A.

jr

例3.為得到函數(shù)y=cos（x+§）的圖像，只需將函數(shù)y=sinx的圖像（）

7T7T

A.向左平移二個單位長度B.向右平移二個單位長度

66

57r

c.向左平移二個單位長度D.向右平移個單位長度

66

【答案】D

【解析】y=cos^x+yj=sin^x+y+^j=sin^x+^j,故將正弦函數(shù)的圖像向

左平移個單位長度即可得到.故選C.

6

例4.為得到函數(shù)y=cos［gx+q］的圖像，只需將函數(shù)y=singx的圖像（）

A.向左平移二個單位長度B.向右平移丁個單位長度

33

c.向左平移▼個單位長度D.向右平移▼個單位長度

66

【答案】A

【解析】y=cjL+A=sin（L+-A=sin（L+至］=sin*+與只

?（23）（232）（26）2（3）

需將函數(shù)y=sin；x的圖像向左平移3個單位長度即可得到函數(shù)y=cos（；x+g］的圖

像，故選A.

大招十三角函數(shù)與二次函數(shù)復合

類型1形如y=sin2x+psinx+q(y=cos2x+pcosx+q)型的函數(shù)

解決此類為題可通過配方法，轉(zhuǎn)化成關于正弦或余弦的二次函數(shù)的形式，注意變量的取

值范圍.

例1.求y=sin2x+〃sinx+4得最大值和最小值(其中p,q為常數(shù)).

【解析】y=sir?x+，sinx+q=(sinx+^J+^+^>①若

-1<—<l.U-2<p<2,貝(Jsinx=--時有丁而口=—~—■最大值在sinx=l或

224

sinx=—1時取得，需比較，當一1<^40時，即—2<pV0,sinx=—1時取最大值，

Vmax=l—0+q；當04541時,即sinx=l時取最大值,Vmax=1+2+4?②

>2

若—當<-1，即p，則當sinx=-l時，X11ta=1—。+4，當Sinx=l時，

ymax=l+p+q-③若一3>1，即。<2,則當sinx=l時，Vmin=1+。+4；當sinx=T

時，Wax=1一。+4-如圖甲、乙、丙所示?將

例2.(1)若關于x的方程cos2x-sinx+a=0在04內(nèi)有實數(shù)解，則。的取值范

圍為

(2)若函數(shù)y=(sinx-a)2+1在sinx=l時取最大值，在5足1=。時取得最小值，則

實數(shù)。的取值范圍為一.

【答案】⑴(-1,1]⑵[-1,0]

【解析】⑴令1=5足》,因為,所以.

解法一：根據(jù)題意，a=-cos2x+sinx+<2=sin2x+sinx-1=rl1-

所以Q的取值范圍為—1<Q<1.

解法二：原方程可化為『+"1=0,設/(t)=t2+-a—1,因為對稱軸/=—；,f(t)

/⑺<0=-1-1<0

在(0』上單調(diào)遞增，/(t)在(0』內(nèi)有零點，則有<=^>-1<6Z<1.

J⑴l-a>Q

(2)由sinx=a知一iWaWl,又y=Q-a)2+1的最大值一定在端點處取到，而

—iWsinxWl故當且僅當(―1—ay+l<(l—。丫+1,所給函數(shù)在sinx=l處取到最大值,

解得aWO,綜上可知，ae[—1,0]

例3.已知函數(shù)/(%)=sin2x+2cosx

⑴若/食)在區(qū)間T，a上的最大值為1,則。=_.

(2)若/(x)在區(qū)間T，a上的最小值為-；，則。的取值范圍為一

【答案】⑴4⑵

【解析】/(x)=1-cos2x+2cos%=-(cosx-1)2+2令t-cosx,則

/?)=(——1)2+2在(—8,1]上單調(diào)遞增；又當xe--,0時，/=cosx單調(diào)遞增，且

t<l,故當xe--,0時，/(x)單調(diào)遞增.

(1)當X=—萬時，cosx=0此時/(x)=l;由函數(shù)/(幻在--,0上單調(diào)增知,

TT

。只能等于-丁.

2

2〃12乃1F2乃27r

⑵當x=—《-時，/(x)=-a；當》=曰-吐/(乃=一“當XC時，

cosxe一(，1，此時/'(x)N—[HcosxV—：時，/(幻的最小值將小于一^,不符合

2J424

題意.故a<-綜上可知，———?

3133」

類型2形如y=psinxcosx+<y(sinx±cosx)型的函數(shù)

解決此類問題主要是利用公式(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx進行換元.令

t=sinx±cosx,貝貝[_)仔=l±2sinxcosx,從而sinxcos九=±——.

JI_

例4.已知xe0,—,求函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx+l的最大值和最小值,

并求出此時x值.

【解析】令sinx+cosx=t,貝1J2sinxcosx=/一1,代入得

y=t+t2-l+l=t+t2=(t+—)2--,因為t=V^sinx(x+工],xe0,—,所以

24I4；L2j

x+[e四].于是當t=l時，^ymin=2,此時sinx(x+[j=￥，

解得x=0或￡；當1=后時，有y1mx=2+夜，此時sinx[x+?]=l