人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊重難考點(diǎn)專題06實(shí)際問題與二次函數(shù)(知識(shí)串講+5大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題06實(shí)際問題與二次函數(shù)考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）實(shí)際問題類型（1）幾何面積型（2）拱橋型（3）拋擲型（4）銷售利潤型（5）動(dòng)點(diǎn)型考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：幾何面積型典例1：（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，用總長為40m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖雞棚，墻長為25(1)如果這個(gè)矩形雞棚與墻平行的一邊BC長為am，求雞棚與墻垂直的一邊AB的長（用含a(2)設(shè)雞棚與墻垂直的一邊AB的長為xm，求這個(gè)矩形雞棚面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍(3)試探索，這個(gè)矩形雞棚的面積S能否等于250m2，若可以，求出此時(shí)【變式1】（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把一塊長100m，寬60m的矩形空地建成停車場，設(shè)計(jì)方案如圖所示，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)（四塊綠化區(qū)為全等的矩形），空白區(qū)域?yàn)橥＼囄?，且四周?個(gè)出口寬度相同，其寬度不小于28m，不大于52m．設(shè)綠化區(qū)較長邊為x(1)直接寫出：①用含x的式子表示出口的寬度為；②y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍．(2)求停車場的面積y的最大值；(3)預(yù)計(jì)停車場造價(jià)為100元/m2，綠化區(qū)造價(jià)為50元/m2．如果停車場投資不得超過540000元建造，直接寫出【變式2】（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+3x+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?2,0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0,8)，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CP,PB，直線BC與拋物線的對稱軸l(1)求拋物線的解析式；(2)求直線BC的解析式；(3)求△BCP的面積最大值．【變式3】（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)校考期中）如圖1，用60m長的護(hù)欄全部建造一個(gè)靠墻（墻的長度不限）的矩形養(yǎng)牛場，已知此矩形養(yǎng)牛場的面積為ym2(1)此矩形與墻平行的邊長為m（用x來表示）；(2)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出此矩形面積的最大值；(3)如圖2，若建造矩形養(yǎng)牛場時(shí)，在平行于墻的一邊上留了aa>0m的距離便于出入（不占用護(hù)欄材料），當(dāng)15≤x≤20時(shí)，該矩形的最大面積為512m考點(diǎn)2：拱橋型典例2：（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，左右兩個(gè)拋物線形是全等的，正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB為20m，頂點(diǎn)M距水面6m（即MO=6m），小孔頂點(diǎn)N距水面4.5(1)求出大孔拋物線的解析式；(2)航管部門設(shè)定警戒水位為正常水位上方2m處，汛期某天水位正好達(dá)到警戒水位，有一艘頂部高出水面3m，頂部寬(3)當(dāng)水位上漲到剛好淹沒小孔時(shí)，求出大孔的水面寬度EF．【變式1】（2023秋·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是拋物線形的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；(2)當(dāng)水面下降3米時(shí)，求水面寬增加了多少米？【變式2】（2023秋·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1．是某景區(qū)的一個(gè)標(biāo)志性建筑物——拱門觀光臺(tái)，拱門的形狀近似于拋物線，已知拱門的地面寬度為200米，兩側(cè)距地面高150米處各有一個(gè)觀光窗，兩窗的水平距離為100米，圖2是從實(shí)際拱門中得出的拋物線，請你結(jié)合數(shù)據(jù)，求出拱門的高度．【變式3】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）圖（1）是一座拱橋，圖（2）是以左側(cè)橋墩與水面接觸點(diǎn)為原點(diǎn)建立的平面直角坐標(biāo)系下，其拋物線形橋拱的示意圖，經(jīng)測量得水面寬度OB=20m，拱頂A到水面的距離為5(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)為迎接新年，管理部門在橋下以1.6m為水平距離對稱的懸掛了11個(gè)長為40cm的燈籠，中間的燈籠正好懸掛在A處，為了安全，要求燈籠的最低處到水面的距離不得小于1m考點(diǎn)3：拋擲型典例3：（2022秋·九年級(jí)單元測試）某運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，命中距地面距離為3.05米的籃圈中心，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=?15x2+3.5的一部分（如圖），球運(yùn)行的最高點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)員的水平距離是2.5【變式1】（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）原地正面擲實(shí)心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場考試的選考項(xiàng)目之一，實(shí)心球被擲出后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，實(shí)心球從出手到落地的過程中，它的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（小明訓(xùn)練時(shí)，實(shí)心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m012345豎直高度y/m1.82.432.883.153.243.15根據(jù)上述數(shù)據(jù)，解決下列問題：(1)直接寫出實(shí)心球豎直高度的最大值是______；(2)求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a（(3)求實(shí)心球從出手到落地點(diǎn)的水平距離．【變式2】（2023秋·河南開封·九年級(jí)統(tǒng)考期末）雙手正面擲實(shí)心球是開封市中招體育考試的選考項(xiàng)目，如圖①是一名男生雙手正面擲實(shí)心球，實(shí)心球的行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出時(shí)起點(diǎn)高度為2m，當(dāng)水平距離為5m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)4m處．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)根據(jù)開封市中招體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（男生10.3m），即投擲過程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于10.30m，此項(xiàng)考試得分為滿分10分．該男生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請說明理由．（2≈1.4【變式3】（2023·河南三門峽·統(tǒng)考一模）如圖，在某中學(xué)的一場籃球賽中，李明在距離籃圈中心5.5m（水平距離）處跳起投籃，球出手時(shí)離地面2.2m，當(dāng)籃球運(yùn)行的水平距離為3m時(shí)達(dá)到離地面的最大高度4(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求籃球運(yùn)動(dòng)路線所在拋物線的函數(shù)解析式；(2)場邊看球的小麗認(rèn)為，李明投出的此球不能命中籃圈中心．請通過計(jì)算說明小麗判斷的正確性；(3)在球出手后，未達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，被防守隊(duì)員攔截下來稱為蓋帽．但球到達(dá)最高點(diǎn)后，處于下落過程時(shí)，防守隊(duì)員再出手?jǐn)r截，屬于犯規(guī)．在（1）的條件下，防守方球員張亮前來蓋帽，已知張亮的最大摸球高度為3.2m考點(diǎn)4：銷售利潤型典例4：（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）直播作為一種新的營銷方式，已經(jīng)被越來越多的人所接受．近年以來，許多特色農(nóng)產(chǎn)品隨著直播漫步“云端”，被銷售到全國各地．某農(nóng)戶在直播間銷售一種成本為10元/kg的農(nóng)產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該農(nóng)產(chǎn)品每天的銷售量y（kg）與銷售單價(jià)x（元）x≥10滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，設(shè)銷售這種商品每天的利潤為W（元）．(1)求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若銷售單價(jià)不低于15元/kg，且每天至少銷售140kg時(shí)，求W【變式1】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進(jìn)A、B兩種品牌的粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種品牌粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購進(jìn)A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費(fèi)用為7000元；第二次購進(jìn)A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費(fèi)用為8100元．(1)求A、B兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元；(2)當(dāng)B品牌粽子銷售價(jià)為每袋54元時(shí)，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進(jìn)行降價(jià)銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價(jià)每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低多少元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【變式2】（2022春·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）商場準(zhǔn)備采購一批特色商品，經(jīng)調(diào)查，用8000元采購A型商品的件數(shù)是用3000元采購B型商品的件數(shù)的2倍，一件A型商品的進(jìn)價(jià)比一件B型商品的進(jìn)價(jià)多1元．(1)求一件A型，B型商品的進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：將2件A型商品和1件B型商品捆綁成1件C型商品銷售情況較好．當(dāng)每件C型商品的售價(jià)是20元時(shí)，每天可以銷售500件；當(dāng)售價(jià)每漲價(jià)1元，每天少銷售10件．設(shè)每件C型商品的售價(jià)是x元（x≥20且x為整數(shù)），每天的利潤是w元，求w關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)在（2）條件下，由于物價(jià)局限定，每件C型商品的售價(jià)不得超過30元，求商場每天銷售C型商品的最大利潤．【變式3】（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價(jià)格購進(jìn)一批山野菜，市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價(jià)每千克不高于28元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：每千克售價(jià)x（元）……202224……日銷售量y（千克）……666054……(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為多少元時(shí)，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？考點(diǎn)5：動(dòng)點(diǎn)型典例5：（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)沿邊AC向C以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)沿邊BC向B以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C、B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）①當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，t的值為；②設(shè)P、C之間的距離為y，則y與t滿足關(guān)系（填“正比例函數(shù)”、“一次函數(shù)”或“二次函數(shù)”）；（2）設(shè)△PCQ的面積為S．①求S的表達(dá)式（用含t的式子表示）；②求當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，這個(gè)最大值是多少？【變式1】（2023秋·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PQ⊥AC與Q，當(dāng)點(diǎn)P不與A、B重合時(shí)，以線段PQ為邊向右作長方形PQMN，使PN=2PQ．設(shè)長方形PQMN與△ABC的重疊面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(1)用含t的代數(shù)式表示線段BP的長度．(2)連接CP，當(dāng)CP平分△ABC的面積時(shí)，求出t的值．(3)當(dāng)點(diǎn)N落在BC邊上時(shí)，求t的值．(4)用含t的代數(shù)式表示S．【變式2】（2022春·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線y=?x2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，圖象的對稱軸為直線x=?1.連接AC，有一動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)D（1）求AB的長度；（2）連接AE、CE，當(dāng)ΔACE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)m為何值時(shí)，ΔADF與ΔCDE相似．【變式3】（2023秋·天津河西·九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．P、Q分別從A、B(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長度等于5cm(2)求出SΔBPQ關(guān)于t的函數(shù)解析式，計(jì)算P、Q出發(fā)幾秒時(shí)，同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在體育選項(xiàng)報(bào)考前，某九年級(jí)學(xué)生對自己某次實(shí)心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行高度y(米)與水平距離x(米)之間的關(guān)系為y=?112xA．6米 B．10米 C．12米 D．15米2．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，點(diǎn)E，G同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別以每秒12A． B． C． D．3．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線y=xA．1.5 B．2 C．2.5 D．34．（2022秋·九年級(jí)單元測試）長為20cm，寬為10cm的矩形，四個(gè)角上剪去邊長為xcm的小正方形，然后把四邊折起來，作成底面為ycm2的無蓋的長方體盒子，則y與xA．y=(10?x)(20?x)(0<x<5) B．y=10×20?4C．y=(10?2x)(20?2x)(0<x<5) D．y=200+45．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）用總長為a米的材料做成如圖1所示的矩形窗框，設(shè)窗框的寬為x米，窗框的面積為y平方米，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2，則a的值是（

）A．16 B．12 C．8 D．46．（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元（20≤x≤30，且x為整數(shù)）出售，可賣出30?x件，要使利潤最大，每件的售價(jià)應(yīng)為（

）A．24元 B．25元 C．28元 D．30元7．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)鄭州中學(xué)?？计谀┤鐖D，DE是邊長為4的等邊△ABC的中位線，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度，從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD?DE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度，從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,B,D,P,Q四點(diǎn)圍成圖形的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)圖象是（A．B．C． D．8．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在羽毛球比賽中，某次羽毛球的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線y=－x2+bx+c的一部分（如圖），其中出球點(diǎn)B離地面O點(diǎn)的距離是1m，球落地點(diǎn)A到O點(diǎn)的距離是3m，那么這條拋物線的解析式是（

）A．y=－x2+83x+1 B．y=－x2+83C．y=－x2－83x+1 D．y=－x2－83二、填空題9．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出(100?x)件，當(dāng)出售價(jià)格是__________元時(shí)，才能使利潤最大．10．（2023秋·江蘇蘇州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若用16m長的籬笆圍成長方形的生物園來飼養(yǎng)動(dòng)物，則生物園的最大面積為_______．11．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某工廠有一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20萬件，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，那么y與x之間的關(guān)系應(yīng)表示為_____．12．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）隨著新冠疫情逐漸好轉(zhuǎn)，某口罩廠將減少口罩的出廠量，6月份的出廠量為20000只，若口罩出廠量每月下降百分率為x，8月份的出廠量為y只，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為___．13．（2023秋·寧夏銀川·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，一拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2米時(shí)，水面寬度為4米；那么當(dāng)水位下降3米時(shí)，水面的寬度為_______米？14．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線y=?0.2x2+x+2.25運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m，則他距籃筐中心的水平距離15．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，得到某種運(yùn)動(dòng)服每月的銷量與售價(jià)的相關(guān)信息如下表：售價(jià)（元/件）100110120130…月銷量（件）200180160140…已知該運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)為每件60元，設(shè)售價(jià)為x（x≥100）元，則月銷量是___________件，銷售該運(yùn)動(dòng)服的月利潤為___________元（用含x的式子表示）.16．（2023秋·廣東·九年級(jí)華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校校考期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y＝x2﹣4x+6上運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對角線作矩形ABCD，則對角線BD的最小值為_____．三、解答題17．（2022秋·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，網(wǎng)上購物備受消費(fèi)者青睞，某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當(dāng)售價(jià)為每條80元時(shí)，每月可銷售100條，為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價(jià)措施．據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價(jià)每降1元，則每月可多銷售5條．設(shè)每條褲子的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每月的銷售量為y條．(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)該網(wǎng)店每月獲得的利潤為w元，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每月獲得的利潤最大？最大利潤是多少？18．（2022秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過直線y=?x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B．此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C1求此拋物線的解析式；2若點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M．使ΔACM與ΔABC的面積相等?若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．19．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-2,0），B（0，m）兩點(diǎn)，且線段AB=25，以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（2）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）如果在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P（a，3），使得△ABP的面積與正方形ABCD的面積相等，求a的值．20．（2023秋·全國·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平移拋物線y=x2﹣2x+3，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），且與y軸交于點(diǎn)B，同時(shí)滿足以A，O，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，求平移后的拋物線的解析式．21．（2023·河南南陽·二模）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作射線CG，使CG∥AB，連接ED并延長交CG于點(diǎn)F，連接AF．設(shè)A、E兩點(diǎn)間的距離為xcm，E、F兩點(diǎn)間的距離為ycm．小亮根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對因變量y隨自變量x變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．（如需作圖或作輔助線，請先將原題草圖畫在對應(yīng)題目的答題區(qū)域后再作答．）下面是小亮的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）列表：如表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)A、E兩點(diǎn)間的距離x進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，分別得到了x與y的幾組對應(yīng)值：x/cm0123456y/cm9.497.625.833.163.164.24請你通過計(jì)算補(bǔ)全表格；（2）描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出剩余的點(diǎn)（x，y），并畫出函數(shù)y關(guān)于x的圖象；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，當(dāng)E、F兩點(diǎn)間的距離y最小時(shí)，A、E兩點(diǎn)間的距離約為cm；（4）解決問題：當(dāng)EF﹣AE＝2時(shí)，BE的長度大約是cm．（結(jié)果保留1位小數(shù)）22．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）用一塊邊長為60㎝的正方形薄鋼片制作一個(gè)長方體盒子：如果要做成一個(gè)沒有蓋的長方體盒子,可先在薄鋼片的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，如圖(1),然后把四邊折合起來，如圖(2)（1）求做成的盒子底面積y(㎝2)與截去小正方形邊長x(㎝)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)做成的盒子的底面積為900㎝2時(shí),試求該盒子的容積.23．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）某商場銷售一批名牌襯衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件襯衫降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件．若商場想平均每天盈利達(dá)1200元，那么每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？你若是商場經(jīng)理，為獲得最大利潤，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元，此時(shí)最大利潤是多少？24．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)校打算用16m的籬笆圍成一個(gè)長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一邊利用墻，如圖所示，墻長為9m．（1）若生物園的面積是30m2，求生物園一邊AB的長；（2）若要使圍成的長方形生物園面積最大，問如何設(shè)計(jì)該生物園的長和寬？25．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）某件產(chǎn)品的成本是每件10元，試銷售階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表所示．x/元15203035y/件2520105(1)觀察以上數(shù)據(jù)，根據(jù)我們所學(xué)到的一次函數(shù)、二次函數(shù)，回答：y是x的什么函數(shù)？并求出解析式．(2)要使得每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少？此時(shí)每日的銷售利潤是多少？26．（2023春·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物，如圖1所示，大門地面寬AB=4m，頂部C離地面高度為4.8(1)在圖②所建立的平面直角坐標(biāo)系xOy中，求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)有一輛運(yùn)貨卡車高2.6m，寬2.427．（2022秋·吉林·九年級(jí)期末）某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為30元的蘋果梨．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：平均每天銷售量y（箱）與每箱銷售價(jià)x（元）之間的關(guān)系為y=?2x+160．（1）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w（元）與x之間的函數(shù)解析式．（2）該批發(fā)商每天要想獲得1200元的利潤，每箱銷售價(jià)x應(yīng)該定為多少元？（3）每箱銷售價(jià)x定為_____元時(shí)，平均每天的銷售利潤最大，最大利潤是_____元．28．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如今我國的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟．小明家的菜地上有一個(gè)長為16米的蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體B處，現(xiàn)對其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．已知大棚上某處離地面的高度y（米）與其離墻體A的水平距離x（米）之間的關(guān)系滿足y=?16x2+bx+c圖2（1）直接寫出b，c的值；（2）求大棚的最高處到地面的距離；（3）小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為372429．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）我市某工藝廠設(shè)計(jì)了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷．經(jīng)過調(diào)查，得到如表數(shù)據(jù)：（1）上表中x、y的各組對應(yīng)值滿足一次函數(shù)關(guān)系，請求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）物價(jià)部門規(guī)定，該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過45元/件：①銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？②該工藝廠積極投入到慈善事業(yè)，它將該工藝品每件銷售利潤中抽取2元捐贈(zèng)給我市的公共衛(wèi)生事業(yè)，并且捐款后每天的利潤不低于7600元，則工藝廠每天從這件工藝品的利潤中最多可捐出多少元？30．（2022·遼寧錦州·中考真題）某商場新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

專題06實(shí)際問題與二次函數(shù)考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）實(shí)際問題類型（1）幾何面積型（2）拱橋型（3）拋擲型（4）銷售利潤型（5）動(dòng)點(diǎn)型考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：幾何面積型典例1：（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，用總長為40m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖雞棚，墻長為25(1)如果這個(gè)矩形雞棚與墻平行的一邊BC長為am，求雞棚與墻垂直的一邊AB的長（用含a(2)設(shè)雞棚與墻垂直的一邊AB的長為xm，求這個(gè)矩形雞棚面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍(3)試探索，這個(gè)矩形雞棚的面積S能否等于250m2，若可以，求出此時(shí)【答案】(1)AB=(2)S=?2x2(3)這個(gè)矩形雞棚的面積S不能等于250【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）由題意可知BC=40?2x（3）由（2）及根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：由題意得：AB=40?a（2）解：由題意得：S=x40?2x∵0<40?2x≤25，∴7.5≤x<20；（3）解：由（2）可知：?2x化簡得x2∵Δ=∴該方程無實(shí)數(shù)解，即這個(gè)矩形雞棚的面積S不能等于250m【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把一塊長100m，寬60m的矩形空地建成停車場，設(shè)計(jì)方案如圖所示，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)（四塊綠化區(qū)為全等的矩形），空白區(qū)域?yàn)橥＼囄?，且四周?個(gè)出口寬度相同，其寬度不小于28m，不大于52m．設(shè)綠化區(qū)較長邊為x(1)直接寫出：①用含x的式子表示出口的寬度為；②y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍．(2)求停車場的面積y的最大值；(3)預(yù)計(jì)停車場造價(jià)為100元/m2，綠化區(qū)造價(jià)為50元/m2．如果停車場投資不得超過540000元建造，直接寫出【答案】(1)①100?2x；②y=?4(2)當(dāng)x=24時(shí)，y有最大值為5616(3)30≤x≤36【分析】（1）①根據(jù)矩形空地的長等于兩塊綠化區(qū)的長加上出口寬度，列代數(shù)式即可；②先利用矩形空地的寬等于出口寬度加上兩塊綠化區(qū)的寬，求出綠化區(qū)的寬，再利用矩形空地的面積減去四塊綠化區(qū)的面積即可得解；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可；（3）根據(jù)題意，列出不等式，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：①由圖可知：矩形空地的長等于，兩塊綠化區(qū)的長加上出口寬度，∴出口寬度為：100?2x；故答案為：100?2x；②由題意得：綠化區(qū)的寬為：60?100?2x∴y=100×60?4×xx?20∵x?20>0，∴x>20；又∵28≤100?2x≤52，∴24≤x≤36，∴y=?4x（2）解：y=?4x2∵a=?4，開口向下，對稱軸為直線x=10，當(dāng)24≤x≤36，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=24時(shí)，y有最大值為5616．（3）解：由題意得：100×?4整理得：x2∴x?30x+10∴x≥30或x≤?10（舍），∵24≤x≤36，∴30≤x≤36．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意結(jié)合圖形，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+3x+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?2,0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0,8)，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CP,PB，直線BC與拋物線的對稱軸l(1)求拋物線的解析式；(2)求直線BC的解析式；(3)求△BCP的面積最大值．【答案】(1)拋物線的解析式為y=?(2)y=?x+8(3)△BCP的面積最大值為32【分析】（1）把點(diǎn)A(?2,0)，C(0,8)代入拋物線，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)拋物線的解析式，令y=0，可求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（3）如圖所示，過點(diǎn)P作PG∥y軸交BC于G，設(shè)Pt,?12t2+3t+8，則【詳解】（1）解：將A(?2,0)，C(0,8)代入y=ax∴4a?6+c=0c=8，解得a=?∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：令y=0，則?12x2+3x+8=0∴B(8,0)，且C(0,8)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∴b=88k+b=0，解得k=?1∴直線BC的解析式為y=?x+8．（3）解：如圖所示，過點(diǎn)P作PG∥y軸交BC于G，設(shè)Pt,?12∴PG=?1∴S△CBP∴當(dāng)t=4時(shí)，△BCP的面積有最大值，最大值為32，∴△BCP的面積最大值為32．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，一次函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，函數(shù)圖像的性質(zhì)特點(diǎn)及面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，用60m長的護(hù)欄全部建造一個(gè)靠墻（墻的長度不限）的矩形養(yǎng)牛場，已知此矩形養(yǎng)牛場的面積為ym2(1)此矩形與墻平行的邊長為m（用x來表示）；(2)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出此矩形面積的最大值；(3)如圖2，若建造矩形養(yǎng)牛場時(shí)，在平行于墻的一邊上留了aa>0m的距離便于出入（不占用護(hù)欄材料），當(dāng)15≤x≤20時(shí)，該矩形的最大面積為512m【答案】(1)60?2x(2)450(3)4【分析】（1）將60m長的護(hù)欄減去2x（2）根據(jù)矩形的面積定義長乘以寬，即可求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求出矩形面積的最大值；（3）先求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，再求出0≤a≤20，由矩形的最大面積為512m2，得0?60+a【詳解】（1）解：由題意得：此矩形與墻平行的邊長為60?2xm故答案為：60?2x（2）y=x60?2x∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y=?2x?15（3）y=x60?2x+a二次函數(shù)的對稱軸x=?60+a∵15≤x≤20，∴15≤60+a∴0≤a≤20，∵矩形的最大面積為512m∴0?解得：a=4或a=?124（舍去），∴a=4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，根據(jù)題意正確得出函數(shù)關(guān)系式并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：拱橋型典例2：（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，左右兩個(gè)拋物線形是全等的，正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB為20m，頂點(diǎn)M距水面6m（即MO=6m），小孔頂點(diǎn)N距水面4.5(1)求出大孔拋物線的解析式；(2)航管部門設(shè)定警戒水位為正常水位上方2m處，汛期某天水位正好達(dá)到警戒水位，有一艘頂部高出水面3m，頂部寬(3)當(dāng)水位上漲到剛好淹沒小孔時(shí)，求出大孔的水面寬度EF．【答案】(1)y=?(2)能安全通過大孔，理由見解析(3)10【分析】（1）用待定系數(shù)法即可得大孔拋物線的解析式；（2）求出x=2時(shí)y的值，與2+3作比較即可；（3）求出點(diǎn)E、F坐標(biāo)，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)大孔拋物線的解析式為y=ax把點(diǎn)A?10,0代入解析式得：解得：a=?3∴大孔拋物線的解析式為y=?3（2）∵大孔拋物線的解析式為y=?3當(dāng)x=2時(shí)，y=?3∴該巡邏船能安全通過大孔；（3）∵NC=4.5，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為4.5，∴當(dāng)y=4.5時(shí)，得?3解得：x1=5，∴由拋物線對稱性可知點(diǎn)為E?5,4.5，點(diǎn)F為5,4.5∴EF=5??5答：大孔的水面寬度EF為10m【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，準(zhǔn)確找出模型類型，然后利用待定系數(shù)法求出模型（即函數(shù)）的表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是拋物線形的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；(2)當(dāng)水面下降3米時(shí)，求水面寬增加了多少米？【答案】(1)y=?(2)2【分析】（1）首先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線為y=ax2，把點(diǎn)（2）將y=?5代入（1）中解析式，解方程即可求解．【詳解】（1）解：如圖，以拱頂為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)這條拋物線為y=ax結(jié)合題意，將點(diǎn)(2,?2)代入，得?2=2解得a=?1∴y=?1（2）若水面下降3米，即當(dāng)y=?5時(shí)，可有?5=?12x此時(shí)水面寬度為10?(?∴水面下降3米，水面寬度增加(210【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，熟練運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題．【變式2】（2023秋·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1．是某景區(qū)的一個(gè)標(biāo)志性建筑物——拱門觀光臺(tái)，拱門的形狀近似于拋物線，已知拱門的地面寬度為200米，兩側(cè)距地面高150米處各有一個(gè)觀光窗，兩窗的水平距離為100米，圖2是從實(shí)際拱門中得出的拋物線，請你結(jié)合數(shù)據(jù)，求出拱門的高度．【答案】200米【分析】以CD的中垂線為y軸，CD所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出A、B、C、D坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再令x=0，求出y的值即可．【詳解】解：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系．此時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)為C(-100,0),

D(100,0)．設(shè)這條拋物線的解析式為y=a(x?100)(x+100)∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(50,150)，)可得150=a(50?100)(50+100)解得a=?150∴y=?1頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，200）∴拱門的最大高度為200米．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，根據(jù)題意正確的建立坐標(biāo)軸可使問題簡單化，解題關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)軸和熟練掌握待定系數(shù)法求解析式．【變式3】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）圖（1）是一座拱橋，圖（2）是以左側(cè)橋墩與水面接觸點(diǎn)為原點(diǎn)建立的平面直角坐標(biāo)系下，其拋物線形橋拱的示意圖，經(jīng)測量得水面寬度OB=20m，拱頂A到水面的距離為5(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)為迎接新年，管理部門在橋下以1.6m為水平距離對稱的懸掛了11個(gè)長為40cm的燈籠，中間的燈籠正好懸掛在A處，為了安全，要求燈籠的最低處到水面的距離不得小于1m【答案】(1)y=?(2)現(xiàn)在的懸掛方式是安全的，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意得：頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為10,5，可設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=ax?102+5（2）根據(jù)題意可得最右側(cè)燈籠懸掛點(diǎn)到點(diǎn)A的水平距離，從而得到它的橫坐標(biāo)為10?8=2，再代入（1）中解析式，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為10,5，∴令拋物線的表達(dá)式為：y=ax?10將點(diǎn)0,0代入得：0=100a+5，解得：a=?1∴y=?（2）解：由題意得：最右側(cè)燈籠懸掛點(diǎn)到點(diǎn)A的水平距離為：1.6×5=8m所以它的橫坐標(biāo)為10?8=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=?1因?yàn)?.8?0.4?0.3=1.1>1，所以現(xiàn)在的懸掛方式是安全的．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：拋擲型典例3：（2022秋·九年級(jí)單元測試）某運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，命中距地面距離為3.05米的籃圈中心，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=?15x2+3.5的一部分（如圖），球運(yùn)行的最高點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)員的水平距離是2.5【答案】4米【分析】在已知解析式中，求出y=3.05時(shí)x的值，根據(jù)圖象，舍去不合題意的值，將求出的x與2.5相加即可．【詳解】解：把y=3.05代入y=?15x解得：x1=1.5，∴l(xiāng)=1.5+2.5=4米．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）原地正面擲實(shí)心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場考試的選考項(xiàng)目之一，實(shí)心球被擲出后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，實(shí)心球從出手到落地的過程中，它的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（小明訓(xùn)練時(shí)，實(shí)心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m012345豎直高度y/m1.82.432.883.153.243.15根據(jù)上述數(shù)據(jù)，解決下列問題：(1)直接寫出實(shí)心球豎直高度的最大值是______；(2)求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a（(3)求實(shí)心球從出手到落地點(diǎn)的水平距離．【答案】(1)3.24；(2)y=?0.09x?4(3)10米；【分析】（1）利用拋物線的對稱性求得對稱軸，再根據(jù)開口方向即可解答；（2）由表格數(shù)據(jù)得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再將(0，（3）在函數(shù)關(guān)系中令y=0，解一元二次方程方程即可；【詳解】（1）解：由表格數(shù)據(jù)可得當(dāng)x=3和x=5時(shí)，其函數(shù)值y相同，∴二次函數(shù)的對稱軸為x=3+5∵函數(shù)y=a（∴函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，∴實(shí)心球豎直高度的最大值是3.24；故答案為：3.24（2）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax?4將點(diǎn)(0，1.8)代入，得解得a=?0.09，∴拋物線的表達(dá)式為y=?0.09x?4（3）解：令y=0，則?0.09x?4解得：x1=10，答：實(shí)心球從出手到落地點(diǎn)的水平距離為10米．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握其頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x??）【變式2】（2023秋·河南開封·九年級(jí)統(tǒng)考期末）雙手正面擲實(shí)心球是開封市中招體育考試的選考項(xiàng)目，如圖①是一名男生雙手正面擲實(shí)心球，實(shí)心球的行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出時(shí)起點(diǎn)高度為2m，當(dāng)水平距離為5m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)4m處．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)根據(jù)開封市中招體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（男生10.3m），即投擲過程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于10.30m，此項(xiàng)考試得分為滿分10分．該男生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請說明理由．（2≈1.4【答案】(1)y=?(2)該男生在此項(xiàng)考試中得滿分，理由見解析【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax?52+4（2）令y=0，解一元二次方程，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，設(shè)拋物線解析式為y=ax?52+42=25a+4，解得：a=?2∴解析式為：y=?2（2）解：令y=0，即?解得：x1=5?52（舍去），x∴該男生在此項(xiàng)考試中得滿分．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·河南三門峽·統(tǒng)考一模）如圖，在某中學(xué)的一場籃球賽中，李明在距離籃圈中心5.5m（水平距離）處跳起投籃，球出手時(shí)離地面2.2m，當(dāng)籃球運(yùn)行的水平距離為3m時(shí)達(dá)到離地面的最大高度4(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求籃球運(yùn)動(dòng)路線所在拋物線的函數(shù)解析式；(2)場邊看球的小麗認(rèn)為，李明投出的此球不能命中籃圈中心．請通過計(jì)算說明小麗判斷的正確性；(3)在球出手后，未達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，被防守隊(duì)員攔截下來稱為蓋帽．但球到達(dá)最高點(diǎn)后，處于下落過程時(shí)，防守隊(duì)員再出手?jǐn)r截，屬于犯規(guī)．在（1）的條件下，防守方球員張亮前來蓋帽，已知張亮的最大摸球高度為3.2m【答案】(1)y=?(2)小麗的判斷是正確的，計(jì)算過程見解析(3)張亮應(yīng)在李明前面1米范圍內(nèi)處跳起攔截才能蓋帽成功【分析】（1）由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,4，球出手時(shí)的坐標(biāo)為0,2.2，設(shè)拋物線的解析式為y=ax?3（2）求得當(dāng)x=5.5時(shí)的函數(shù)值，與3.05比較即可說明小麗判斷的正確性；（3）將y=3.2代入函數(shù)的解析式求得x的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,4，∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax?3把0,2.2代入，得a=?1∴y=?1（2）把x=5.5代入拋物線解析式y(tǒng)=?得y=11∵11∴此球不能投中，小麗的判斷是正確的．（3）當(dāng)y=3.2時(shí)，3.2=?1解之，得x=1或x=5．∵5>3，∴x=1．答：張亮應(yīng)在李明前面1米范圍內(nèi)處跳起攔截才能蓋帽成功．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：銷售利潤型典例4：（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）直播作為一種新的營銷方式，已經(jīng)被越來越多的人所接受．近年以來，許多特色農(nóng)產(chǎn)品隨著直播漫步“云端”，被銷售到全國各地．某農(nóng)戶在直播間銷售一種成本為10元/kg的農(nóng)產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該農(nóng)產(chǎn)品每天的銷售量y（kg）與銷售單價(jià)x（元）x≥10滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，設(shè)銷售這種商品每天的利潤為W（元）．(1)求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若銷售單價(jià)不低于15元/kg，且每天至少銷售140kg時(shí)，求W【答案】(1)W=(2)2500元【分析】（1）先求出當(dāng)10≤x≤20時(shí)，當(dāng)x>20時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)銷售每件的利潤乘以每天銷售量等于每天的總利潤，直接列式即可作答；（2）根據(jù)（1）W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)10≤x≤20時(shí)，y=200，此時(shí)W=x?10當(dāng)x>20時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，∵點(diǎn)20,200，25,180在該函數(shù)圖像上，∴20k+b=20025k+b=180，解得k=?4∴y與x的關(guān)系式為y=?4x+280，此時(shí)W=x?10∴W與x的關(guān)系式為W=200x?2000（2）解：由題可知x≥15?4x+280≥140∴15≤x≤35．①當(dāng)10≤x≤20，W=200x?2000，此時(shí)W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=20時(shí)，Wmax②當(dāng)20<x≤35，W=?4x∵a=?4<0，對稱軸為直線x=70+10∴當(dāng)x≤40時(shí)，W隨x的增大而增大．∴當(dāng)xmax=35時(shí)，∵2500>2000，答：W的最大值是2500元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知的等量關(guān)系列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進(jìn)A、B兩種品牌的粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種品牌粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購進(jìn)A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費(fèi)用為7000元；第二次購進(jìn)A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費(fèi)用為8100元．(1)求A、B兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元；(2)當(dāng)B品牌粽子銷售價(jià)為每袋54元時(shí)，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進(jìn)行降價(jià)銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價(jià)每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低多少元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元(2)當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低10元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組，即可求解；（2）設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低a元，利潤為w元，列出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是x元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)題意得，100x+150y=7000180x+120y=8100解得x=25y=30故A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元；（2）解：設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低a元，利潤為w元，根據(jù)題意得，w=54?a?30∵?5<0，∴當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低10元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式和二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）商場準(zhǔn)備采購一批特色商品，經(jīng)調(diào)查，用8000元采購A型商品的件數(shù)是用3000元采購B型商品的件數(shù)的2倍，一件A型商品的進(jìn)價(jià)比一件B型商品的進(jìn)價(jià)多1元．(1)求一件A型，B型商品的進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：將2件A型商品和1件B型商品捆綁成1件C型商品銷售情況較好．當(dāng)每件C型商品的售價(jià)是20元時(shí)，每天可以銷售500件；當(dāng)售價(jià)每漲價(jià)1元，每天少銷售10件．設(shè)每件C型商品的售價(jià)是x元（x≥20且x為整數(shù)），每天的利潤是w元，求w關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)在（2）條件下，由于物價(jià)局限定，每件C型商品的售價(jià)不得超過30元，求商場每天銷售C型商品的最大利潤．【答案】(1)一件A型商品的進(jìn)價(jià)為4元，則一件B型商品的進(jìn)價(jià)為3元；(2)w=-10x2+810x-7700；(3)7600元【分析】（1）設(shè)一件A型商品的進(jìn)價(jià)為x元，則一件B型商品的進(jìn)價(jià)為（x-1）元，根據(jù)“用8000元采購A型商品的件數(shù)是用3000元采購B型商品的件數(shù)的2倍，”列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意可得每件C型商品的進(jìn)價(jià)為2×4+3=11元，根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以數(shù)量，列出關(guān)系式，即可求解；（3）把函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．(1)解：設(shè)一件A型商品的進(jìn)價(jià)為x元，則一件B型商品的進(jìn)價(jià)為（x-1）元，根據(jù)題意得：8000x解得：x=4，經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原方程的解且符合題意；∴x-1=3，答：一件A型商品的進(jìn)價(jià)為4元，則一件B型商品的進(jìn)價(jià)為3元；(2)解：根據(jù)題意得：每件C型商品的進(jìn)價(jià)為2×4+3=11元，∴w=（x-11）[500-10（x-20）]=-10x2+810x-7700；(3)解：∵w=-10x2+810x-7700=?10x?40.5∴當(dāng)x≤40.5時(shí)，w隨x增大而增大，∴當(dāng)x=30時(shí)，w最大，最大值為7600．即每天銷售C型商品的最大利潤為7600元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價(jià)格購進(jìn)一批山野菜，市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價(jià)每千克不高于28元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：每千克售價(jià)x（元）……202224……日銷售量y（千克）……666054……(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為多少元時(shí)，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？【答案】(1)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+126(2)當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為28元時(shí)，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大，最大利潤為420元．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為w元，然后根據(jù)總利潤等于每千克的利潤×銷售量，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由表中數(shù)據(jù)得：20k+b=6622k+b=60解得：k=?3b=126∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+126；（2）設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為w元，由題意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，∵市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價(jià)每千克不高于28元，∴18≤x≤28，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＜30時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝28時(shí)，w最大，最大值為420，∴當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為28元時(shí)，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大，最大利潤為420元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)．考點(diǎn)5：動(dòng)點(diǎn)型典例5：（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)沿邊AC向C以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)沿邊BC向B以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C、B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）①當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，t的值為；②設(shè)P、C之間的距離為y，則y與t滿足關(guān)系（填“正比例函數(shù)”、“一次函數(shù)”或“二次函數(shù)”）；（2）設(shè)△PCQ的面積為S．①求S的表達(dá)式（用含t的式子表示）；②求當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，這個(gè)最大值是多少？【答案】（1）①2；②一次函數(shù)；（2）①S=?6t2+12t；②【分析】（1）①根據(jù)P、Q運(yùn)動(dòng)速度，以及AC、BC的長度，即可求解；②求得y與t的關(guān)系式，即可求解；（2）①求得線段PC、CQ的長度，即可求得S的表達(dá)式；②根據(jù)表達(dá)式可得S與t為二次函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）①運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，P、Q分別到達(dá)終點(diǎn)C點(diǎn)和B點(diǎn)，t=6÷3=2(s)故答案為2②由題意可得：AP=3t，PC=AC?AP=6?3t，即y=6?3t，∴y與t滿足一次函數(shù)的關(guān)系故答案為一次函數(shù)（2）①由題意可得：AP=3t，CQ=4tPC=AC?AP=6?3t△PCQ的面積S=故答案為：S=?6②由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：a=?6<0，開口向下，對稱軸為t=1∴當(dāng)t=1時(shí)，S取得最大值，最大值為6【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，涉及了正比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，理解題意，找到題中的等量關(guān)系．【變式1】（2023秋·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PQ⊥AC與Q，當(dāng)點(diǎn)P不與A、B重合時(shí)，以線段PQ為邊向右作長方形PQMN，使PN=2PQ．設(shè)長方形PQMN與△ABC的重疊面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(1)用含t的代數(shù)式表示線段BP的長度．(2)連接CP，當(dāng)CP平分△ABC的面積時(shí)，求出t的值．(3)當(dāng)點(diǎn)N落在BC邊上時(shí)，求t的值．(4)用含t的代數(shù)式表示S．【答案】(1)5(2)5(3)5(4)S=【分析】（1）利用勾股定理求出AB，利用線段和差定義求出PB即可；（2）當(dāng)CP平分△ABC面積時(shí)，AP=PB，列出關(guān)于t的方程，求解即可；（3）根據(jù)AQ+QM=AB，構(gòu)建方程求出t即可；（4）分兩種情形：當(dāng)0<t≤53時(shí)，當(dāng)【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5cm∴AB=A∵AP=2∴PB=AB?AP=(52（2）解：當(dāng)CP平分△ABC面積時(shí)，AP=PB，∵AP=2t（cm），∴2t=5∴t=5（3）解：當(dāng)點(diǎn)N落在BC邊上時(shí)，AQ+QM=AB=5（cm），∵∠ACB=90°，AC=BC=5cm，PQ⊥AC，∴∠AQP=90°，∠A=45∵AP=2∴AQ=t，QM=2t，∴t+2t=5，∴t=5（4）解：當(dāng)0<t≤53時(shí)，當(dāng)53<t<5時(shí)，綜上所述，S=2【點(diǎn)晴】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．【變式2】（2022春·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線y=?x2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，圖象的對稱軸為直線x=?1.連接AC，有一動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)D（1）求AB的長度；（2）連接AE、CE，當(dāng)ΔACE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)m為何值時(shí)，ΔADF與ΔCDE相似．【答案】（1）AB=4；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為?32,?32+3，即?3【分析】（1）根據(jù)對稱軸求出b，得到拋物線解析式y(tǒng)=?x2?2x+3，令y=0，求出A(?3,0)（2）先求出直線AC關(guān)系式為y=x+3，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,m+3)，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為m,?m2?2m+3（3）連EF，分CE//AF時(shí)，ΔADF∽ΔCDE，和當(dāng)【詳解】（1）∵對稱軸x=?b∴b=?2，∴y=?當(dāng)y=0時(shí)，?x2?2x+3=0，解得x即A(?3,0)，B(1,0)，∴AB=1?(?3)=4.（2）經(jīng)過點(diǎn)A(?3,0)和C(0,3)的直線AC關(guān)系式為y=x+3，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,m+3).在拋物線上的點(diǎn)E的坐標(biāo)為m,?m∴DE=?∴S=1當(dāng)m=??922×?∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為?32,?（3）連EF，情況一：如圖，當(dāng)CE//AF時(shí)，當(dāng)y=3時(shí)，?x2?2x+3=3，解得x∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為－2，即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－2，∴m=?2情況二：∵點(diǎn)A(?3,0)和C(0,3)，∴OA=OC，即∠OAC=45°.如圖，當(dāng)ΔADF∽ΔEDC時(shí)，∠OAC=∠CED=45°，∠AFD=∠DCE=90°，即ΔEDC為等腰直角三角形，過點(diǎn)C作CG⊥DE，即點(diǎn)CG為等腰RtΔEDC∴DE=2CG=?2mDF=m+3，∴EF=DE+DF，即?m解得m=1，m=0（舍去）綜述所述，當(dāng)m=?1或－2時(shí)，ΔADF與ΔCDE相似．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角形的面積公式及相似三角形的判定定理．【變式3】（2023秋·天津河西·九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．P、Q分別從A、B(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長度等于5cm(2)求出SΔBPQ關(guān)于t的函數(shù)解析式，計(jì)算P、Q出發(fā)幾秒時(shí)，【答案】(1)當(dāng)t為2秒時(shí)，PQ的長度等于5cm．(2)S△BPQ=?t2+5t；P、Q出發(fā)5【分析】（1）由題意得：AP=tcm，BQ=2tcm，根據(jù)AB=5cm得PB=AB?AP=(5?t)cm，在Rt△PBQ中，根據(jù)勾股定理得，P由（1）知：AP=tcm，BQ=2tcm，（2）根據(jù)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，則另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)得0≤t≤50≤2t≤7，即可得0≤t≤72，則S【詳解】（1）解：由題意得：AP=tcm，BQ=2tcm，∵AB=5cm，∴PB=AB?AP=(5?t)cm，在Rt△PBQ中，根據(jù)勾股定理得，P∴(5?t)225?10t+55解得：t=2或t=0（不合題意，舍去），∴t=2．答：當(dāng)t為2秒時(shí)，PQ的長度等于5cm（2）解：由（1）知：AP=tcm，BQ=2tcm，∵當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，則另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤t≤50≤2t≤7∴0≤t≤7∴S△BPQ∴S△BPQ關(guān)于t的函數(shù)解析式為S∴S∵?1<0，∴當(dāng)t=52秒時(shí)，SΔ即P、Q出發(fā)52秒時(shí)，SΔBPQ【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，一元一次不等式組，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在體育選項(xiàng)報(bào)考前，某九年級(jí)學(xué)生對自己某次實(shí)心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行高度y(米)與水平距離x(米)之間的關(guān)系為y=?112xA．6米 B．10米 C．12米 D．15米【答案】B【分析】根據(jù)鉛球落地時(shí)，高度y=0，把實(shí)際問題理解為當(dāng)y=0時(shí)，求x的值即可；【詳解】鉛球落地時(shí)高度為0，即當(dāng)y=0時(shí)，?1解得x1=10，x2=-2（舍去），所以該生此次實(shí)心球訓(xùn)練的成績?yōu)?0米，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中，函數(shù)式中自變量與函數(shù)表達(dá)的實(shí)際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．2．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，點(diǎn)E，G同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別以每秒12A． B． C． D．【答案】B【分析】分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8三個(gè)時(shí)間段求出函數(shù)解析式即可確定其圖象.【詳解】解：①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，y=14x2②當(dāng)4＜x≤8時(shí)，y=12×4×4-2×12×（4-12x）2=?③當(dāng)x＞8時(shí)，y=8，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題中有關(guān)圖形面積的函數(shù)圖象，靈活的表示出圖形的面積與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.3．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線y=xA．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【分析】先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，利用對稱可得點(diǎn)A'橫坐標(biāo)，代入y=【詳解】解：令y=0得x2+x=0解得x∴A(?1,0)∵點(diǎn)B是y軸的正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)A?恰好落在拋物線上∴A當(dāng)x=1時(shí)，y=2所以點(diǎn)A?的縱坐標(biāo)為2.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像，熟練利用函數(shù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.4．（2022秋·九年級(jí)單元測試）長為20cm，寬為10cm的矩形，四個(gè)角上剪去邊長為xcm的小正方形，然后把四邊折起來，作成底面為ycm2的無蓋的長方體盒子，則y與xA．y=(10?x)(20?x)(0<x<5) B．y=10×20?4C．y=(10?2x)(20?2x)(0<x<5) D．y=200+4【答案】C【分析】利用現(xiàn)有一塊長20cm、寬10cm的矩形，將它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長為xcm的小正方形，則底面長與寬均減少2xcm，表示出無蓋的長方體盒子底邊的長，進(jìn)而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：設(shè)小正方形邊長為xcm，由題意知：現(xiàn)在底面長為（20-2x）cm，寬為（10-2x）cm，則y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，表示出長方體盒子底邊的長與寬是解題關(guān)鍵．5．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）用總長為a米的材料做成如圖1所示的矩形窗框，設(shè)窗框的寬為x米，窗框的面積為y平方米，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2，則a的值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】因?yàn)閤=2時(shí)，面積最大，為4，根據(jù)圖形是矩形，由面積公式易得長為2米，從而得出a的值．【詳解】解：由圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大，最大值為4，∴當(dāng)x=2米，窗框的最大面積是4平方米，根據(jù)矩形面積計(jì)算公式，矩形的長為4÷2=2（米），∴材料總長a=2×3+2×3=12（米）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．從圖象中獲取相關(guān)信息解決問題是學(xué)習(xí)函數(shù)的基本功，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．6．（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元（20≤x≤30，且x為整數(shù)）出售，可賣出30?x件，要使利潤最大，每件的售價(jià)應(yīng)為（

）A．24元 B．25元 C．28元 D．30元【答案】B【分析】設(shè)利潤為w根據(jù)利潤等于利潤單價(jià)乘以數(shù)量列出函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解即可得到答案；【詳解】解：設(shè)利潤為w，由題意可得，w=(x?20)(30?x)=?x∵?1<0，20≤x≤30，∴當(dāng)x=25時(shí)w最大，故選B；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解決銷售利潤問題中最值問題，解題的關(guān)鍵是列出函數(shù)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解．7．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)鄭州中學(xué)?？计谀┤鐖D，DE是邊長為4的等邊△ABC的中位線，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度，從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD?DE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度，從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,B,D,P,Q四點(diǎn)圍成圖形的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)圖象是（A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在AD上，根據(jù)三角形的面積公式可知△BPQ的面積，代入數(shù)據(jù)求出S與t之間的函數(shù)解析式；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在DE上，根據(jù)圖形的面積公式可知梯形BDPQ的面積，代入數(shù)據(jù)求出S與t之間的函數(shù)解析式，從而判斷出函數(shù)圖象而得解．【詳解】解：∵DE是邊長為4的等邊△ABC的中位線，∴AD=DB=DE=2，AB=4，∠B=60°．分兩種情況：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在AD上，∵AP=BQ=t，∴BP=AB-AP=4-t，BQ邊上的高h(yuǎn)=32∴△BPQ的面積S=12BQ?h=12t?32②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在DE上，∴DP=t-2，BQ=t，BQ邊上的高h(yuǎn)=3∴梯形BDPQ的面積=12（DP+BQ）?h=12（t-2+t）×3=3t-縱觀各選項(xiàng)，只有C選項(xiàng)圖形符合．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，主要利用了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，分兩段得到由B、D、P、Q四點(diǎn)圍成的圖形面積并求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在羽毛球比賽中，某次羽毛球的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線y=－x2+bx+c的一部分（如圖），其中出球點(diǎn)B離地面O點(diǎn)的距離是1m，球落地點(diǎn)A到O點(diǎn)的距離是3m，那么這條拋物線的解析式是（

）A．y=－x2+83x+1 B．y=－x2+83C．y=－x2－83x+1 D．y=－x2－83【答案】A【分析】根據(jù)已知得出B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，1），A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），代入解析式即可求出b，c的值，即可得出答案．【詳解】解：∵出球點(diǎn)B離地面O點(diǎn)的距離是1m，球落地點(diǎn)A到O點(diǎn)的距離是3m，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，1），A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），將兩點(diǎn)代入解析式得：c=1?9+3b+c=0，解得：b=∴這條拋物線的解析式是：y=-x2+83x故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出B，A兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出(100?x)件，當(dāng)出售價(jià)格是__________元時(shí)，才能使利潤最大．【答案】65【分析】本題是營銷問題，基本等量關(guān)系：利潤=每件利潤×銷售量，每件利潤=每件售價(jià)-每件進(jìn)價(jià)．再根據(jù)所列二次函數(shù)求最大值．【詳解】解：設(shè)最大利潤為w元，則w=（x-30）（100-x）=-（x-65）2+1225，∵-1＜0，0＜x＜100，∴當(dāng)x=65時(shí)，二次函數(shù)有最大值1225，∴定價(jià)是65元時(shí)，利潤最大．故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題考查了把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．10．（2023秋·江蘇蘇州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若用16m長的籬笆圍成長方形的生物園來飼養(yǎng)動(dòng)物，則生物園的最大面積為_______．【答案】16m2【分析】設(shè)該長方形生物園的長為xm，面積為ym2，則該生物園的寬為（8-x）m，則可列出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x（8-x），然后求最大值即可．【詳解】解：設(shè)該長方形生物園的長為xm，面積為ym2，則該生物園的寬為（8-x）m，則可得：0＜x＜8，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式得：y=x（8-x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，∵-1＜0，∴開口向下，y有最大值，故當(dāng)x=4時(shí)，y取最大值16．即圍成的最大面積是16m2．故答案為：16m2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出矩形的長，表示出寬，得出面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，注意配方法求二次函數(shù)最值得應(yīng)用．11．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某工廠有一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20萬件，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，那么y與x之間的關(guān)系應(yīng)表示為_____．【答案】y=20(x+1)2【詳解】∵某工廠一種產(chǎn)品的年產(chǎn)量是20件，每一年都比上一年的產(chǎn)品增加x倍，∴一年后產(chǎn)品是：20（1+x），∴兩年后產(chǎn)品y與x的函數(shù)關(guān)系是：y=20（1+x）2．故答案為y=20（x+1）2.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，利用增長問題獲得函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，注意增加x倍是原來的（x+1）倍．12．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）隨著新冠疫情逐漸好轉(zhuǎn)，某口罩廠將減少口罩的出廠量，6月份的出廠量為20000只，若口罩出廠量每月下降百分率為x，8月份的出廠量為y只，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為___．【答案】y=20000（1-x）2【分析】根據(jù)降低率的特點(diǎn)即可得到8月份的出廠量與6月份的出廠量的關(guān)系，故可求解．【詳解】若口罩出廠量每月下降百分率為x，則8月份的出廠量y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=20000（1-x）2，故答案為：y=20000（1-x）2．【點(diǎn)睛】此題主要考查列二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到數(shù)量關(guān)系列函數(shù)．13．（2023秋·寧夏銀川·九年級(jí)校考期末）如圖，一拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2米時(shí)，水面寬度為4米；那么當(dāng)水位下降3米時(shí)，水面的寬度為_______米？【答案】2【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式，求出解析式確定出水面的寬度即可．【詳解】解：以拱橋的拱頂為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系：設(shè)拋物線解析式為y=ax則水面寬度為4米時(shí)，水面兩端的坐標(biāo)為（2，-2），（-2，-2）把2,?2代入得：?2=4a，解得：a=?1∴拋物線解析式為y=?1把y=?5代入得：x=±10則水面的寬度是210米【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于對函數(shù)表達(dá)式得求出.14．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線y=?0.2x2+x+2.25運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m，則他距籃筐中心的水平距離【答案】4【分析】將y=3.05代入y=?0.2x2+x+2.25中可求出x，結(jié)合圖形可知x=4【詳解】解：當(dāng)y=3.05時(shí)，?0.2x2+x+2.25=3.05結(jié)合圖形可知：OH=4m故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：投球問題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖形確定x的值．15．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，得到某種運(yùn)動(dòng)服每月的銷量與售價(jià)的相關(guān)信息如下表：售價(jià)（元/件）100110120130…月銷量（件）200180160140…已知該運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)為每件60元，設(shè)售價(jià)為x（x≥100）元，則月銷量是___________件，銷售該運(yùn)動(dòng)服的月利潤為___________元（用含x的式子表示）.【答案】2x+400?2【詳解】分析：運(yùn)用待定系數(shù)法求出月銷量；根據(jù)月利潤=每件的利潤×月銷量列出函數(shù)關(guān)系式．詳解：設(shè)月銷量y與x的關(guān)系式為y=kx+b，由題意得，100k+b＝200110k+b＝180解得k＝?2b＝400則y=-2x+400；由題意得，y=（x-60）（-2x+400）=-2x2+520x-24000點(diǎn)睛：本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·廣東·九年級(jí)華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？计谥校┤鐖D在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y＝x2﹣4x+6上運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對角線作矩形ABCD，則對角線BD的最小值為_____．【答案】2【分析】先確定二次函數(shù)的最小值，依據(jù)矩形的對角線相等可得到BD=AC，然后確定出AC的最小值即可，【詳解】解：∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），∵四邊形ABCD為矩形，∴BD＝AC，∵AC⊥x軸，∴AC的長等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到x軸的距離最小，最小值為2，∴對角線BD的最小值為2．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是矩形性質(zhì)，配方法求二次函數(shù)的最值，解答關(guān)鍵是注意點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，AC最?。?、解答題17．（2022秋·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，網(wǎng)上購物備受消費(fèi)者青睞，某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當(dāng)售價(jià)為每條80元時(shí)，每月可銷售100條，為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價(jià)措施．據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價(jià)每降1元，則每月可多銷售5