人教版九年級數(shù)學上冊重難考點專題05二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系(知識串講+7大考點)特訓(原卷版+解析)

專題05二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系考點類型知識串講（一）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系a>0(示意圖)a<0(示意圖)一元二次方程根的情況b2-4ac>0??有兩個不相等的實數(shù)根b2-4ac=0??有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac<0??無實數(shù)根（二）利用函數(shù)圖像解不等式考點訓練考點1：求拋物線與x軸的交點典例1：（2022秋·九年級單元測試）已知函數(shù)y=x2?6x+5的部分圖象（如圖），滿足y<0【變式1】（2023春·安徽蚌埠·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2?2x?3的圖象與x軸交于點A，B，與y軸交于點C（1）點C的坐標為__________．（2）點P的坐標為__________．【變式2】（2022秋·九年級單元測試）拋物線y=(x?3)(x+2)與x軸的交點坐標是____．【變式3】（2023春·陜西西安·九年級校考階段練習）將拋物線y=x2?1考點2：求拋物線與y軸的交點典例2：（2023·上?！ひ荒＃佄锞€y=?x2?3x+3【變式1】（2023·上海·一模）拋物線y=x+12?2【變式2】（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，是一個半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”．已知點A、B、C、D分別是“芒果”與坐標軸的交點，AB是半圓的直徑，拋物線的解析式為y=x2+b，若AB【變式3】（2022秋·河北滄州·九年級?？计谀佄锞€y=x2?4x+3考點3：由函數(shù)值求自變量x的值典例3：（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=2x2?3【變式1】（2023·江蘇徐州·九年級專題練習）如圖，已知拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=kx?2k+5【變式2】（2022春·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，拋物線y＝﹣2x2+mx+m﹣2經(jīng)過B、C兩點，若OA＝2OC，則矩形OABC的周長為_____．【變式3】（2022春·九年級課時練習）如圖，過點A(0，4)作平行于x軸的直線AC分別交拋物線y1=x2x≥0與y2=考點4：圖像法求方程的近似根典例4：（2022秋·八年級單元測試）根據(jù)如下表格對應值：判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=1.5x?0.500.511.52a1325152【變式1】（2022秋·湖北黃石·九年級黃石市有色中學?？奸_學考試）如圖，拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個交點坐標分別為A(﹣3，6)，B1,【變式2】（2022秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習）設一元二次方程x+1x?3=mm>0的兩實數(shù)根分別為α、β且α<β，則α【變式3】（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量xx…?4?3?2?10…y…3?2?5?6?5…則方程ax2+bx+c=0考點5：圖像法解不等式典例5：（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線y=ax2+bx與直線y=mx+n相交于點A(?3,?6)，B(1,?2)，則關(guān)于x【變式1】（2023春·山東濟南·九年級?？奸_學考試）如圖，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+ca≠0與一次函數(shù)y2=kx+mk≠0【變式2】（2022秋·湖北恩施·九年級校聯(lián)考期中）二次函數(shù)頂點為?1，（1）二次函數(shù)y=ax（2）不等式ax【變式3】（2023·全國·九年級專題練習）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，當y>0考點6：利用不等式求自變量、函數(shù)值的范圍典例6：（2022秋·浙江寧波·九年級校考期中）若二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0中，函數(shù)值x…?2?1012…y…0?2?204…則當y<4時，自變量x的取值范圍為______．【變式1】（2022秋·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習）直線y1=x+1與拋物線y2=?x【變式2】（2022春·江蘇·九年級期末）二次函數(shù)y=x-3-2-1012345y1250-3-4-30512利用二次函數(shù)的圖象可知，當函數(shù)值y<0時，x【變式3】（2022秋·北京豐臺·九年級北京市第十二中學校考階段練習）已知二次函數(shù)y=x2+2x?3，當?3<x<1考點7：拋物線與x軸的交點問題典例7：（2022春·九年級單元測試）拋物線的頂點是C2，?3，它與x軸交于A，B【變式1】（2023春·廣東汕頭·九年級汕頭市翠英中學?？茧A段練習）拋物線y=ax2?2ax?3與x軸交于兩點，分別是(x1【變式2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其頂點為C，連接AC，若AB=6，AC=5【變式3】（2023·江蘇·模擬預測）若二次函數(shù)y=2?mx2+4x+1的圖像與同步過關(guān)一、單選題1．（2023·安徽·九年級專題練習）已知二次函數(shù)y=（k﹣2）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜22．（2022·浙江·九年級專題練習）二次函數(shù)y=x2-xA．-3，0 B．6，0 C．0，-12 D．2，163．（2022秋·山東棗莊·九年級統(tǒng)考期末）拋物線y=x2+x?2與yA．（0，2） B．（0，－2） C．（-2，0） D．（－2，0）、（1，0）4．（2022秋·廣東珠海·九年級珠海市第九中學?？茧A段練習）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩個交點坐標是（﹣2，0），（5，0），則一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個解是（）A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝2，x2＝﹣5C．x1＝﹣2，x2＝﹣5 D．x1＝2，x2＝55．（2022秋·九年級單元測試）根據(jù)下表列出的函數(shù)y=ax2+bx+c的幾組x與y的對應值，判斷方程ax2x3.233.243.253.26y?0.37?0.110.090.28A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.266．（2023春·北京豐臺·九年級北京市第十二中學?？茧A段練習）如圖，坐標平面上有一頂點為A的拋物線，此拋物線與方程式y(tǒng)＝2的圖形交于B、C兩點，ΔABC為正三角形．若A點坐標為?3,0，則此拋物線與Y軸的交點坐標為何？（）A．0,92 B．0,272 C．7．（2023秋·安徽淮南·九年級統(tǒng)考階段練習）觀察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的最精確的一個近似根是（）x1.21.31.41.51.61.71.8x2-x-1-0.76-0.61-0.44-0.25-0.040.190.44A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.88．（2023·陜西渭南·校考一模）已知拋物線y=?2x2+bx+c與x軸只有一個交點，且過點Am?7，n，A．?50 B．?25 C．?20 D．?159．（2023秋·浙江溫州·九年級瑞安市安陽實驗中學?？计谥校┮阎獟佄锞€y=ax2+bx+c的頂點為（2，-1），與A．0＜x＜4 B．0＜x＜3 C．0＜x＜2 D．2＜x＜410．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┒魏瘮?shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的xx?1013y?1353下列結(jié)論：（1）ac<（2）當x≥1.5時，y的值隨x值的增大而減小；（3）x=3是方程ax（4）當?1<x<3時，ax其中正確的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個11．（2023秋·廣西崇左·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc>0；②9a+c>0；③ax2+bx+c=0的兩個根是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（2023·福建·福州四中?？寄M預測）已知二次函數(shù)y=2x?1x?m?3(其中m為常數(shù))，該函數(shù)圖象與y軸交點在x軸上方，則m的取值范圍正確的是(A．m>3 B．m>?3 C．m<3 D．m<?313．（2023秋·安徽淮北·九年級階段練習）已知函數(shù)與x軸交點是（m，0），（n，0），則的值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．202314．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考模擬預測）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+2kx+k﹣1，下列說法正確的是（）A．對任意實數(shù)k，函數(shù)圖象與x軸都沒有交點B．對任意實數(shù)k，函數(shù)圖象沒有唯一的定點C．對任意實數(shù)k，函數(shù)圖象的頂點在拋物線y＝﹣x2﹣x﹣1上運動D．對任意實數(shù)k，當x≥﹣k﹣1時，函數(shù)y的值都隨x的增大而增大15．（2023秋·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則ax2+bx+c+m=0的實數(shù)根的條件是（）A．m≥﹣2 B．m≤﹣2 C．m≤2 D．m≥2二、填空題16．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+m交于A?4,?1、B0,217．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如果二次函數(shù)y=mx2?2mx?3m的圖象與y軸的交點為(0,3)18．（2022秋·江蘇南通·九年級?？茧A段練習）若拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有兩個公共點，則m的取值范圍是________．19．（2022秋·九年級單元測試）如果拋物線y=(x?2)2+k20．（2023秋·九年級單元測試）二次函數(shù)y=x2+x?2與x21．（2022秋·北京順義·九年級統(tǒng)考期末）若拋物線y=x2?2x+k?1與x22．（2022春·九年級課時練習）如圖拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝﹣1，與x軸的一個交點為(﹣5，0)，則一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根為______．23．（2022秋·上?！ぞ拍昙夒A段練習）已知拋物線y=x2?k?1x?3k?1與x軸交于Aa,0，24．（2023秋·黑龍江佳木斯·九年級校聯(lián)考期中）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x=1，且經(jīng)過點A（3，0），則a﹣b+c的值為___________.25．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=x2+4x+c的圖象與x軸的一個交點坐標是2,0三、解答題26．（2022春·九年級課時練習）二次函數(shù)y=ax（1）寫出方程ax（2）寫出不等式ax（3）若方程ax2+bx+c=k27．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線y＝ax2-5x＋4a與x軸相交于點A，B，且過點C（5,4）．（1）求a的值和該拋物線頂點P的坐標；（2）請你設計一種平移的方法，使平移后拋物線經(jīng)過原點，并寫出平移后拋物線的解析式．28．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級?？计谥校┤舳魏瘮?shù)y=x2+b29．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級?？茧A段練習）如圖，已知拋物線y=x2與直線y=?x+2交于(1)求交點A、B的坐標；(2)直接寫出不等式x230．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第三中學?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線y1=ax2+x+ma≠0的圖象與x軸交于A、C兩點，與直線y2=?x?4交于點A、B(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)根據(jù)圖象，直接寫出y2<y31．（2022秋·北京西城·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=x(1)將y=x2(2)在所給的平面直角坐標系中畫出此函數(shù)的圖象；(3)當?1<x<2時，結(jié)合圖象，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍．32．（2022秋·北京朝陽·九年級北京市陳經(jīng)綸中學?？计谥校┰诔踔须A段的函數(shù)學習中我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程.以下是我們研究函數(shù)y=|1（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，與y的幾組對應值列表如下x…-4-3-2-1012…y…41.500.50m4…其中，m=__________________.（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中補全函數(shù)y=|1（3）根據(jù)函數(shù)圖象，下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的說法正確的有__________________（填序號）；①該函數(shù)圖象是軸對稱圖形，它的對稱軸為y軸②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，沒有最大值，但有最小值③當x=?2時，函數(shù)取得最小值0④當x<?2或x>0時，y隨x的增大而減??；當?2<x<0時，y隨x的增大而增大.（4）在同一坐標系中作出函數(shù)y=x+1的圖象，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出方程|133．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線y=12x?12?2與x軸交于點A和點B（點A(1)直接寫出A、B兩點的坐標；(2)若△ABC的面積為12，求點C坐標；(3)在第（2）問的條件下，直線y=mx+n經(jīng)過點A、C，當12x?1234．（2022秋·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過1,?m2(1)求b的值，并用含m的代數(shù)式表示c；(2)判斷該拋物線與x軸的交點個數(shù)，并說明理由；(3)已知點Aa,p、B2,q在拋物線的圖象上，若p<q，求35．（2022秋·浙江·八年級專題練習）我國傳統(tǒng)的計重工具——秤的應用，方便了人們的生活，如圖1，可以用秤砣到秤紐的水平距離，來得出秤鉤上所掛物體的重量．稱重時，若秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為x（厘米）時，秤鉤所掛物重為y（斤）．如表中為若干次稱重時所記錄的一些數(shù)據(jù)．x（厘米）1247y（斤）0.751.001.502.25（1）在圖2中將表x，y的數(shù)據(jù)通過描點的方法表示，觀察判斷x，y的函數(shù)關(guān)系，并求秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為16厘米時，秤鉤所掛物重是多少斤？（2）已知秤砣到秤紐的最大水平距離為50厘米，這桿秤的可稱物重范圍是多少斤？

專題05二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系考點類型知識串講（一）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系a>0(示意圖)a<0(示意圖)一元二次方程根的情況b2-4ac>0??有兩個不相等的實數(shù)根b2-4ac=0??有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac<0??無實數(shù)根（二）利用函數(shù)圖像解不等式考點訓練考點1：求拋物線與x軸的交點典例1：（2022秋·九年級單元測試）已知函數(shù)y=x2?6x+5的部分圖象（如圖），滿足y<0【答案】1<x<5【分析】首先由圖象可求得該拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標，再根據(jù)圖象即可求解．【詳解】解：由y=x2?6x+5，當解得：x∴該拋物線與x軸的交點的橫坐標1，5，∵該拋物線的開口向上，∴當y<0時，x的取值范圍是1<x<5，故答案為：1<x<5．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從圖象中獲取相關(guān)信息是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·安徽蚌埠·九年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2?2x?3的圖象與x軸交于點A，B，與y軸交于點C（1）點C的坐標為__________．（2）點P的坐標為__________．【答案】0,?34,5【分析】（1）因為與y軸交于點C，所以橫坐標為0，代入后即可得到縱坐標；（2）先讓縱坐標為0，求出點A，B的橫坐標，進而求出直線BC的表達式，再依據(jù)S△APC=S△APB，求出直線【詳解】（1）∵y=x2?∴當x=0時，y=?3∴C故填：0,?3．（2）∵因為y=x2?2x?∴當y=0時，x∴x1=3∴A?1,0,∵C0,?3,B3,0,設直線BC∴b=?3∴b=?3∴直線BC為y=x?3∵S∴AP∥BC∴設直線AP為y=x+m∵A∴直線AP為y=x+1∵解方程組y=x2?∴P?1,0（舍去）,故填：4,5．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與兩坐標軸交點坐標的求法，待定系數(shù)法，利用坐標求三角形面積等，解題時要應用數(shù)形結(jié)合思想．【變式2】（2022秋·九年級單元測試）拋物線y=(x?3)(x+2)與x軸的交點坐標是____．【答案】(3,0)，(?2,0)【分析】令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到答案；【詳解】解：令y=0，則：x?3解得：x1=3∴拋物線y=(x?3)(x+2)與x軸的交點坐標是(3,0)，(?2,0)；故答案為：(3,0)，(?2,0)．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與x軸的交點問題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的橫坐標是令y=0【變式3】（2023春·陜西西安·九年級?？茧A段練習）將拋物線y=x2?1【答案】6【分析】根據(jù)平移規(guī)律得出平移后的二次函數(shù)的解析式為y=x2?9，令x【詳解】解：將拋物線y=x2?1當x2解得：x1=?3，∴拋物線y=x2?9與x軸的交點為?3∴拋物線y=x2?1故答案為：6．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，上加下減．考點2：求拋物線與y軸的交點典例2：（2023·上海·一模）拋物線y=?x2?3x+3【答案】(0,3)【分析】把x=0代入拋物線y=?x2?3x+3，即得拋物線y=?【詳解】解：∵當x=0時，拋物線y=?x2?3x+3∴把x=0代入y=?x2?3x+3∴拋物線y=?x2+3x?3與y故答案為：(0,3)．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，比較簡單，掌握y軸上點的橫坐標為0是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·上?！ひ荒＃佄锞€y=x+12?2【答案】0,?1【分析】求出x=0時y的值即可得到拋物線與y軸的交點坐標．【詳解】解：當x=0時，y=x+1所以拋物線與y軸的交點坐標是0,?1，故答案為：0,?1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)y軸上點的橫坐標為0求出交點的縱坐標是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，是一個半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”．已知點A、B、C、D分別是“芒果”與坐標軸的交點，AB是半圓的直徑，拋物線的解析式為y=x2+b，若AB【答案】6【分析】根據(jù)題意得，B點坐標為2，0，將B點坐標2，0代入拋物線的解析式為y=x2+b【詳解】解：∵AB長為4，AB是半圓的直徑，∴A點坐標為?2，0，B點坐標為將B點坐標2，0代入拋物線的解析式為得，22解得b=?4，∴拋物線解析式為y=x當x=0時，y=?4，∴C點坐標為0，∴OC=4，∵OD=1∴CD=OC+OD=4+2=6，故答案為：6．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線與坐標軸的交點問題，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的解析式，從而求出點C的坐標．【變式3】（2022秋·河北滄州·九年級?？计谀佄锞€y=x2?4x+3【答案】(0,3)(2,?1)【分析】（1）令x=0，即可求出函數(shù)與y軸的交點坐標；（2）將拋物線y=x【詳解】y=令x=0，則y=3，即拋物線與y軸的交點坐標是(0,3)；y=x=(x?2)∴拋物線y=x2故答案為：(0,3)；(2,?1)【點睛】本題考查了拋物線與y軸的交點坐標，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，明確拋物線與y軸的交點的橫坐標為0與將拋物線的一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．考點3：由函數(shù)值求自變量x的值典例3：（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=2x2?3【答案】±2【分析】令y=5，求出x的值即可．【詳解】解：當y=5時，2x解得：x=±2；故答案為：±2．【點睛】本題考查求二次函數(shù)自變量的值．解題的關(guān)鍵，是將二次函數(shù)的函數(shù)值代入解析式，解一元二次方程求出自變量的值．【變式1】（2023·江蘇徐州·九年級專題練習）如圖，已知拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=kx?2k+5【答案】?2+22或【分析】先確定A、B、C三點坐標，y=kx-2k+5=k（x-2）+5，可得直線經(jīng)過定點（2，5）畫出圖形，分別找到兩個極限位置，求出k的值．【詳解】解：∵y=∴當y=0時，解得x=-1或x=3；當x=0時，解得y=3∴A（-1,0），B（3,0），C（0，3）∵y=kx-2k+5=k（x-2）+5∴直線y=kx?2k+5必過定點（2，5）要使直線y=kx-2k+5與圖像有三個公共點，則可得到如圖所示的兩個極限位置，①直線經(jīng)過A、N，此時將點A（-1，0）代入可得：0=-k-2k+5，解得：k=5②直線經(jīng)過點N與拋物線相切時，由題意可得：?整理得：xΔ=(k?2)由圖像可知，k＞0，則k=?2+2綜上可知，y=kx?2k+5與y=x2?2x?3有三個公共點時，則k值為?2+2故答案為?2+22或5【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與拋物線的交點問題，根據(jù)題意找到恰好有3個公共點的位置以及數(shù)形結(jié)合思想的運用是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，拋物線y＝﹣2x2+mx+m﹣2經(jīng)過B、C兩點，若OA＝2OC，則矩形OABC的周長為_____．【答案】4【分析】先求得點C的坐標，然后由OA＝2OC得到點A的坐標，進而得到點B的坐標，最后將點B的坐標代入函數(shù)解析式求得m的值，即可得到矩形的周長．【詳解】解：當x＝0時，y＝m﹣2，∴點C（0，m﹣2），∴OC＝m﹣2，∴m≠2，∵OA＝2OC，∴OA＝2m﹣4，∴A（2m﹣4，0），∴B（2m﹣4，m﹣2），將點B的坐標代入函數(shù)解析式得，﹣2（2m﹣4）2+m（2m﹣4）+m﹣2＝m﹣2，解得：m＝2（舍）或m＝83∴OC＝23，OA＝4∴矩形OABC的周長為2×（23+4故答案為：4．【點睛】本題考查了已知二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值，二次函數(shù)與坐標軸交點問題，矩形的性質(zhì)，根據(jù)點C的坐標求得點A,B的坐標是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022春·九年級課時練習）如圖，過點A(0，4)作平行于x軸的直線AC分別交拋物線y1=x2x≥0與y2=【答案】2【分析】根據(jù)題意，將y=4分別代入y1=x2x≥0，y2=【詳解】解：∵x≥0，則y=4y=x2解得y=4y2=1∴BC=4?2=2故答案為：2【點睛】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量，聯(lián)立解方程是解題的關(guān)鍵．考點4：圖像法求方程的近似根典例4：（2022秋·八年級單元測試）根據(jù)如下表格對應值：判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=1.5x?0.500.511.52a1325152【答案】0<x<0．5【分析】根據(jù)x=0時，ax2+bx+c=2；x=0．5時，ax2+bx+c=54可得方程ax2+bx+c=1．5的一個解x的范圍為0<x<0【詳解】解：∵x=0時，ax2+bx+c=2；x=0當x取0~0．5的某一個數(shù)時，即方程ax2+bx+c=1．5∵x=1．5時，ax2+bx+c=當x取1．5~2的某一個數(shù)時，即方程ax2+bx+c=1．5綜上所述，方程ax2+bx+c=1.5a≠0的解x的范圍是故答案為0<x<0．5或【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·湖北黃石·九年級黃石市有色中學校考開學考試）如圖，拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個交點坐標分別為A(﹣3，6)，B1,【答案】x1=?3【分析】利用圖象法即可解決問題，方程的解就是兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標．【詳解】解：由圖象可知，關(guān)于x的方程ax2?bx?c=0的解，就是拋物線y=ax2（a≠0）與直線y=bx+c（b即x1=?3，故答案為：x1=?3，【點睛】本題考查拋物線與x軸交點、一次函數(shù)的應用、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識，學會利用圖象法解決實際問題．【變式2】（2022秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習）設一元二次方程x+1x?3=mm>0的兩實數(shù)根分別為α、β且α<β，則α【答案】α<?1且β>3【分析】方程的兩實數(shù)根α、β可看作拋物線y=x+1x?3與直線【詳解】方程x+1x?3=mm>0的兩實數(shù)根α、β可看作拋物線y=而拋物線y=x+1x?3與x軸的交點坐標為?1，如圖，所以α<?1且β>3．故答案為：α<?1且β>3．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）與x【變式3】（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量xx…?4?3?2?10…y…3?2?5?6?5…則方程ax2+bx+c=0【答案】1<x1【分析】根據(jù)表格中的自變量與函數(shù)值求出對稱軸，可得答案．【詳解】解：∵x=?2或0時，y=?5，∴y=ax2+bx+c當x=?4時，y=3，x=?3時，y=?2，得?4<x<?3；根據(jù)對稱性可得：當x=2時，y=3，x=1時，y=?2，得1<x<2；則方程ax2+bx+c=0的正數(shù)解故答案為：1<x【點睛】本題考查了圖象求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是掌握兩個函數(shù)值的積小于零時，方程的解在這兩個函數(shù)值對應的自變量的中間．考點5：圖像法解不等式典例5：（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線y=ax2+bx與直線y=mx+n相交于點A(?3,?6)，B(1,?2)，則關(guān)于x【答案】?3<x<1【分析】根據(jù)A、B兩點的橫坐標和函數(shù)的圖象得出不等式的解集即可．【詳解】∵拋物線y=ax2+bx與直線y=mx+n相交于點A(?3,?6)∴關(guān)于x的不等式ax2+bx>mx+n故答案為：?3<x<1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識點，能根據(jù)交點的坐標得出不等式的解集是解此題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·山東濟南·九年級?？奸_學考試）如圖，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+ca≠0與一次函數(shù)y2=kx+mk≠0【答案】?1<x<4/4>x>?1【分析】觀察圖象，當拋物線位于直線的下方時，即可求得x的取值范圍．【詳解】解：由圖象知，當?1<x<4時，拋物線位于直線的下方，即y1故答案為：?1<x<4．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·湖北恩施·九年級校聯(lián)考期中）二次函數(shù)頂點為?1，（1）二次函數(shù)y=ax（2）不等式ax【答案】(?1,?43)【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸和拋物線過點?3，0求出拋物線與（2）根據(jù)函數(shù)的圖象以及圖象與【詳解】解：（1）∵∴二次函數(shù)的對稱軸直線為x=∵二次函數(shù)的圖象與x軸交點為?3，∴二次函數(shù)的圖象與x軸另一交點為1，設二次函數(shù)的解析式為y=ax+3∵二次函數(shù)的圖象與y軸相交于0，∴?3a=?1，∴a=1∴二次函數(shù)的解析式為y=1∴頂點坐標為?1，故答案為：?1，（2）由函數(shù)圖象可知，不等式ax2+bx+c≥0故答案為：x≥1或【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與不等式（組），關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的解析式．【變式3】（2023·全國·九年級專題練習）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，當y>0【答案】?5<x<3【分析】首先根據(jù)對稱軸和與x軸的一個交點確定另一個交點的坐標，然后根據(jù)其圖象確定自變量的取值范圍即可．【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=?1，與x∴與x軸的另一個交點坐標為(?5,0∴y>0時，x的取值范圍為：?5<x<3，故答案為：?5<x<3．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱軸求得另一個交點坐標，難度不大．考點6：利用不等式求自變量、函數(shù)值的范圍典例6：（2022秋·浙江寧波·九年級?？计谥校┤舳魏瘮?shù)y=ax2+bx+ca≠0中，函數(shù)值x…?2?1012…y…0?2?204…則當y<4時，自變量x的取值范圍為______．【答案】?3<x<2【分析】由表格可得拋物線經(jīng)過(?1,?2)，(0,?2)可得拋物線的對稱軸，由拋物線經(jīng)過(?2,0)，(1,0)可得拋物線開口方向，再由(2,4)關(guān)于對稱軸的對稱點坐標求解．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(?1,?2)，(0,?2)，∴拋物線對稱軸為直線x=?1又∵拋物線經(jīng)過(?2,0)，(1,0)，∴拋物線開口向上，∵(2,4)關(guān)于直線x=?12的對稱點坐標為∴?3<x<2時，y<4，故答案為：?3<x<2．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．【變式1】（2022秋·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習）直線y1=x+1與拋物線y2=?x【答案】x<?2或x>1/x>1或x<?2【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出直線在拋物線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：∵直線y1=x+1與拋物線y2∴當y1>y2時，x的取值范圍為：故答案為：x<?2或x>1．【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象求不等式的解集，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·江蘇·九年級期末）二次函數(shù)y=x-3-2-1012345y1250-3-4-30512利用二次函數(shù)的圖象可知，當函數(shù)值y<0時，x【答案】-1<x【分析】由表格給出的信息可看出，對稱軸為直線x=1，a＞0，開口向上，與x軸交于（-1，0）、（3，0）兩點，則y<0時，【詳解】解：根據(jù)表格中給出的二次函數(shù)圖象的信息，對稱軸為直線x=∴頂點坐標為（1，?4），∴a＞0∴根據(jù)拋物線的對稱性知：與x軸交于（-1，0）、（3，0）兩點，則當函數(shù)值y<0時，x的取值范圍是：-1＜故答案為：-1＜x【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對稱性進行解題．【變式3】（2022秋·北京豐臺·九年級北京市第十二中學?？茧A段練習）已知二次函數(shù)y=x2+2x?3，當?3<x<1【答案】?4【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標，再利用二次函數(shù)的增減性即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵y=x∴該拋物線的對稱軸為直線x=?1，當x=?3時，y=9?6?3=0，當x=?1時，最小值為y=?4，當y=1時，y=1+2?3=0，∴?4≤故答案為：?4≤【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的增減性和最值，關(guān)鍵是要牢記拋物線的對稱軸的公式，理解拋物線的增減性．考點7：拋物線與x軸的交點問題典例7：（2022春·九年級單元測試）拋物線的頂點是C2，?3，它與x軸交于A，B【答案】3【分析】首先，因為A，B兩點的橫坐標是方程x2?4x+3=0的兩個根，可得【詳解】解：∵由方程x2?4x+3=0得：∴A、，B點的橫坐標為1或3，∴AB=3?1=2，∴S△ABC故答案為：3．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，根據(jù)題意求出拋物線與x軸兩交點的坐標是解答此題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·廣東汕頭·九年級汕頭市翠英中學?？茧A段練習）拋物線y=ax2?2ax?3與x軸交于兩點，分別是(x1【答案】2【分析】與x軸交點即令y=ax2?2ax?3中y=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系得到x【詳解】解：由題意得令y=ax∴ax2?2ax?3=0∴x1+x故答案為：2．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，與x軸的交點即令二次函數(shù)中y=0得到對應的一元二次方程．【變式2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其頂點為C，連接AC，若AB=6，AC=5【答案】4【分析】過點C作CD⊥x軸于點D，根據(jù)拋物線的對稱性可得AD=BD=12AB=3，再由勾股定理可得CD=4，設點A的坐標為m,0，則B【詳解】解：過點C作CD⊥x軸于點D，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其頂點為C∴AD=BD=1∵AC=5，∴CD=A設點A的坐標為m,0，則Bm+6,0∴Cm+3,?4∴拋物線解析式為y=ax?m∵點Cm+3,?4∴拋物線解析式為y=ax?m?3∴am即9a?4=0，解得：a=4故答案為：4【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到拋物線的交點式和頂點式是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·江蘇·模擬預測）若二次函數(shù)y=2?mx2+4x+1的圖像與【答案】?2【分析】由拋物線與x軸只有一個交點，得到根的判別式的值等于0，且2?m≠0，求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=2?mx2∴Δ=42解得：m=?2，故答案為：?2．【點睛】此題考查了拋物線與x軸的交點，拋物線與x軸的交點個數(shù)由根的判別式的值來確定，當拋物線與x軸有2個交點時，則Δ>0；拋物線與x軸有1交點時，則Δ=0；當拋物線與x軸沒有交點時，則同步過關(guān)一、單選題1．（2023·安徽·九年級專題練習）已知二次函數(shù)y=（k﹣2）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸有交點可得出關(guān)于x的一元二次方程有解，根據(jù)根的判別式結(jié)合二次項系數(shù)非零即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=（k﹣2）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，∴k?2≠0解得：k≤3且k≠2．故選C．【點睛】考查了拋物線與x軸的交點、根的判別式以及解一元一次不等式組，根據(jù)根的判別式△≥0結(jié)合二次項系數(shù)非零找出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江·九年級專題練習）二次函數(shù)y=x2-xA．-3，0 B．6，0 C．0，-12 D．2，16【答案】C【分析】圖象與y軸相交則x=0，代入得到y(tǒng)【詳解】解：由圖象與y軸相交則x=0，代入得：y∴與y軸交點坐標是0，-12；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標適合解析式．3．（2022秋·山東棗莊·九年級統(tǒng)考期末）拋物線y=x2+x?2與yA．（0，2） B．（0，－2） C．（-2，0） D．（－2，0）、（1，0）【答案】B【分析】令x＝0，求出y的值即可．【詳解】解：令x＝0，則y＝?2，∴拋物線y＝x2＋x?2與y軸的交點坐標是（0，?2）．故選：B．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知y軸上點的坐標特點是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙壷楹Ｊ械诰胖袑W校考階段練習）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩個交點坐標是（﹣2，0），（5，0），則一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個解是（）A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝2，x2＝﹣5C．x1＝﹣2，x2＝﹣5 D．x1＝2，x2＝5【答案】A【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點問題，兩交點的橫坐標即為方程ax2+bx+c＝0的解．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩個交點分別為（﹣2，0），（5，0），即自變量為﹣2和5時函數(shù)值為0，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根為x1＝﹣2，x2＝5，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，理解函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的解是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·九年級單元測試）根據(jù)下表列出的函數(shù)y=ax2+bx+c的幾組x與y的對應值，判斷方程ax2x3.233.243.253.26y?0.37?0.110.090.28A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26【答案】C【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，便可求值根的范圍．【詳解】解：由表格數(shù)據(jù)可知：當x=3.24時，y=?0.11；當x=3.25，y=0.09∴一個根的范圍是：3.24<x<3.25故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程根之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，準確理解題意是解題關(guān)鍵．6．（2023春·北京豐臺·九年級北京市第十二中學?？茧A段練習）如圖，坐標平面上有一頂點為A的拋物線，此拋物線與方程式y(tǒng)＝2的圖形交于B、C兩點，ΔABC為正三角形．若A點坐標為?3,0，則此拋物線與Y軸的交點坐標為何？（）A．0,92 B．0,272 C．【答案】B【分析】設B?3?m,2，C?3+m,2，m>0，可知BC=2m，再由等邊三角形的性質(zhì)可知C?3+233,2【詳解】解：設B?3?m,2，C?3+m,2∵A點坐標為?3,0，∴BC=2m，∵ΔABC為正三角形，∴AC=2m，∠C∴m=∴C設拋物線解析式y(tǒng)=ax+3a?3+∴a=3∴y=3當x=0時，y=27故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；結(jié)合函數(shù)圖象將等邊三角形的邊長轉(zhuǎn)化為點的坐標是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·安徽淮南·九年級統(tǒng)考階段練習）觀察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的最精確的一個近似根是（）x1.21.31.41.51.61.71.8x2-x-1-0.76-0.61-0.44-0.25-0.040.190.44A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8【答案】C【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和題意可以解答本題．【詳解】解：由表格可知，當x＝1.6時，y＝﹣0.04與y＝0最接近，故選：C．【點睛】本題考查估算一元二次方程的近似解，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．8．（2023·陜西渭南·校考一模）已知拋物線y=?2x2+bx+c與x軸只有一個交點，且過點Am?7，n，A．?50 B．?25 C．?20 D．?15【答案】A【分析】根據(jù)點A、B的坐標易求該拋物線的對稱軸是直線x=m?2，再根據(jù)題意，得出拋物線的頂點坐標為m?2，0，進而設拋物線解析式為y=?2x?m+22，直接將【詳解】解：∵拋物線y=?2x2+bx+c過點A∴對稱軸是直線x=m?7+m+3又∵拋物線y=?2x2+bx+c∴拋物線的頂點坐標為m?2，∴設拋物線解析式為y=?2x?m+2把Am?7n=?2m?7?m+2即n=?50．故選：A．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，解本題的關(guān)鍵在找到拋物線的頂點坐標，根據(jù)頂點坐標設拋物線的解析式．9．（2023秋·浙江溫州·九年級瑞安市安陽實驗中學?？计谥校┮阎獟佄锞€y=ax2+bx+c的頂點為（2，-1），與A．0＜x＜4 B．0＜x＜3 C．0＜x＜2 D．2＜x＜4【答案】A【分析】首先根據(jù)頂點坐標確定對稱軸，然后根據(jù)對稱軸和與y軸的交點坐標確定當y＝3時的x的值，從而確定答案．【詳解】解：∵y=ax∴對稱軸為直線x＝2，函數(shù)圖象大致如下：∵拋物線與y軸的交點為（0，3），∴當y＝3時x的值為0或4，∴當函數(shù)值y＜3時，0＜x＜4，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱軸和與y軸的交點坐標確定當y＝3時的x的值，難度不大．10．（2022秋·浙江杭州·九年級校考期中）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的xx?1013y?1353下列結(jié)論：（1）ac<（2）當x≥1.5時，y的值隨x值的增大而減小；（3）x=3是方程ax（4）當?1<x<3時，ax其中正確的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=3【詳解】解：①由圖表中數(shù)據(jù)可知，x=0和x=3時，函數(shù)值相同，都是3，∴對稱軸為直線x=0+3∵x=1時，y=5，∴a<∵x=0時，y=3，∴c=3，∴ac<②∵a<∴開口向下，∵拋物線的對稱軸x=3∴當x>32時，y∵x=3時，y=3，∴9a+3b+c=3，∴9a+3(b?1)+c=0，∴x=3是方程ax∵x=?1時，y=?1，∴a?b+c=?1，∴a?(b?1)+c=0，∴x=?1是方程ax∴當?1<x<3時，ax綜上所述，正確的有4個，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·廣西崇左·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc>0；②9a+c>0；③ax2+bx+c=0的兩個根是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①由拋物線開口向上，可得出a＞0，由拋物線與x軸交點知對稱軸為x=1>0，即?b2a>0，所以b<0，根據(jù)拋物線與y軸的交點在x軸下方，可得c<0，根據(jù)a,b,c【詳解】解：①∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線與x軸交點為?2,0,∴拋物線的對稱軸為x=1>0，即?b∴b<0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c<0，∴abc>0，結(jié)論①正確；②∵拋物線與x軸交于（?2，0）和（4，0）兩點，∴拋物線的對稱軸為直線x＝?2+42∴?∴b＝?2a，∵當x＝?2時，y＝4a?2b＋c＝0，∴8a＋c＝0，∵a＞0，∴9a＋c＞0，結(jié)論②正確；③∵拋物線與x軸交于（?2，0）和（4，0）兩點，∴ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1＝?2，x2＝4，結(jié)論③正確；④∵b＝?2a，∴a＝?b∵當x＝?2時，y＝4a?2b＋c＝0，∴?2b?2b＋c＝0，∴4b＝c，∴b：c＝1：4，結(jié)論④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時，對稱軸在y軸左側(cè)；當a與b異號時，對稱軸在y軸右側(cè)；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)：△＝b2?4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2?4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2?4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．12．（2023·福建·福州四中?？寄M預測）已知二次函數(shù)y=2x?1x?m?3(其中m為常數(shù))，該函數(shù)圖象與y軸交點在x軸上方，則m的取值范圍正確的是(A．m>3 B．m>?3 C．m<3 D．m<?3【答案】B【分析】先求出與y軸的交點坐標，然后根據(jù)與y軸的交點在x軸上方列不等式求解即可.【詳解】當x=0時，y=2×0?1∵函數(shù)圖像與y軸的交點坐標是（0，2m+6）.∵該函數(shù)圖象與y軸交點在x軸上方，∴2m+6>0，∴m>?3.故選B.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與與坐標軸的交點是解答本題的關(guān)鍵.13．（2023秋·安徽淮北·九年級階段練習）已知函數(shù)與x軸交點是（m，0），（n，0），則的值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2023【答案】B【詳解】試題分析：∵拋物線與x軸的交點為（m，0），（n，0），∴,且m,n是一元二次方程的兩個根∴．故選B考點：拋物線與x軸的交點點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，揭示了二次函數(shù)與一元二次方程間的聯(lián)系，應用了方程的根的定義14．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考模擬預測）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+2kx+k﹣1，下列說法正確的是（）A．對任意實數(shù)k，函數(shù)圖象與x軸都沒有交點B．對任意實數(shù)k，函數(shù)圖象沒有唯一的定點C．對任意實數(shù)k，函數(shù)圖象的頂點在拋物線y＝﹣x2﹣x﹣1上運動D．對任意實數(shù)k，當x≥﹣k﹣1時，函數(shù)y的值都隨x的增大而增大【答案】C【分析】此題根據(jù)二次函數(shù)的圖像，位置與各項系數(shù)的關(guān)系做題即可．【詳解】A、△＝4k2﹣4（k﹣1）＝B、k（2x+1）＝y(tǒng)+1﹣x2，k為任意實數(shù)，則2x+1＝0，y+1﹣x2＝0，所以拋物線經(jīng)過定點（﹣12C、y＝（x+k）2﹣kD、拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2k2故選：C．【點睛】根據(jù)解析式找出函數(shù)對稱軸即可判斷增減性，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)數(shù)形結(jié)合較為簡便．15．（2023秋·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則ax2+bx+c+m=0的實數(shù)根的條件是（）A．m≥﹣2 B．m≤﹣2 C．m≤2 D．m≥2【答案】C【詳解】試題分析：由于拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m有交點時，方程ax2+bx+c=m有實數(shù)根，觀察函數(shù)圖象得到當m≥﹣2時，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m有交點，即可得出結(jié)論．解：當拋物線y=ax2+bx+c與直線y=﹣m有交點時，方程ax2+bx+c=﹣m有實數(shù)根，由函數(shù)圖象得：直線y=﹣2與拋物線y=ax2+bx+c只有一個公共點，∴當m≤﹣2時，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=﹣m有交點，即方程ax2+bx+c=﹣m有實數(shù)根的條件是m≤﹣2，∴ax2+bx+c+m=0的實數(shù)根的條件是m≤﹣2，故選C．考點：拋物線與x軸的交點．二、填空題16．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+m交于A?4,?1、B0,2【答案】?4<x<0【分析】根據(jù)圖象，寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】由圖象可知，當?4<x<0時，拋物線在直線的上方，∴關(guān)于x的不等式ax2+b+c>kx+m故答案為：?4<x<0．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想，解題關(guān)鍵在于對圖象的理解，題目中的不等式的含義為：二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)圖象上方時，自變量x的取值范圍．17．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如果二次函數(shù)y=mx2?2mx?3m的圖象與y軸的交點為(0,3)【答案】-1【分析】把(0,3)代入函數(shù)解析式即可求出m的值．【詳解】解：把(0,3)代入y=mx3=?3m，解得m=?1，故答案為：-1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是把點的坐標代入求未知系數(shù)的值．18．（2022秋·江蘇南通·九年級校考階段練習）若拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有兩個公共點，則m的取值范圍是________．【答案】m＜9【分析】根據(jù)拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有兩個公共點，可知b2﹣4ac＞0，從而可以求得m的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有兩個公共點，∴Δ=b2?4ac=（﹣6）2解得：m＜9，故答案為：m＜9．【點睛】此題考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，熟練掌握二次函數(shù)與x軸的交點個數(shù)和判別式的關(guān)系．拋物線與x軸交點個數(shù)由Δ決定：當Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；當Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．19．（2022秋·九年級單元測試）如果拋物線y=(x?2)2+k【答案】k=2（答案不唯一）【分析】拋物線y=(x?2)2+k不經(jīng)過第三象限，可得拋物線與y軸的交點在y【詳解】解：∵拋物線y=(x?2)∴拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸或原點，而當x=0時，y=4+k,∴4+k≥0,解得：k≥?4,所以當k=2時，符合題意，故答案為：k=2（答案不唯一）【點睛】本題考查的是拋物線的性質(zhì)，掌握“拋物線與y軸的交點的位置與圖象的關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵.20．（2023秋·九年級單元測試）二次函數(shù)y=x2+x?2與x【答案】(?2,?0)1,?0【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點問題，通過解方程x2＋x?2＝0可得到二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標，然后計算自變量為0時的函數(shù)值可確定二次函數(shù)圖象與y軸的交點坐標．【詳解】當y＝0時，x2＋x?2＝0，解得x1＝?2，x2＝1，則二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為（?2，0），（1，0）；當x＝0時，y＝x2＋x?2＝?2，則二次函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為（0，?2）．故答案為（?2，0），（1，0）；（0，?2）．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程問題是解決本題的關(guān)鍵．21．（2022秋·北京順義·九年級統(tǒng)考期末）若拋物線y=x2?2x+k?1與x【答案】k≤2【分析】根據(jù)拋物線與x軸有交點，Δ≥0【詳解】解：∵拋物線y=x2?2x+k?1∴Δ=解得：k≤2；故答案為：k≤2．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與x軸交點問題．熟練掌握拋物線與x軸有交點：Δ≥022．（2022春·九年級課時練習）如圖拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝﹣1，與x軸的一個交點為(﹣5，0)，則一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根為______．【答案】x＝3【分析】根據(jù)拋物線的對稱性知，拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于直線x=-1對稱，據(jù)此可以求得拋物線與x軸的另一個交點，即可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的另一個解．【詳解】解：根據(jù)圖示知，拋物線y=ax2+bx+c圖象的對稱軸是x=-1，與x軸的一個交點坐標為（-5，0），根據(jù)拋物線的對稱性知，拋物線y=ax2+bx+c圖象與x軸的兩個交點關(guān)于直線x=-1對稱，即拋物線y=ax2+bx+c圖象與x軸的另一個交點與（-5，0）關(guān)于直線x=-1對稱，∴另一個交點的坐標為（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的另一個解是x=3；故答案是：x=3．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點．解題的關(guān)鍵是掌握拋物線的對稱性．23．（2022秋·上?！ぞ拍昙夒A段練習）已知拋物線y=x2?k?1x?3k?1與x軸交于Aa,0，【答案】2【分析】首先由一元二次方程的根的判別式求得k的取值范圍，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b和ab的值，由此易求得k的值，最后驗證k值是否符合題意.【詳解】解：拋物線y=x2?k?1x?3k?1與x∴Δ=[?(k?1)]由題意可知方程x2由韋達定理得：a+b=k?1，a?b=?3k?1，a2解得：k1=22將k1將k2綜上所述：k【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題關(guān)鍵.24．（2023秋·黑龍江佳木斯·九年級校聯(lián)考期中）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x=1，且經(jīng)過點A（3，0），則a﹣b+c的值為___________.【答案】0【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為（-1，0），由此求出a-b+c的值．【詳解】∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（3，0），對稱軸是直線x=1，∴y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為（-1，0），∴a-b+c=0．故答案為0．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為（-1，0）是解題的關(guān)鍵．25．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=x2+4x+c的圖象與x軸的一個交點坐標是2,0【答案】?6,0【分析】用待定系數(shù)法求得c，再令二次函數(shù)解析式的y=0，求得相應交點坐標．【詳解】解：將2,0代入y=x0=22+4×2+c，解得c=?12令y=0，則x2+4x?12=0，解得，x1∵圖象與x軸的一個交點坐標是2,0，∴它與x軸的另一個交點坐標是?6,0，故答案為：?6,0．【點睛】本題考查了求解二次函數(shù)交點坐標，正確理解交點坐標的特征是解題關(guān)鍵，另外，此題還可以運用韋達定理求解．三、解答題26．（2022春·九年級課時練習）二次函數(shù)y=ax（1）寫出方程ax（2）寫出不等式ax（3）若方程ax2+bx+c=k【答案】（1）x1=0，x2=2；（2）x<0【分析】（1）找到拋物線與x軸的交點，即可得出方程ax2+bx+c=0的兩個根；（2）找出拋物線在x軸下方時，x的取值范圍即可；（3）根據(jù)圖象可以看出k取值范圍．【詳解】解：（1）觀察圖象可知，方程ax2+bx+c=0∴x1=0，（2）觀察圖象可知：不等式ax2+bx+c<0的解集為x<0（3）由圖象可知，k>2時，方程ax【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與方程和不等式的關(guān)系，求方程ax2+bx+c=0的兩個根，即為拋物線與x軸的交點的橫坐標；判斷y＞0，y=0，y＜0時，x的取值范圍，要結(jié)合開口方向，圖象與x軸的交點而定；方程ax2+bx+c=k有無實數(shù)根，看頂點坐標的縱坐標即可．27．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線y＝ax2-5x＋4a與x軸相交于點A，B，且過點C（5,4）．（1）求a的值和該拋物線頂點P的坐標；（2）請你設計一種平移的方法，使平移后拋物線經(jīng)過原點，并寫出平移后拋物線的解析式．【答案】（1）a=1，P52,?【分析】（1）把C（5,4）代入y=ax2-5x＋4a即可求得a的值，利用配方法即可求得頂點坐標；（2）根據(jù)原點坐標(0，0)以及平移規(guī)律確定出拋物線解析式即可．【詳解】（1）把C（5,4）代入y=ax2-5x＋4a得：a=1，所以y=x2-5x＋4=(x?所以點P的坐標為：(5（2）將拋物線y=x2-5x＋4向下平移４個單位，得：y=x【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．28．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級?？计谥校┤舳魏瘮?shù)y=x2+b【答案】5或-3【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，可得Δ=0，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2∴Δ=b解得：b=5【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與x軸的交點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當Δ>0時，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；當Δ=0時，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點；當Δ<0時，二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點．29．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級?？茧A段練習）如圖，已知拋物線y=x2與直線y=?x+2交于(1)求交點A、B的坐標；(2)直接寫出不等式x2【答案】(1)A(2)?2≤x≤1【分析】（1）將拋物線y=x2與直線y=?x+2聯(lián)立解方程組y=x（2）直接觀察圖象，拋物線在直線下方的符合題意，即可得到答案．【詳解】（1）解：解方程組y=xx1=?2y∴A?2，4（2）解：由圖象觀察可得：不等式x2≤?x+2的解集為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是列出方程組y=x2y=?x+230．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第三中學?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線y1=ax2+x+ma≠0的圖象與x軸交于A、C兩點，與直線y2=?x?4交于點A、B(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)根據(jù)圖象，直接寫出y2<y【答案】(1)y(2)x<?【分析】（1）把點B0,?4，C2，（2）根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出直線在拋物線下方時的x的取值范圍即可求解．【詳解】（1）∵拋物線y1=ax2+x+ma≠0的圖象經(jīng)過點B∴m=?44a+2+m=0解得a=1∴拋物線的解析式為y1（2）∵點A在y2令y=0，得x=?4∴A?4,0又B0,?4根據(jù)函數(shù)圖像可知，當y2<y1時，x的取值范圍為：【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)交點求不等式的解集，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋·北京西城·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=x(1)將y=x2(2)在所給的平面直角坐標系中畫出此函數(shù)的圖象；(3)當?1<x<2時，結(jié)合圖象，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍．【答案】(1)y=(x?1)2(2)見解析(3)?4≤y<0【分析】（1）運用配方法將原解析式化為頂點式即可；（2）根據(jù)（1）所得的頂點式解析式，利用五點作圖法直接畫出圖像即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖像確定當?1<x<2時對應的y的取值范圍即可．【詳解】（1）y===(x?1)（2）列表如下：x?10123y0?3?4?30圖象如圖所示；：（3）由圖象可得，當?1<x<2時，?4≤y<【點睛】本